2023届广西柳州市新高三摸底考试数学（理）试题含解析

广西柳州市2023届新高三摸底考试

数学（理）试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

2．设，若复数的虚部与复数的虚部相等，则（       ）

A． B． C． D．

3．已知向量，的夹角为，且，，则（       ）

A．－1 B． C．－2 D．1

4．执行如图所示的程序框图,输出的s值为(　　)

A．2 B． C． D．

5．若，则（       ）

A． B． C． D．

6．若，则（       ）

A．－ B． C． D．

7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（       ）

A．2 B．－3 C．－2 D．0

8．已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（       ）

A． B． C． D．

9．今年中国空间站将进入到另一个全新的阶段—正式建造阶段，首批参加中国空间站建造的6名航天员，将会分别搭乘着神舟十四号和神舟十五号载人飞船，接连去往中国空间站，并且在上面“会师”.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱. 假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（　　）

A．44种 B．48种 C．60种 D．50种

10．若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间[0，]上不单调，则的最小值为（       ）

A．9 B．7 C．11 D．3

11．已知函数为上的偶函数，当时，函数，若关于的方程有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

12．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（       ）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知直线是曲线的一条切线，则b＝___．

14．展开式中的系数为___（用数字作答）．

15．已知A（3，1），B（－3，0），P是椭圆上的一点，则的最大值为___．

16．在正方体中，点E为线段上的动点，现有下面四个命题：

①直线DE与直线AC所成角为定值；②点E到直线AB的距离为定值；

③三棱锥的体积为定值；④三棱锥外接球的体积为定值．

其中所有真命题的序号是______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答

17．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．

(1)求角A的大小；

(2)若，，求△ABC的面积．

18．已知数列{}满足，．

(1)证明{}是等比数列，并求{}的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

19．年北京冬奥会的申办成功与“亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有人表示对冰球运动没有兴趣．

(1)完成列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？

(2)先从样本对冰球有兴趣的学生中按分层抽样的方法取出名学生，再从这人中随机抽取人，记抽取的人中有名男生，求的分布列和期望．

20．如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点．

(1)证明：PO⊥平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且PM与面ABC所成角的正切值为，求二面角的平面角的余弦值．

21．已知函数．

（1）讨论当时，f(x)单调性．

（2）证明：．

22．已知平面上动点Q（x，y）到F（0，1）的距离比Q（x，y）到直线的距离小1，记动点Q（x，y）的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程．

(2)设点P的坐标为（0，－1），过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明：．

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

先化简集合，再利用交集运算求解.

【详解】

因为，所以，即，所以.

故选：B.

2．D

【解析】

【分析】

根据已知条件求得的值，利用复数的乘法化简可得结果.

【详解】

因为复数的虚部与复数的虚部相等，则，则，

因此，.

故选：D.

3．A

【解析】

【分析】

根据数量积的运算求解即可

【详解】

故选：A

4．C

【解析】

【详解】

试题分析：时，成立，第一次进入循环：；成立，第二次进入循环：；成立，第三次进入循环：，不成立，输出，故选C.

【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，并根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错.  

5．A

【解析】

【分析】

利用对数的运算及对数函数的性质进行比较大小.

【详解】

因为，所以；

因为，所以，

，，而，

所以，即.

故选：A.

6．B

【解析】

【分析】

根据诱导公式结合同角三角函数的关系求解即可

【详解】

由题意，，故

故选：B

7．C

【解析】

【分析】

作出平面区域，结合图像求直线在轴截距的最小值，通过平移直线可得在在点处取到最小值，代入运算求解．

【详解】

根据题意可得平面区域，如图所示：

∵目标函数，即，则求直线在轴截距的最小值

结合图像可得在点处取到最小值

故选：C．

8．B

【解析】

【分析】

圆心到直线的距离为，则,而，所以，解方程即可求出答案.

【详解】

圆的圆心，

所以圆心到直线的距离为，则，

而，所以，解得：.

故选：B.

9．A

【解析】

【分析】

由分步乘法计数原理，利用间接法即可求解.

【详解】

解：由题意，要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人，共有种方案；

若甲、乙两人同时在天和核心舱做实验，则有种方案；若甲、乙两人同时在问天实验舱做实验，则有种方案.

所以甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则共有不同的安排方案.

故选：A.

10．C

【解析】

【分析】

根据给定条件，求出的关系式，再求出函数含有数0的单调区间即可判断作答.

【详解】

因直线是曲线的一条对称轴，则，即，

由得，则函数在上单调递增，

而函数在区间上不单调，则，解得，

所以的最小值为11.

故选：C

11．B

【解析】

【分析】

作出函数的图像，设，从而可化条件为方程有两个根，利用数形结合可得，，根据韦达定理即可求出实数a的取值范围.

【详解】

由题意，作出函数的图像如下，

由图像可得，

关于的方程有且仅有6个不同的实数根，

设，

有两个根，不妨设为；

且，

又

 故选：B

【点睛】

本题主要考查函数与方程、由方程根的个数求参数的取值范围，考查学生运用数形结合思想解决问题的能力，属于中档题.

12．B

【解析】

【分析】

利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.

【详解】

依题意，直线都过点，如图，有，，

设，则，显然有，，

，因此，，在，，

即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，

所以E的离心率为.

故选：B

【点睛】

方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；

②齐次式法，由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；

③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

13．2

【解析】

【分析】

求导，令导数值等于1，求得切点坐标，代入切线方程即可得解.

【详解】

解：函数的定义域为，

，

令，则，

所以切点为，

代入，得，

所以.

故答案为：2.

14．

【解析】

【分析】

写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.

【详解】

因为的展开式通项为，

，

在中，，在中，令，可得，

所以，展开式中的系数为.

