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备考2024届高考数学一轮复习讲义第十章计数原理概率随机变量及其分布第7讲二项分布超几何分布与正态分布
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这是一份备考2024届高考数学一轮复习讲义第十章计数原理概率随机变量及其分布第7讲二项分布超几何分布与正态分布，共8页。
（1）定义：把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
（2）特征：a.同一个伯努利试验重复做n次；b.各次试验的结果相互独立.
2.二项分布
（1）定义：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜p＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P（X＝k）＝①Cnkpk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作② X～B（n，p） .特别地，当n＝1时，此时的二项分布为两点分布.
（2）期望与方差：若X～B（n，p），则E（X）＝③ np ，D（X）＝④ np（1－p） .
3.超几何分布
（1）定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P（X＝k）＝⑤ CMkCN－Mn－kCNn ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
（2）期望：E（X）＝⑥ nMN .
注意 二项分布是有放回抽取问题，超几何分布是不放回抽取问题.
4.正态分布
（1）定义：若随机变量X的概率分布密度函数为f（x）＝1σ2πe－（x－μ）22σ2，x∈R，其中μ∈R，σ＞0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为⑦ X～N（μ，σ2） .特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布.
（2）正态曲线的特点
a.曲线是单峰的，它关于直线⑧ x＝μ 对称.
b.曲线在⑨ x＝μ 处达到峰值1σ2π.
c.当｜x｜无限增大时，曲线无限接近x轴.
d.曲线与x轴之间的面积为⑩ 1 .
e.当σ取定值时，曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图1所示.
f.当μ取定值时，曲线的形状由σ确定.σ越小，曲线越“⑪ 瘦高 ”，表示总体的分布越⑫ 集中 ；σ越大，曲线越“⑬ 矮胖 ”，表示总体的分布越⑭ 分散 ，如图2所示.
说明 从图1，图2可以发现参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度.
（3）正态分布三个常用数据
P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7，
P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954 5，
P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997 3.
说明 在实际应用中，通常认为服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.
（4）正态分布的期望与方差：若X～N（μ，σ2），则E（X）＝⑮ μ ，D（X）＝⑯ σ2 .
1.下列说法错误的是（ A ）
A.某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数X服从二项分布
B.从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布
C.n重伯努利试验中各次数试验的结果相互独立
D.正态分布是对连续型随机变量而言的
2.[多选]若袋子中有2个白球，3个黑球（球除了颜色不同，没有其他任何区别），现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记4次取球的总分数为X，则（ BCD ）
A.X～B（4，35）B.P（X＝3）＝96625
C.E（X）＝85D.D（X）＝2425
解析 由题意知，每次取到白球的概率为25，取到黑球的概率为35，由于取到白球记1分，取到黑球记0分，所以X为4次取球取到白球的个数，易知X～B（4，25），故A错误；
P（X＝3）＝C43（25）3×35＝96625，故B正确；
E（X）＝4×25＝85，故C正确；
D（X）＝4×25×35＝2425，故D正确.故选BCD.
3.已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（X＞2c－1）＝P（X＜c＋3），则c＝ 43 .
解析 ∵随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（X＞2c－1）＝P（X＜c＋3），∴2c－1+c+32＝3，∴c＝43.
4.[教材改编]生产方提供一批产品50箱，其中有2箱不合格产品.采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品.则该批产品被接收的概率是 243245 .
解析 用X表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X服从超几何分布，且N＝50，M＝2，n＝5.
因为这批产品被接收的条件是5箱全部合格或只有1箱不合格，
所以该批产品被接收的概率是P（X≤1）＝C20C485C505＋C21C484C505＝243245.
研透高考 明确方向
命题点1 二项分布
例1 （1）已知随机变量X～B（n，p），E（X）＝2，D（X）＝23，则P（X≥2）＝（ A ）
A.2027B.23C.1627D.1327
解析 由随机变量X～B（n，p），E（X）＝2，D（X）＝23，得np=2，np（1－p）＝23，解得n=3，p＝23，
所以P（X≥2）＝1－P（X＝1）－P（X＝0）＝1－C31×（23）1×（1－23）3－1－C30×230×（1－23）3－0＝1－29－127＝2027.
