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高考数学一轮复习第9章第7课时二项分布、超几何分布与正态分布学案
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这是一份高考数学一轮复习第9章第7课时二项分布、超几何分布与正态分布学案，共27页。
2．借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．
1．n重伯努利试验与二项分布
(1)n重伯努利试验
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．
将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
(2)二项分布
在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．
2．超几何分布
(1)定义
在含有M件次品的N件产品中，随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝CMkCN-Mn-kCNn，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，称随机变量X服从超几何分布．
(2)超几何分布的均值
若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝nMN．
3．正态曲线与正态分布
(1)我们称f(x)＝1σ2πe-(x-μ)22σ2，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态密度曲线，简称正态曲线．
(2)若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．
(3)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
②曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
(4)正态变量在三个特殊区间内取值的概率
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．
(5)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．( )
(2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．( )
(3)超几何分布与二项分布的期望值相同．( )
(4)正态曲线与x轴围成的面积随参数μ，σ的变化而变化.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
二、教材习题衍生
1．(人教A版选择性必修第三册P79例6改编)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )
A．25 B．35
C．18125 D．54125
D [袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率P1＝35，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P＝C32×352×1-35＝54125.]
2．(人教A版选择性必修第三册P78探究改编)设50个产品中有10个次品，任取产品20个，取到的次品可能有X个，则E(X)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．1
A [由题意，E(X)＝10×2050＝4.故选A.]
3．(人教A版选择性必修第三册P87练习T2改编)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )
A．0.477 B．0.628
C．0.954 D．0.977
C [∵μ＝0，∴P(ξ＞2)＝P(ξ＜－2)＝0.023，
∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.]
4．(人教A版选择性必修第三册P78例5改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝2)＝________．
310 [由题意得P(X＝2)＝C32C72C104＝310.]
考点一 n重伯努利试验与二项分布
n重伯努利试验及其概率
[典例1] 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
(3)假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击．问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为多少？
[解] (1)记“甲射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A1，则事件A1的对立事件A1为“甲射击4次，全部击中目标”．由题意可知，射击4次相当于做了4重伯努利试验，
故P(A1)＝C44×234＝1681.
所以P(A1)＝1－P(A1)＝1－1681＝6581.
所以甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率为6581.
(2)记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A2，“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B2，
则P(A2)＝C42×232×1-232＝827，
P(B2)＝C43×343×1-341＝2764.
由于甲、乙射击相互独立，
故P(A2B2)＝P(A2)P(B2)＝827×2764＝18.
所以两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为18.
(3)记“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中”为事件Di(i＝1，2，3，4，5)，
则A3＝D5D4D3(D2D1∪D2D1∪D2D1)，
且P(Di)＝14.
由于各事件相互独立，故P(A3)＝P(D5)P(D4)P(D3)P(D2D1＋D2D1＋D2D1)
＝14×14×34×1-14×14＝451 024.
所以乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为451 024.
二项分布的性质
[典例2] (2022·山东枣庄一模)已知随机变量X～B6，0.8，若PX=k最大，则DkX+1＝________．
24 [由题意知：PX = k ＝ C6k·0.26-k·0.8k，
要使PX=k最大，有C6k·0.26-k·0.8k≥C6k-1·0.27-k·0.8k-1，C6k·0.26-k·0.8k≥C6k+1·0.25-k·0.8k+1，
化简得0.8×7-kk≥0.2，0.2≥0.8×6-kk+1， 解得235≤k≤285，故k＝5.
又D(X)＝6×0.8×0.2＝0.96，
故DkX+1＝D5X+1＝52D(X)＝24.]
二项分布的均值与方差
[典例3] (2023·湖南株洲模拟)M1，M2是治疗同一种疾病的两种新药，某研发公司用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用M1，另2只服用M2，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用M1有效的小白鼠的只数比服用M2有效的多，就称该试验组为优类组．设每只小白鼠服用M1有效的概率为12，服用M2有效的概率为13.
(1)求一个试验组为优类组的概率；
(2)观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中优类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．
[解] (1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用M1有效的小白鼠有i只”，其中i＝0，1，2，
Bi表示事件“一个试验组中，服用M2有效的小白鼠有i只”，其中i＝0，1，2.
依题意有：PA0＝122＝14，PA1＝2×12×12＝12，PA2＝12×12＝14.
PB0＝23×23＝49，PB1＝2×13×23＝49，
PB2＝132＝19，
则一个试验组为优类组的概率为：
P＝PB0·A1＋PB0·A2＋PB1·A2＝49×12+49×14+49×14＝49.
