人教b版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第6节二项分布超几何分布与正态分布学案含解析

第6节　二项分布、超几何分布与正态分布

一、教材概念·结论·性质重现

1．n次独立重复试验与二项分布

(1)n次独立重复试验：在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验．

(2)二项分布：一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0,1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Cpkqn－k，k＝0,1，…，n，因此X的分布列如下表所示.

注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．

二项分布与两点分布的联系

由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1时的二项分布．

2．超几何分布

(1)定义：一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M＜N)，从所有物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N－M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t＝n－(N－M))，而且P(X＝k)＝，k＝t，t＋1，…，s，

这里的X称为服从参数为N，n，M的超几何分布．

(2)记法：X～H(N，n，M)．

(3)分布列：如果X～H(N，n，M)且n＋M－N≤0，则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布列如下表所示．

超几何分布的特征

(1)考察对象分两类．

(2)已知各类对象的个数．

(3)从中抽取若干个个体，考察某类个体数X的概率分布．

超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．

3．正态曲线及其性质

(1)正态曲线的定义

一般地，函数φ(x)＝e对应的图像称为正态曲线，其中μ＝E(X)，σ＝.

(2)正态曲线的性质

①正态曲线关于x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点；

②正态曲线与x轴所围成的图形面积为1；

③σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”．

4．正态分布

(1)一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ与σ的正态分布，记作X～N(μ，σ2)，此时φμ，σ(x)称为X的概率密度函数．

(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率值

P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%，

P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%，

P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.

5．标准正态分布

(1)定义：μ＝0且σ＝1的分布称为标准正态分布，记作X～N(0,1)．

(2)概率计算方法：

如果X～N(0,1)，那么对于任意a，通常记Φ(a)＝P(x＜a)，其中Φ(a)表示N(0,1)对应的正态曲线与x轴在区间(－∞，a)内所围的面积．特别地，Φ(－a)＋Φ(a)＝1.

若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线的关于直线X＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1.

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．( √ )

(2)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布．( × )

(3)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．( √ )

(4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一个球．若是白球，则取出来，若是黑球，则放回盒中，直到把白球全部取出来．设取到黑球的次数为X，则X服从超几何分布．( × )

(5)二项分布是一个概率分布，其公式相当于二项式(a＋b)n展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.( × )

(6)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布密度函数，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．( √ )

2．如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为，那么播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率是(　　)

A.   B. 

C.   D.

A　解析：用X表示发芽的粒数，则X～B，则P(X＝3)＝C×3×

2＝.故播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率为.

3．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：

①X表示取出的最大号码；

②X表示取出的最小号码；

③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；

④X表示取出的黑球个数．

这四种变量中服从超几何分布的是(　　)

A．①② B．③④ 

C．①②④ D．①②③④

B　解析：由超几何分布的概念知③④符合．故选B.

4．设随机变量X～B，则P(X＝3)等于(　　)

A.   B. 

C.   D.

A　解析：因为X～B，所以由二项分布可得，P(X＝3)＝C3×

3＝.

5．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，则c＝________.

　解析：因为X～N(3,1)，所以正态曲线关于直线x＝3对称，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，所以2c－1＋c＋3＝2×3，所以c＝.

6．已知随机变量X～N(1，σ2)，若P(X>0)＝0.8，则P(X≥2)＝________.

0.2　解析：随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，所以正态曲线关于x＝1对称，所以P(X≥2)＝P(X≤0)＝1－P(X>0)＝0.2.

考点1　n次伯努利试验与二项分布——综合性

考向1　n次伯努利试验及其概率

甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．

(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；

(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；

(3)假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击．问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为多少？

解：(1)记“甲射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A1，则事件A1的对立事件1为“甲射击4次，全部击中目标”．由题意可知，射击4次相当于做了4次独立重复试验，

故P(1)＝C4＝.

所以P(A1)＝1－P(1)＝1－＝.

所以甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率为.

(2)记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A2，“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B2，

则P(A2)＝C×2×2＝，

P(B2)＝C×3×1＝.

由于甲、乙射击相互独立，

故P(A2B2)＝P(A2)P(B2)＝×＝.

所以两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为.

(3)记“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中”为事件Di(i＝1,2,3,4,5)，

则A3＝D5D43(2 1∪2D1∪D21)，且P(Di)＝.

由于各事件相互独立，故

P(A3)＝P(D5)P(D4)P(3)P(21＋2D1＋D21)＝×××＝.

所以乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为.

n 次伯努利试验概率求解的策略

(1)首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是否相互独立的，并且每次试验的结果是否只有两种，在任何一次试验中，某一事件发生的概率是否都相等，全部满足n重伯努利试验的要求才能用相关公式求解．

(2)解此类题时常用互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．

考向2　二项分布

某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为，复审能通过的概率为，各专家评审的结果相互独立．

(1)求某应聘人员被录用的概率；

(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列．

解：设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C.

(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，

则D＝A∪BC.

因为P(A)＝×＝，

P(B)＝2××＝，

P(C)＝，

所以P(D)＝P(A∪BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝.

(2)根据题意，X＝0,1,2,3,4，且X～B，

Ai表示“应聘的4人中恰有i人被录用”(i＝0,1,2,3,4)．

因为P(A0)＝C×4＝，

P(A1)＝C××3＝，

P(A2)＝C×2×2＝，

P(A3)＝C×3×＝，

P(A4)＝C×4×0＝.

所以X的分布列为

二项分布概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．

为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P(X≥－80)＝________.

　解析：由题意得该产品能销售的概率为＝.易知X的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160.

设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则 ξ～B，所以P(ξ＝k)＝Ck4－k.