（2）为了解观众对2023年央视春晚小品节目《坑》的评价，某机构随机抽取10位观众对其打分（满分10分），得到如下表格：
①求这组数据的第75百分位数；
②将频率视为概率，现从观众中随机抽取3人对节目《坑》进行评价，记抽取的3人中评分超过9.0的人数为X，求X的分布列、数学期望与方差.
解析 ①将这组数据从小到大排列，为7.4，7.8，8.3，8.5，8.5，8.6，8.9，9.1，9.5，9.9，
所以这组数据的第75百分位数为9.1.
②样本中评分超过9.0的有3个，所以评分超过9.0的频率为0.3.
把频率视为概率，则评分超过9.0的概率为0.3.
依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，0.3），
则P（X＝0）＝C30×0.73＝0.343，
P（X＝1）＝C31×0.3×0.72＝0.441，
P（X＝2）＝C32×0.32×0.7＝0.189，
P（X＝3）＝C33×0.33＝0.027，
所以X的分布列为
（注意根据分布列中所有可能取值的概率之和为1检验所求的分布列是否正确）
所以E（X）＝3×0.3＝0.9，
D（X）＝3×0.3×0.7＝0.63.
方法技巧
二项分布问题的解题关键
1.定型
（1）在每一次试验中，事件发生的概率相同.
（2）各次试验中的事件是相互独立的.
（3）在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.
2.定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率.
训练1 [天津高考]设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（1）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.
解析 （1）因为甲同学上学期间的三天中每天到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故X～B（3，23），从而P（X＝k）＝C3k（23）k（13）3－k，k＝0，1，2，3.
所以随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望E（X）＝3×23＝2.
（2）设乙同学上学期间的三天中每天7：30之前到校的天数为Y，则Y～B（3，23），且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}.
由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，从而由（1）知PM=PX=3,Y=1∪X=2,Y=0=PX=3,Y=1+PX=2,Y=0=PX=3PY=1+PX=2PY=0=827×29+49×127=20243.
命题点2 超几何分布
例2 [2023北京市朝阳区质检]某数学教师组织学生进行线上答题交流活动，规定从8道备选题中随机抽取题目作答，假设在8道备选题中，学生甲答对每道题的概率都是23，且每道题答对与否互不影响，学生乙、丙都只能答对其中的6道题.
（1）若甲、乙两人分别从8道备选题中随机抽取1道作答，求至少有1人能答对的概率；
（2）若学生丙从8道备选题中随机抽取2道作答，以X表示其中丙能答对的题数，求X的分布列及数学期望.
解析 （1）由题意可知随机抽取1道试题作答，乙能答对的概率为34，
则甲、乙两人都不能答对的概率P＝（1－34）×（1－23）＝112，
所以甲、乙两人至少有1人能答对的概率为1－P＝1112.
（2）X的所有可能取值为0，1，2，
P（X＝0）＝C22C82＝128，P（X＝1）＝C61C21C82＝37，P（X＝2）＝C62C82＝1528，
X的分布列为
解法一 所以E（X）＝0×128＋1×37＋2×1528＝32.
解法二 因为X服从超几何分布H（8，6，2），所以E（X）＝6×28＝32.
方法技巧
1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.
2.超几何分布的特征是：（1）考查对象分两类；（2）已知各类对象的个数；（3）从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.
3.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.
训练2 [天津高考]已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
解析 （1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2.由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.
（2）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，且服从超几何分布，则PX=k=C4k·C33－kC73（k＝0，1，2，3）.
所以随机变量X的分布列为
所以随机变量X的数学期望E（X）＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127.（也可直接由超几何分布的期望计算公式E（X）＝nMN求解）
（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A＝B∪C，且B与C互斥.由（i）知，P（B）＝P（X＝2），P（C）＝P（X＝1），
故P（A）＝P（B∪C）＝P（X＝2）＋P（X＝1）＝67.