(2)由题意可知ξ～B3，49，
Pξ=0＝593＝125729，
Pξ=1＝C31×49×592＝100243，
Pξ=2＝C32×492×59＝80243，
Pξ=3＝493＝64729，
则ξ的分布列为
ξ的数学期望为Eξ＝3×49＝43.
判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．
提醒：求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
[跟进训练]
1．某地区为鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为p(0.7≤p≤0.9)．
(1)任取树苗A，B，C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及数学期望E(X)；
(2)将(1)中的E(X)取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．
①求一棵B种树苗最终成活的概率；
②若每棵树苗最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？
[解] (1)依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3.则P(X＝0)＝0.2(1－p)2＝0.2p2－0.4p＋0.2，
P(X＝1)＝0.8×1-p2+0.2×C21×p×(1－p)＝0.8(1－p)2＋0.4p(1－p)＝0.4p2－1.2p＋0.8，
P(X＝2)＝0.2p2+0.8×C21×p×(1－p)
＝0.2p2＋1.6p(1－p)＝－1.4p2＋1.6p，
P(X＝3)＝0.8p2.
X的分布列为
E(X)＝0×(0.2p2－0.4p＋0.2)＋1×(0.4p2－1.2p＋0.8)＋2×(－1.4p2＋1.6p)＋3×0.8p2＝2p＋0.8.
(2)当p＝0.9时，E(X)取得最大值．
①一棵B种树苗最终成活的概率为0.9＋0.1×0.75×0.8＝0.96.
②记Y为n棵树苗的成活棵数，M(n)为n棵树苗的利润，则Y～B(n，0.96)，E(Y)＝0.96n，M(n)＝300Y－50(n－Y)＝350Y－50n，
E(M(n))＝350E(Y)－50n＝286n，
要使E(M(n))≥200 000，则有n＞699.
所以该农户至少引种700棵B种树苗，就可获利不低于20万元．
考点二 超几何分布
[典例4] (2022·湖北武汉二模)某公司采购部需要采购一箱电子元件，供货商对该电子元件整箱出售，每箱10个．在采购时，随机选择一箱并从中随机抽取3个逐个进行检验．若其中没有次品，则直接购买该箱电子元件；否则，不购买该箱电子元件．
(1)若某箱电子元件中恰有一个次品，求该箱电子元件能被直接购买的概率；
(2)若某箱电子元件中恰有两个次品，记对随机抽取的3个电子元件进行检测的次数为X，求X的分布列及期望．
[解] (1)设某箱电子元件有一个次品能被直接购买为事件A，则PA＝C93C103＝710.
(2) X可能取值为1，2，3.
则PX=1＝210＝15，
PX=2＝810×29＝845，
PX=3＝810×79＝2845.
故X的分布列是
故EX＝1×15＋2×845＋3×2845＝10945.
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．
超几何分布的特征是：
①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
[跟进训练]
2．(2023·重庆模拟)已知一个袋子中装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球．
(1)若从袋中一次任取3个球，设取到的3个球中有X个黑球，求X的分布列及数学期望；
(2)若从袋中每次随机取出一个球，记下颜色后将球放回袋中，重复此过程，直至他连续2次取到黑球才停止，设他在第Y次取球后停止取球，求PY=5.
[解] (1)X可能的取值为0，1，2，PX=k＝C2kC33-kC53，其中k＝0，1，2.
分布列如下：
故X的数学期望EX＝65.
(2)当Y＝5时知第四、五次取到的是黑球，第三次取到的是白球，前两次不能都取到黑球，
∴所求概率P＝1-25×25×35×25×25＝2523 125.
考点三 正态分布
[典例5] (1)(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则下列结论中不正确的是( )
A．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大
B．σ越小，该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C．σ越小，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9，10.2)内的概率与落在(10，10.3)内的概率相等
(2)设随机变量X～N(2，9)，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，则c的值为________，P(－4≤X≤8)＝________．
(1)D (2)2 0.954 5 [(1)对于A，σ越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称轴附近，故A正确．对于B，C，由于正态分布图象的对称轴为μ＝10，显然B，C正确．D显然错误．故选D.
(2)由X～N(2，9)可知，正态曲线的图象关于直线x＝2对称(如图所示)，
又P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，
故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，
∴c＝2.
P(－4≤X≤8)＝P(2－2×3≤X≤2＋2×3)＝0.954 5.]
【教师备选题】
(2021·八省联考)对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn～N0，2n，为使误差εn在(－0.5，0.5)的概率不小于0.954 5，至少要测量________次．(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|<2σ)≈0.954 5)
32 [P(|εn－μ|<2σ)≈0.954 5，又μ＝0，σ2＝2n，
即P(μ－2σ<εn<μ＋2σ)＝P-22n<εn<22n≈0.954 5，
由题意知2σ≤0.5，即22n≤12，所以n≥32.]
