人教b版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第2节二项式定理学案含解析

第2节　二项式定理

一、教材概念·结论·性质重现

1．二项式定理

(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同，而且两个展开式的通项不同．

2．二项式系数的性质

二项展开式形式上的特点

(1)项数为n＋1.

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．( × )

(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( × )

(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( √ )

(4)通项公式Tk＋1＝Can－kbk中的a和b不能互换．( √ )

(5)(a＋b)n的展示式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．( √ )

2．(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为(　　)

A．6 B．－6 

C．24 D．－24

A　解析：(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为C＝6.故选A.

3．二项式5的展开式中x3y2的系数是(　　)

A．5 B．－20 

C．20 D．－5

A　解析：二项式5的通项公式为Tk＋1＝C5－k(－2y)k.根据题意，得解得k＝2.所以x3y2的系数是C3×(－2)2＝5.故选A.

4．(2020·天津联考)已知8的展开式中常数项为112，则实数a的值为

(　　)

A．±1 B．1 

C．2 D．±2

A　解析：8展开式中的通项公式为 Tk＋1＝C()8－k·k＝C(－2a)kx－k.令－k＝0，求得k＝2，所以它的展开式的常数项是C(－2a)2.

再根据展开式中的常数项是112，可得C(－2a)2＝112，求得a＝±1.故选A.

5．(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为________．

－15　解析：(x＋1)5(x－2)＝x(x＋1)5－2(x＋1)5展开式中含有x2的项为－20x2＋5x2＝－15x2.故x2的系数为－15.

6．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为________．

8　解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0.令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.

考点1　二项展开式的通项公式及其应用——基础性

考向1　求二项展开式中的特定项

(1)(2020·全国卷Ⅲ)6的展开式中常数项是________(用数字作答)．

240　解析：展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)6－k·k＝2kCx12－3k.令12－3k＝0，解得k＝4，故常数项为24C＝240.

(2)(2019·浙江卷)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．

16　5　解析：由题意，(＋x)9的通项公式为Tk＋1＝C()9－k·xk(k＝0,1,2，…，9)．当k＝0时，可得常数项为T1＝C()9＝16.若展开式的系数为有理数，则k＝1,3,5,7,9，有T2，T4，T6，T8，T10共5个．

求二项展开式中特定项的步骤

第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tk＋1＝Can－kbk，把字母和系数分离开(注意符号不要出错)；

第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出k；

第三步，把k代入通项公式中，即可求出Tk＋1，有时还需要先求n，再求k，才能求出Tk＋1或者其他量．

考向2　形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式

(1)(2020·全国卷Ⅰ)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)

A．5 B．10 

C．15 D．20

C　解析：要求(x＋y)5的展开式中x3y3的系数，只要分别求出(x＋y)5的展开式中x2y3和x4y的系数再相加即可．由二项式定理可得(x＋y)5的展开式中x2y3的系数为C＝10，x4y的系数为C＝5，故(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为10＋5＝15.故选C.

(2)(x2＋1)5的展开式的常数项是(　　)

A．5 B．－10 

C．－32 D．－42

D　解析：5的通项公式为C×5－k×(－2)k＝C×(－2)k×x.令＝0，解得k＝5；令＝－2，得k＝1.

故(x2＋1)×5的展开式的常数项是C×(－2)＋C×(－2)5＝－42.

求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路

(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．

(2)观察(a＋b)n(c＋d)m是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5·(1－x)2.

(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．

考向3　形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式

(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2项的系数为(　　)

A．10 B．20 

C．30 D．60

C　解析：(方法一)(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，

含y2的项为T3＝C(x2＋x)3y2.

其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.

所以x5y2的系数为C×C＝30.

(方法二)(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积，

所以x5y2可从其中5个因式中，2个取因式中的x2，剩余的3个因式中1个取x,2个因式取y，因此x5y2的系数为CCC＝30.

求三项展开式中某些特定项的系数的方法

(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．

(2)两次利用二项式定理的通项公式求解．

(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．

1．(2020·海淀区高三一模)在6的展开式中，常数项为(　　)

A．－120 B．120 

C．－160 D．160

C　解析：6展开式的通项公式为Tk＋1＝(－1)k2kCx2k－6 .令2k－6＝0，得k＝3.