所以事件A发生的概率为67.
命题点3 正态分布及其应用
例3 （1）[2021新高考卷Ⅱ]某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），则下列结论中不正确的是（ D ）
A.σ越小，该物理量一次测量结果落在（9.9，10.1）内的概率越大
B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C.该物理量一次测量结果小于9.99的概率与大于10.01的概率相等
D.该物理量一次测量结果落在（9.9，10.2）内的概率与落在（10，10.3）内的概率相等
解析 设该物理量一次测量结果为X，
对于A，σ越小，说明数据越集中在10附近，所以X落在（9.9，10.1）内的概率越大，所以选项A正确；
对于B，根据正态曲线的对称性可得，P（X＞10）＝0.5，所以选项B正确；
对于C，根据正态曲线的对称性可得，P（X＞10.01）＝P（X＜9.99），所以选项C正确；
对于D，根据正态曲线的对称性可得，P（9.9＜X＜10.2）－P（10＜X＜10.3）＝P（9.9＜X＜10）－P（10.2＜X＜10.3），又P（9.9＜X＜10）＞P（10.2＜X＜10.3），所以P9.9P10（2）某工厂制造的某种机器零件的尺寸X（单位：mm）近似服从正态分布N（100，0.01），现从中随机抽取10 000个零件，尺寸在[99.8，99.9]内的个数约为（附：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7，P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954 5）（ B ）
A.2 718B.1 359C.430D.215
解析 ∵X～N（100，0.01），∴μ＝100，σ＝0.1，则P（99.8≤X≤99.9）＝P（μ－2σ≤X≤μ－σ）＝12[P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）－P（μ－σ≤X≤μ＋σ）]≈12×（0.954 5－0.682 7）＝0.135 9.故随机抽取的
10 000个零件中尺寸在[99.8，99.9]内的个数约为10 000×0.135 9＝1 359.
方法技巧
解决正态分布问题的思路
1.把给出的区间或范围与参数μ，σ进行对比计算，确定它们属于[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一个.
2.利用正态曲线的对称性转化所求概率，常用结论如下：
（1）P（X≥μ）＝P（X＜μ）＝0.5；
（2）对任意的a，有P（X＜μ－a）＝P（X＞μ＋a）；
（3）P（X＜x0）＝1－P（X≥x0）；
（4）P（a＜X＜b）＝P（X＜b）－P（X≤a）.
训练3 （1）[2022新高考卷Ⅱ]已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.36，则P（X＞2.5）＝ 0.14 .
解析 因为X～N（2，σ2），所以P（X＞2）＝0.5，
所以P（X＞2.5）＝P（X＞2）－P（2＜X≤2.5）＝0.5－0.36＝0.14.
（2）[2023广州市阶段测试]某品牌手机的电池使用寿命X（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于1年的概率为0.9，使用寿命不少于9年的概率为0.1，则该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为 0.4 .
解析 由题意知P（X≥1）＝0.9，P（X≥9）＝0.1，
所以P（X＜1）＝1－0.9＝0.1＝P（X≥9），所以正态曲线的对称轴为直线x＝1+92＝5.
因为P（1≤X≤9）＝0.9－0.1＝0.8，所以P（5≤X≤9）＝0.82＝0.4，即该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为0.4.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.
2.了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.
3.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.
4.了解正态分布的均值、方差及其含义.
二项分布
2021天津T14；2019天津T16
本讲常以生产生活实际情境为载体考查二项分布、超几何分布及正态分布的应用，解题时注意对相关概念的理解及相关公式的应用.在2025年高考备考时注意对不同分布模型的理解和应用.