解决正态分布问题有三个关键点：
(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．
利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
[跟进训练]
3．(1)设两个正态分布N(μ1，σ12)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
(2)某厂生产的零件外径尺寸为X(单位：cm)且X～N(10，0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各随机取一个，测得其外径分别为10.5 cm，9.3 cm，则可认为( )
A．上午生产情况正常，下午生产情况异常
B．上午生产情况异常，下午生产情况正常
C．上午、下午生产情况均正常
D．上午、下午生产情况均异常
(3)为了解高三复习备考情况，其校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100，17.52)．已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有________人．(若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5)
(1)A (2)A (3)0.158 65 11 [(1)根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形状．由题图可得，选A.
(2)因为零件外径尺寸X～N(10，0.04)，μ＝10，σ＝0.2，所以根据3σ原则，外径在10－3×0.2＝9.4(cm)与10＋3×0.2＝10.6(cm)之外时为异常．从上、下午生产的零件中各随机取一个，测得其外径分别为10.5 cm和9.3 cm，所以可认为上午生产情况正常，下午生产情况异常．故选A.
(3)因为数学成绩X服从正态分布N(100，17.52)，则P(100－17.5≤X≤100＋17.5)＝P(82.5≤X≤117.5)≈0.682 7，所以此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率P(X<82.5)＝1-P82.5≤X≤117.52≈1-0.682 72＝0.158 65.又P(100－17.5×2≤X≤100＋17.5×2)＝P(65≤X≤135)≈0.954 5，所以数学成绩特别优秀的概率P(X>135)＝1-P65≤X≤1352≈1-0.954 52＝0.022 75.又P(X<82.5)＝P(X>117.5)＝0.158 65，则本次考试数学成绩特别优秀的人数大约是800.158 65×0.022 75≈11.]
[典例] 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到样本的频率分布直方图(如图)．
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
[赏析] (1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，
所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12.
(2)突破点1：总体一定，不放回抽样，超几何分布
质量超过505克的产品数量为12，则质量未超过505克的产品数量为28，X的取值为0，1，2，X服从超几何分布．
P(X＝0)＝C282C402＝63130，P(X＝1)＝C121C281C402＝2865，P(X＝2)＝C122C402＝11130，
所以X的分布列为
(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为1240＝310.
突破点2：总体容量大，不放回抽样，视为二项分布
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y～B2，310，
P(Y＝k)＝C2k1-3102-k310k，k＝0，1，2.
所以P(Y＝0)＝C20·7102＝49100，
P(Y＝1)＝C21·310·710＝2150，
P(Y＝2)＝C22·3102＝9100.
所以Y的分布列为
抓住超几何分布与二项分布的各自特征，明确两者间的区别与联系是破解此类问题的关键所在．
[跟进训练]
袋中有大小、质地完全相同的五个小球，小球上面分别标有0，1，2，3，4.
(1)从袋中任意摸出三个球，标号为奇数的球的个数记为X，写出X的分布列；
(2)从袋中一次性摸两球，和为奇数记为事件A，有放回地摇匀后连摸五次，事件A发生的次数记为Y，求Y的分布列、数学期望和方差．
[解] (1)由题可得X的所有可能取值为0，1，2.
P(X＝0)＝C20C33C53＝110，P(X＝1)＝C21C32C53＝610＝35，
P(X＝2)＝C22C31C53＝310.
则X的分布列为
(2)由题易知
P(A)＝C31C21C52＝610＝35，因此Y服从二项分布Y～B5，35.
所以P(Y＝k)＝C5k35k255-k(k＝0，1，2，3，4，5)，
则Y的分布列为
∴E(Y)＝5×35＝3，D(Y)＝65.
课时分层作业(六十二) 二项分布、超几何分布与正态分布
一、选择题
1．接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有80%不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多1人被感染的概率为( )
A．512625 B．256625
C．113625 D．1625
A [由题得最多1人被感染的概率为C40454+C4115453＝256+256625＝512625.故选A.]
2．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛，比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜乙的概率都为23，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则甲在比赛中以3∶1获得冠军的概率为( )
A．19 B．827
C．1627 D．1781
B [甲在比赛中以3∶1获得冠军，即前三局中甲胜两局，且第四局甲胜．所以甲在比赛中以3∶1获得冠军的概率P＝C32×232×13×23＝827.故选B.]
3．(2023·山东济南历城二中模拟)从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝( )
A．2 B．1
C．3 D．4
C [ξ的可能取值为0，1，2.