所以常数项为T3＋1＝(－1)323C＝－160.故选C.

2．(2021·烟台模拟)已知n的展开式的各项系数和为243，则展开式中x7的系数为(　　)

A．5 B．40 

C．20 D．10

B　解析：由n的展开式的各项系数和为243，令x＝1，得3n＝243，即n＝5，所以n＝5，则Tk＋1＝C·(x3)5－k·k＝2k·C·x15－4k.令15－4k＝7，得k＝2，所以展开式中x7的系数为22×C＝40.

3．(2021·八省联考)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是

(　　)

A．60 B．80 

C．84 D．120

D　解析：(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是C＋C＋C＋…＋C.

因为C＝C，所以C＋C＝C＋C＝C.

所以C＋C＋C＝C＋C＝C.

以此类推，C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＝C＝＝120.

4．(2020·攀枝花市高三三模)(x2－x－2)3的展开式中，含x4的项的系数是(　　)

A．9 B．－9

C．3 D．－3

D　解析：因为(x2－x－2)3＝(x－2)3(x＋1)3，所以含x4的项为Cx3·Cx＋Cx2(－2)·Cx2＋Cx×(－2)2·Cx3＝－3x4.故选D.

考点2　二项式系数与各项的系数和问题——基础性

(1)在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为(　　)

A．－960 B．960 

C．1 120 D．1 680

C　解析：根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在(1－2x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，解得n＝8，则(1－2x)8的展开式的中间项为第5项，且T5＝C(－2)4x4＝1 120x4，即展开式的中间项的系数为1 120.故选C.

(2)(2020·哈尔滨市第一中学高三一模)若(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝(　　)

A．28－1 B．28 

C．38－1 D．38

D　解析：由题可知，x的奇数次幂的系数均为负数，

所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8.

因为(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，

令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝38，

则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38.故选D.

(1)赋值法的应用

二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立．因此，可将x，y设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取1，－1或0，有时也取其他值．如：

①形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可；

②形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中，

①各项系数之和为f(1)；

②奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝；

③偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.

1．(2020·广西高三5月联考)若(a＋x2)(1＋x)n的展开式中各项系数之和为192，且常数项为2，则该展开式中x4的系数为(　　)

A．30 B．45 

C．60 D．81

B　解析：令x＝0，得a＝2，所以(a＋x2)(1＋x)n＝(2＋x2)(1＋x)n.令x＝1，得3×2n＝192，所以n＝6.故该展开式中x4的系数为2C＋C＝45.故选B.

2．(2020·大同一中高三一模)若a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋a3(2x－1)3＋a4(2x－1)4＋a5(2x－1)5＝x5，则a2的值为(　　)

A.   B. 

C.   D.

C　解析：因为x5＝[(2x－1)＋1]5，所以二项式[(2x－1)＋1]5的展开式的通项公式为Tk＋1＝C·(2x－1)5－k×1k＝C·(2x－1)5－k.令k＝3，所以T4＝C·(2x－1)2.因此有a2＝·C＝·C＝×＝.故选C.

3．(多选题)(2020·南京市高三开学考试)已知(2＋x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则(　　)

A．a0的值为2

B．a5的值为16

C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为－5

D．a1＋a3＋a5的值为120

ABC　解析：令x＝0，得a0＝2，故A正确．

2×(－2)5C＋(－2)4C＝16，故a5＝16，B正确．

令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－3①.

又a0＝2，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－5，故C正确．

令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝243②.由①②得a1＋a3＋a5＝－123，D错误．故选ABC.

考点3　二项式系数的性质——综合性

考向1　二项式系数的最值问题

(2020·大庆市高三三模)若n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是(　　)

A．－462 B．462 

C．792 D．－792

D　解析：因为n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，所以n为偶数，展开式共有13项，则n＝12.12的展开式的通项公式为Tk＋1＝(－1)kC

x12－2k.令12－2k＝2，得k＝5.所以展开式中含x2项的系数是(－1)5C＝－792.故选D.