超几何分布
2021浙江T15
正态分布及其应用
2022新高考卷ⅡT13；2021新高考卷ⅡT6
观众序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
评分
7.8
8.9
8.6
7.4
8.5
8.5
9.5
9.9
8.3
9.1
X
0
1
2
3
P
0.343
0.441
0.189
0.027
X
0
1
2
3
P
127
29
49
827
X
0
1
2
P
128
37
1528
X
0
1
2
3
P
135
1235
1835
435
（1）定义：把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
（2）特征：a.同一个伯努利试验重复做n次；b.各次试验的结果相互独立.
2.二项分布
（1）定义：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜p＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P（X＝k）＝①Cnkpk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作② X～B（n，p） .特别地，当n＝1时，此时的二项分布为两点分布.
（2）期望与方差：若X～B（n，p），则E（X）＝③ np ，D（X）＝④ np（1－p） .
3.超几何分布
（1）定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P（X＝k）＝⑤ CMkCN－Mn－kCNn ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
（2）期望：E（X）＝⑥ nMN .
注意 二项分布是有放回抽取问题，超几何分布是不放回抽取问题.
4.正态分布
（1）定义：若随机变量X的概率分布密度函数为f（x）＝1σ2πe－（x－μ）22σ2，x∈R，其中μ∈R，σ＞0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为⑦ X～N（μ，σ2） .特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布.
（2）正态曲线的特点
a.曲线是单峰的，它关于直线⑧ x＝μ 对称.
b.曲线在⑨ x＝μ 处达到峰值1σ2π.
c.当｜x｜无限增大时，曲线无限接近x轴.
d.曲线与x轴之间的面积为⑩ 1 .
e.当σ取定值时，曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图1所示.
f.当μ取定值时，曲线的形状由σ确定.σ越小，曲线越“⑪ 瘦高 ”，表示总体的分布越⑫ 集中 ；σ越大，曲线越“⑬ 矮胖 ”，表示总体的分布越⑭ 分散 ，如图2所示.
说明 从图1，图2可以发现参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度.
（3）正态分布三个常用数据
P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7，
P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954 5，
P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997 3.
说明 在实际应用中，通常认为服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.
（4）正态分布的期望与方差：若X～N（μ，σ2），则E（X）＝⑮ μ ，D（X）＝⑯ σ2 .
1.下列说法错误的是（ A ）
A.某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数X服从二项分布
B.从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布
C.n重伯努利试验中各次数试验的结果相互独立
D.正态分布是对连续型随机变量而言的
2.[多选]若袋子中有2个白球，3个黑球（球除了颜色不同，没有其他任何区别），现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记4次取球的总分数为X，则（ BCD ）
A.X～B（4，35）B.P（X＝3）＝96625
C.E（X）＝85D.D（X）＝2425
解析 由题意知，每次取到白球的概率为25，取到黑球的概率为35，由于取到白球记1分，取到黑球记0分，所以X为4次取球取到白球的个数，易知X～B（4，25），故A错误；
P（X＝3）＝C43（25）3×35＝96625，故B正确；
E（X）＝4×25＝85，故C正确；
D（X）＝4×25×35＝2425，故D正确.故选BCD.
3.已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（X＞2c－1）＝P（X＜c＋3），则c＝ 43 .
解析 ∵随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（X＞2c－1）＝P（X＜c＋3），∴2c－1+c+32＝3，∴c＝43.
4.[教材改编]生产方提供一批产品50箱，其中有2箱不合格产品.采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品.则该批产品被接收的概率是 243245 .
解析 用X表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X服从超几何分布，且N＝50，M＝2，n＝5.
因为这批产品被接收的条件是5箱全部合格或只有1箱不合格，
所以该批产品被接收的概率是P（X≤1）＝C20C485C505＋C21C484C505＝243245.
研透高考 明确方向
命题点1 二项分布
例1 （1）已知随机变量X～B（n，p），E（X）＝2，D（X）＝23，则P（X≥2）＝（ A ）
A.2027B.23C.1627D.1327
解析 由随机变量X～B（n，p），E（X）＝2，D（X）＝23，得np=2，np（1－p）＝23，解得n=3，p＝23，
所以P（X≥2）＝1－P（X＝1）－P（X＝0）＝1－C31×（23）1×（1－23）3－1－C30×230×（1－23）3－0＝1－29－127＝2027.