故答案为：.

15．9

【解析】

【分析】

根据椭圆定义，整理代换可得，结合图形可得，运算求值．

【详解】

根据题意可得：

则点B为椭圆的左焦点，取椭圆的右焦点

∴，即

∵，即点A在椭圆内

，

当且仅当点P在AF的延长线上时，等号成立.

故答案为：9．

16．①③

【解析】

【分析】

由线面垂直的性质定理得线线垂直判断①，由正方体的性质，可通过到的距离来计算到的距离，从而判断②，根据棱锥体积公式，判断③，想象在不同位置时外接球的半径的变化，判断④．

【详解】

易证平面，平面，所以恒有，直线DE与直线AC所成角为90°，所以①是真命题．点E到直线AB的距离与点E到直线的距离有关，所以②是假命题．因为，由线面平行的判定定理可得平面，故点E到平面的距离d为定值，则为定值，所以③是真命题．平面，在上变化，例如点E在处和在的中点处时，三棱锥的外接球半径不同，故其外接球的体积不是定值，所以④是假命题．

故答案为：①③

17．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据正弦定理结合内角的范围求解即可；

（2）由余弦定理与面积公式求解即可

(1)

由已知及正弦定理知：．

因为C为锐角，则，所以．

因为A为锐角，则

(2)

由余弦定理，．

则，即

即，因为，则

所以△ABC的面积．

18．(1)证明见解析；

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据题意结合等比数列定义可证，可得是首项为2，公比为2的等比数列，利用等比数列通项公式代入运算；（2）因为，利用分组求和结合等差、等比数列求和公式整理运算．

(1)

由题意可得：

∵

所以是首项为2，公比为2的等比数列

则，即

因此{}的通项公式为

(2)

由（1）知，令则

所以．

．

综上．

19．(1)填表见解析，有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”

(2)分布列见解析，期望为

【解析】

【分析】

（1）根据题中信息完善列联表，计算的观测值，结合临界值表可得出结论；

（2）分析可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可计算得出的值.

(1)

解：（1）由题意可知，样本中女生人数为，

样本中，对冰球运动有兴趣的女生人数为，根据已知数据得到如下列联表：

根据列联表中的数据，得到，

，所以，有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”

(2)

解：由题意得，按分层抽样方法抽取出来的人中，有个男生对冰球感兴趣，有个女生对冰球感兴趣，

则的可能取值为、、，，

，，

所以的分布列如下表所示：

所以，的期望为．

20．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）证明：连接OB．法一：通过证明，得到，即可证明PO⊥平面ABC；

法二：通过勾股定理证明到，又因为即可证明PO⊥平面ABC；

（2）由（1）知，PO⊥面ABC∴OM为PM在面ABC上的射影，则∠PMO为PM与面ABC所成角，可得出， M为BC的中点．法一：作ME⊥AC于E，∴E为OC的中点，作交PA于F，连MF，∠MFE即为二面角的平面角，求出，代入求出的值，即可求出的值.

法二: 分别以OB，OC，OP为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，分别求出面AMP和面APC的法向量，由二面角的公式即可求出答案.

(1)

证明：连接OB．

法一：∵，∴，即△ABC是直角三角形，

又O为AC的中点，∴

又∵，

∴

∴．

∴，OB、AC平面ABC

∴PO⊥平面ABC．

法二：连接，，O为AC的中点∴

因为

∴   ∴，∴

∴，OB、AC平面ABC．

∴PO⊥平面ABC．

(2)

由（1）知，PO⊥面ABC∴OM为PM在面ABC上的射影，∴∠PMO为PM与面ABC所成角，

∴，∴，

在△OMC中由正弦定理可得，∴M为BC的中点．

法一：作ME⊥AC于E，∴E为OC的中点，作交PA于F，连MF

∴MF⊥PA   ∴∠MFE即为所求二面角的平面角，

∴

∴

法二：分别以OB，OC，OP为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系

M（，，0）．

记为面AMP的法向量则

．

面APC的法向量．

易知所成角为锐角记为

21．（1）见解析；（2）证明见解析．

【解析】

【分析】

（1）对函数求导，按和两类讨论，得出函数的单调性；

（2）要证，即证．构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，求出函数的最小值，转化求解即可．

【详解】

（1）解：由题意可知

对于二次函数．

当时，恒成立，f(x)在上单调递减；

当时，二次函数有2个大于零的零点，分别是，

当，f(x)在单调递增；

当，f(x)在和单调递减

综上：当时，f(x)在（0，＋∞）单调递减

当时f(x)在单调递增；单调递减．

（2）证明：要证，即证．

（方法一）设，则，在（0，＋∞）上为增函数，

因为，所以在（，1）上存在唯一的零点m，

且，即．

所以h(x)在（0，m）上单调递减，在上单调递增，

所以，．

因为，所以等号不成立，所，

所以，从而原不等式得证

（方法二）不妨设，则，

当时，，当时，，

因此恒成立，．

则恒成立，．

则恒成立，即．

又，所以等号不成立，即，从而不等式得证

22．(1)；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）由题意列出方程化简求解即可；

（2）要使，只需，利用斜率公式及根与系数的关系化简即可得证.

(1)

Q（x，y），由题意，得，

当时，，平方可得，

当时，，平方可得，

由可知，不合题意，舍去.

综上可得，所以Q的轨迹方程C为．

(2)

不妨设，因为，所以，

从而直线PA的斜率为，解得，即A（2，1），

又F（0，1），所以轴．要使，只需．

设直线m的方程为，代入并整理，得．

首先，，解得或．

其次，设，则，

，故.

此时直线m的斜率的取值范围为．