考向2　项的系数的最值问题

(1)(2020·邵阳市高三第一次联考)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝ (　　)

A．5 B．6 

C．7 D．8

B　解析：由题意可知C＝a，C＝b.因为13a＝7b，所以13C＝7C，即13＝7，所以13＝7·，解得m＝6.故选B.

(2)(2020·延安市第一中学高三月考)已知(x＋3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：

①展开式中二项式系数最大的项；

②展开式中系数最大的项．

解：令x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.

又展开式中二项式系数和为2n，

所以22n－2n＝992，n＝5.

①因为n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3,4两项，所以T3＝C(x)3(3x2)2＝90x6，

T4＝C(x)2(3x2)3＝270x.

②设展开式中第r＋1项系数最大，

则Tr＋1＝C(x)5－r(3x2)r＝3rCx.

所以解得≤r≤.所以r＝4，即展开式中第5项的系数最大，T5＝405x.

1．二项式系数最大项的确定方法

当n为偶数时，展开式中第项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为或.

2．二项展开式系数最大项的求法

如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用解出k即可．

1．(2020·绵阳高三三模)在二项式n的展开式中，仅第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为(　　)

A．－360 B．－160 

C．160 D．360

B　解析：因为展开式中，仅第4项的二项式系数最大，

所以展开式共有7项．所以n＝6.

所以展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx6－k·k＝(－2)kCx6－2k.

由6－2k＝0得k＝3，即常数项为T4＝(－2)3C＝－160.故选B.

2．已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________．

C(3x)7和C(3x)8　解析：由已知得C＋C＋C＝121，则n(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T8＝C(3x)7和T9＝C(3x)8.

(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数是(　　)

A．－4 B．－3

C．3 D．4

[四字程序]

思路参考：直接利用两个二项展开式的通项公式乘积获得x的系数．

B　解析：(1－)6的展开式的通项公式为C·(－)m＝C(－1)mx，(1＋)4的展开式的通项公式为C·()n＝Cx，其中m＝0,1,2，…，6，n＝0,1,2,3,4.令＋＝1，得m＋n＝2，于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数等于C·(－1)0·C＋C·(－1)1·C＋C·(－1)2·C＝－3.

思路参考：将两个二项式化成一个二项展开式与一个多项式乘积的形式，再利用二项展开式的通项公式．

B　解析：(1－)6(1＋)4＝[(1－)(1＋)]4(1－)2＝(1－x)4(1－2＋x)．于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数为C·1＋C(－1)1×1＝－3.

思路参考：利用组合的知识求解x的系数．

B　解析：在(1－)6(1＋)4的展开式中要出现x，可以分为以下三种情况：

①(1－)6中选2个(－)，(1＋)4中选0个作积，这样得到的x的系数为C·C＝15；

②(1－)6中选1个(－)，(1＋)4中选1个作积，这样得到的x的系数为C(－1)1·C＝－24；

③(1－)6中选0个(－)，(1＋)4中选2个作积，这样得到的x的系数为C·C＝6.

所以x的系数为15－24＋6＝－3.故选B.

二项式定理是必考内容，主要以通项公式为主，考查系数问题，解法灵活多变，借助二项展开式的通项公式，在每个二项展开式中求出各自的通项公式，最后利用展开式中系数的生成法求出结果．解答本题需要一定的运算能力和推理能力，体现了逻辑推理及数学运算的素养．

在(x2＋2x＋1)2(x－1)5的展开式中，x4的系数为(　　)

A．－6 B．6

C．10 D．4

A　解析：(x2＋2x＋1)2(x－1)5＝(x＋1)4(x－1)5＝(1＋x)4(－1＋x)5.

因为(1＋x)4的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·14－r·xr＝Cxr，(－1＋x)5的展开式的通项公式为Tk＋1＝C·(－1)5－k·xk，

则展开式中含x4的项需满足r＋k＝4，

所以展开式中x4的系数为CC·(－1)＋CC·(－1)2＋CC·(－1)3＋CC·(－1)4＋CC·(－1)5＝－5＋40－60＋20－1＝－6.故选A.