所以P(X＝－80)＝P(ξ＝2)＝C2·2＝，

P(X＝40)＝P(ξ＝3)＝C31＝，

P(X＝160)＝P(ξ＝4)＝C4·0＝.

故P(X≥－80)＝P(X＝－80)＋P(X＝40)＋P(X＝160)＝.

考点2　超几何分布——综合性

在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．

(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；

(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．

解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，

则P(M)＝＝.

(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则

P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝，

P(X＝4)＝＝，

因此X的分布列为

(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征：

①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．

(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．

1．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ.已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　　)

A．10% B．20%

C．30% D．40%

B　解析： 设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝＝＝，所以x＝2或x＝8.

因为次品率不超过40%，所以x＝2，所以次品率为＝20%.

2．(2020·贵阳市四校高三联考)高新区某高中德育处为了调查学生对“国安法”的关注情况，在全校组织了“国家安全知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩(百分制)如下：

52,63,67,68,72,76,76,76,82,88,93,94.

(1)写出该样本的中位数，若该校共有3 000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；

(2)从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人，记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的分布列和数学期望．

解：(1)由已知数据可得中位数为76，样本中70分以上的所占比例为＝，

故可估计该校测试成绩在70分以上的约为3 000×＝2 000(人)．

(2)由题意可得ξ的可能取值为0,1,2,3,4.

P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，

P(ξ＝3)＝＝＝，P(ξ＝4)＝＝.

所以ξ的分布列为

E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.

考点3　正态分布——应用性

(1)(多选题)(2020·本溪高级中学期末)若随机变量ξ～N(0,1)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0.下列等式成立的有(　　)

A．φ(－x)＝1－φ(x)

B．φ(2x)＝2φ(x)

C．P(|ξ|<x)＝2φ(x)－1

D．P(|ξ|>x)＝2－φ(x)

AC　解析：因为随机变量ξ服从标准正态分布N(0，1)，所以正态曲线关于ξ＝0对称，如图．

φ(－x)＝P(ξ≤－x)＝P(ξ≥x)＝1－φ(x)，所以A项正确；

φ(2x)＝P(ξ≤2x)，2φ(x)＝2P(ξ≤x)，

所以φ(2x)≠2φ(x)，B项错误；

P(|ξ|<x)＝P(－x≤ξ≤x)＝1－2φ(－x)＝1－2[1－φ(x)]＝2φ(x)－1，所以C项正确；

P(|ξ|>x)＝P(ξ>x或ξ<－x)＝1－φ(x)＋φ(－x)＝1－φ(x)＋1－φ(x)＝2－2φ(x)，所以D项错误．故选AC.

(2)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X，且X～N(800,502)，则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为(　　)

A．0.977 B．0.683

C．0.997 D．0.954

A　解析：因为X～N(800,502)，

所以P(700≤X≤900)≈0.954，

所以P(X>900)≈＝0.023，

所以P(X≤900)≈1－0.023＝0.977.

(3)“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2020年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下：

①求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

②由频率分布直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在[14.55,38.45]内的概率．

附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ＝≈11.95.

解：①所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.

②因为Z服从正态分布N(μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95，

所以P(14.55≤Z≤38.45)＝P(26.5－11.95≤Z≤26.5＋11.95)≈0.683，

所以Z落在[14.55,38.45]内的概率是0.683.

(1)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一个．

(2)利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意活用下面两个结论：

①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；

②P(X＜μ－σ)＝P(X>μ＋σ)．

1．(2021·八省联考)对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn～N.为使误差εn在(－0.5，0.5)的概率不小于0.954，至少要测量__32__次(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|≤2σ)

≈0.954)．

2．(2020·安庆二模)为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值的范围内，某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定每间隔2小时对该药品进行检测，每天检测4次，每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量(单位：mg)．根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品中其主要药理成分含量服从正态分布N(μ，σ2)．

(1)假设生产状态正常，记X表示某次抽取的20件产品中其主要药理成分含量在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的药品件数，求P(X＝1)(精确到0.001)及X的数学期望．

(2)在一天内的四次检测中，如果有一次出现了主要药理成分含量在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查；如果在一天中，有连续两次检测出现了主要药理成分含量在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的药品，则需停止生产并对原材料进行检测．

(i)下面是检验员在某一次抽取的20件药品的主要药理成分含量：

经计算得＝i＝9.96，s＝＝≈0.19.

其中xi为抽取的第i件药品的主要药理成分含量(i＝1,2，…，20)．用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查；

(ii)试确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率．(精确到0.001)

附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997,0.99719≈0.944 5，0.99720≈0.941 7.

解：(1)抽取的一件药品的主要药理成分含量在[μ－3σ，μ＋3σ]之内的概率为0.997，

从而主要药理成分含量在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率为0.003，

故X～B(20,0.003)．

因此P(X＝1)≈C(0.997)19×0.003≈0.057，

X的数学期望E(X)≈20×0.003＝0.06.

(2)(i)由＝9.96，s＝0.19，得μ的估计值＝9.96，σ的估计值＝0.19.

由样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分含量9.22在[μ－3σ，μ＋3σ]＝[9.39，10.53]之外，因此需对本次的生产过程进行检查．

(ii)设“在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查”为事件A，则P(A)＝1－[P(X＝0)]20≈1－0.99720≈1－0.941 7＝0.058 3；

如果在一天中，需停止生产并对原材料进行检测，则在一天的四次检测中，有连续两次出现了主要药理成分含量在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的药品，

故概率p＝3[P(A)]2×[1－P(A)]2≈3×(0.058 3)2×(0.941 7)2≈0.009.

故确定一天中需对原材料进行检测的概率为0.009.