（2）为了解观众对2023年央视春晚小品节目《坑》的评价，某机构随机抽取10位观众对其打分（满分10分），得到如下表格：
①求这组数据的第75百分位数；
②将频率视为概率，现从观众中随机抽取3人对节目《坑》进行评价，记抽取的3人中评分超过9.0的人数为X，求X的分布列、数学期望与方差.
解析 ①将这组数据从小到大排列，为7.4，7.8，8.3，8.5，8.5，8.6，8.9，9.1，9.5，9.9，
所以这组数据的第75百分位数为9.1.
②样本中评分超过9.0的有3个，所以评分超过9.0的频率为0.3.
把频率视为概率，则评分超过9.0的概率为0.3.
依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，0.3），
则P（X＝0）＝C30×0.73＝0.343，
P（X＝1）＝C31×0.3×0.72＝0.441，
P（X＝2）＝C32×0.32×0.7＝0.189，
P（X＝3）＝C33×0.33＝0.027，
所以X的分布列为
（注意根据分布列中所有可能取值的概率之和为1检验所求的分布列是否正确）
所以E（X）＝3×0.3＝0.9，
D（X）＝3×0.3×0.7＝0.63.
方法技巧
二项分布问题的解题关键
1.定型
（1）在每一次试验中，事件发生的概率相同.
（2）各次试验中的事件是相互独立的.
（3）在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.
2.定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率.
训练1 [天津高考]设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（1）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.
解析 （1）因为甲同学上学期间的三天中每天到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故X～B（3，23），从而P（X＝k）＝C3k（23）k（13）3－k，k＝0，1，2，3.
所以随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望E（X）＝3×23＝2.
（2）设乙同学上学期间的三天中每天7：30之前到校的天数为Y，则Y～B（3，23），且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}.
由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，从而由（1）知PM=PX=3,Y=1∪X=2,Y=0=PX=3,Y=1+PX=2,Y=0=PX=3PY=1+PX=2PY=0=827×29+49×127=20243.
命题点2 超几何分布
例2 [2023北京市朝阳区质检]某数学教师组织学生进行线上答题交流活动，规定从8道备选题中随机抽取题目作答，假设在8道备选题中，学生甲答对每道题的概率都是23，且每道题答对与否互不影响，学生乙、丙都只能答对其中的6道题.
（1）若甲、乙两人分别从8道备选题中随机抽取1道作答，求至少有1人能答对的概率；
（2）若学生丙从8道备选题中随机抽取2道作答，以X表示其中丙能答对的题数，求X的分布列及数学期望.
解析 （1）由题意可知随机抽取1道试题作答，乙能答对的概率为34，
则甲、乙两人都不能答对的概率P＝（1－34）×（1－23）＝112，
所以甲、乙两人至少有1人能答对的概率为1－P＝1112.
（2）X的所有可能取值为0，1，2，
P（X＝0）＝C22C82＝128，P（X＝1）＝C61C21C82＝37，P（X＝2）＝C62C82＝1528，
X的分布列为
解法一 所以E（X）＝0×128＋1×37＋2×1528＝32.
解法二 因为X服从超几何分布H（8，6，2），所以E（X）＝6×28＝32.
方法技巧
1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.
2.超几何分布的特征是：（1）考查对象分两类；（2）已知各类对象的个数；（3）从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.
3.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.
训练2 [天津高考]已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
解析 （1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2.由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.
（2）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，且服从超几何分布，则PX=k=C4k·C33－kC73（k＝0，1，2，3）.
所以随机变量X的分布列为
所以随机变量X的数学期望E（X）＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127.（也可直接由超几何分布的期望计算公式E（X）＝nMN求解）
（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A＝B∪C，且B与C互斥.由（i）知，P（B）＝P（X＝2），P（C）＝P（X＝1），
故P（A）＝P（B∪C）＝P（X＝2）＋P（X＝1）＝67.
所以事件A发生的概率为67.
命题点3 正态分布及其应用
例3 （1）[2021新高考卷Ⅱ]某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），则下列结论中不正确的是（ D ）
A.σ越小，该物理量一次测量结果落在（9.9，10.1）内的概率越大
B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C.该物理量一次测量结果小于9.99的概率与大于10.01的概率相等
D.该物理量一次测量结果落在（9.9，10.2）内的概率与落在（10，10.3）内的概率相等
解析 设该物理量一次测量结果为X，
对于A，σ越小，说明数据越集中在10附近，所以X落在（9.9，10.1）内的概率越大，所以选项A正确；
对于B，根据正态曲线的对称性可得，P（X＞10）＝0.5，所以选项B正确；
对于C，根据正态曲线的对称性可得，P（X＞10.01）＝P（X＜9.99），所以选项C正确；
对于D，根据正态曲线的对称性可得，P（9.9＜X＜10.2）－P（10＜X＜10.3）＝P（9.9＜X＜10）－P（10.2＜X＜10.3），又P（9.9＜X＜10）＞P（10.2＜X＜10.3），所以P9.9
A.2 718B.1 359C.430D.215
解析 ∵X～N（100，0.01），∴μ＝100，σ＝0.1，则P（99.8≤X≤99.9）＝P（μ－2σ≤X≤μ－σ）＝12[P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）－P（μ－σ≤X≤μ＋σ）]≈12×（0.954 5－0.682 7）＝0.135 9.故随机抽取的
10 000个零件中尺寸在[99.8，99.9]内的个数约为10 000×0.135 9＝1 359.
方法技巧
解决正态分布问题的思路
1.把给出的区间或范围与参数μ，σ进行对比计算，确定它们属于[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一个.
2.利用正态曲线的对称性转化所求概率，常用结论如下：
（1）P（X≥μ）＝P（X＜μ）＝0.5；
（2）对任意的a，有P（X＜μ－a）＝P（X＞μ＋a）；
（3）P（X＜x0）＝1－P（X≥x0）；
（4）P（a＜X＜b）＝P（X＜b）－P（X≤a）.
训练3 （1）[2022新高考卷Ⅱ]已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.36，则P（X＞2.5）＝ 0.14 .
解析 因为X～N（2，σ2），所以P（X＞2）＝0.5，
所以P（X＞2.5）＝P（X＞2）－P（2＜X≤2.5）＝0.5－0.36＝0.14.
（2）[2023广州市阶段测试]某品牌手机的电池使用寿命X（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于1年的概率为0.9，使用寿命不少于9年的概率为0.1，则该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为 0.4 .
解析 由题意知P（X≥1）＝0.9，P（X≥9）＝0.1，
所以P（X＜1）＝1－0.9＝0.1＝P（X≥9），所以正态曲线的对称轴为直线x＝1+92＝5.
因为P（1≤X≤9）＝0.9－0.1＝0.8，所以P（5≤X≤9）＝0.82＝0.4，即该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为0.4.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.
2.了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.
3.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.
4.了解正态分布的均值、方差及其含义.
二项分布
2021天津T14；2019天津T16
本讲常以生产生活实际情境为载体考查二项分布、超几何分布及正态分布的应用，解题时注意对相关概念的理解及相关公式的应用.在2025年高考备考时注意对不同分布模型的理解和应用.
超几何分布
2021浙江T15
正态分布及其应用
2022新高考卷ⅡT13；2021新高考卷ⅡT6
观众序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
评分
7.8
8.9
8.6
7.4
8.5
8.5
9.5
9.9
8.3
9.1
X
0
1
2
3
P
0.343
0.441
0.189
0.027
X
0
1
2
3
P
127
29
49
827
X
0
1
2
P
128
37
1528
X
0
1
2
3
P
135
1235
1835
435
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