Pξ=0＝C133C153＝2235，Pξ=1＝C21C132C153＝1235，Pξ=2＝C22C131C153＝135.
∴ξ的分布列为
于是Eξ＝0×2235＋1×1235＋2×135＝25，
故E5ξ+1＝5Eξ＋1＝5×25＋1＝3.故选C.]
4．(2023·江苏高邮模拟)有5条同样的生产线，生产的零件尺寸(单位：mm)都服从正态分布N(20，σ2)，且P(19≤X≤21)＝23.在每条生产线上各取一个零件，恰好有3个尺寸在区间20，21的概率为( )
A．64243 B．80243
C．1681 D．40243
D [由题知正态分布N20，σ2的对称轴为x＝20，
又因为P(19≤X≤21)＝23，故P(20≤X≤21)＝13.
故在每条生产线上各取一个零件，恰好有3个尺寸在区间20，21的概率为P＝C53133232＝40243.故选D. ]
5．(多选)袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则( )
A．X～B4，23
B．P(X＝2)＝881
C．X的期望E(X)＝83
D．X的方差D(X)＝89
ACD [从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分，取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，所以随机变量X服从二项分布X～B4，23，故A正确； P(X＝2)＝C42232132＝827，故B错误；
因为X～B4，23，所以X的期望E(X)＝4×23＝83，故C正确；
因为X～B4，23，所以X的方差D(X)＝4×23×13＝89，故D正确．故选ACD.]
6．(多选)(2023·河北石家庄二中模拟)下列命题中，正确的命题序号为( )
A．已知随机变量X～Bn，p，若EX＝30，DX＝20，则p＝23
B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C．设随机变量ξ～N0，1，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ≤0)＝12－p
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B10，0.8，则当X＝8时概率最大
BCD [对于A，EX=np=30， DX=np1-p=20，解得p＝13，A错误；
对于B，方差反映的是数据与均值的偏移程度，因此每个数据都加上同一个常数后，每个新数据与新均值的偏移不变，方差恒不变，B正确；
对于C，ξ服从正态分布N0，1，P(－1<ξ≤0)＝P(0≤ξ<1)＝12－P(ξ>1)＝12－p，C正确；
对于D，X～B10，0.8，则P(X＝k)＝C10k0.8k×0.210-k，
由C10k0.8k×0.210-k≥C10k-10.8k-1×0.211-k，C10k0.8k×0.210-k≥C10k+10.8k+1×0.29-k， 解得395≤k≤445，所以k＝8，D正确．故选BCD.]
二、填空题
7．(2022·新高考Ⅱ卷) 已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(22.5)＝________．
0.14 [由题意可知，P(X>2)＝0.5，故P(X>2.5)＝P(X>2)－P(28．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝59，则P(Y≥2)＝________．
1127 [因为随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，又P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2＝59，解得p＝13p=53舍去，所以Y～B4，13，则P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)＝1127.]
9．一个盒子里有1红1绿4黄六个相同的球，每次拿一个，共拿三次，记拿到黄色球的个数为X.
(1)若取球过程是无放回的，则事件“X＝2”的概率为________；
(2)若取球过程是有放回的，则事件“X＝2”的概率为________．
(1)35 (2)49 [(1)无放回取球时，6个球任取三个，有C63种不同的取法，其中黄球个数为2个的取法有C42C21，故P(X＝2)＝C42C21C63＝35.
(2)有放回取球时，每次取到黄球的概率都是46＝23，取到黄球的次数X服从二项分布，故P(X＝2)＝C32232×13＝49.]
三、解答题
10．为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛．规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束．假设每局比赛小明获胜的概率都是23.
(1)求比赛结束时恰好打了7局的概率；
(2)若现在是小明6∶2的比分领先，记X表示结束比赛还需打的局数，求X的分布列及期望．
[解] (1)恰好打了7局小明获胜的概率是
P1＝C64235132＝15×2537，
恰好打了7局小亮获胜的概率为
P2＝C64232135＝15×2237，
∴比赛结束时恰好打了7局的概率为
P＝P1＋P2＝15×25+15×2237＝2081.
(2)X的可能取值为2，3，4，5.
PX=2＝232＝49，
PX=3＝C21×232×13＝2333＝827，
PX=4＝C31×232×132+C44×134＝1334＝1381，
PX=5＝C41×232×133+C43×23×134＝2435＝881，
∴X的分布列如下
EX＝2×49＋3×827＋4×1381＋5×881＝23681.
11．已知某精密制造企业为评估某设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算，μ＝65，σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值，解决以下问题：
(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的频率)：①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足①②，不满足③，则等级为乙；若仅满足①，不满足②③，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级；
(2)将直径小于μ－2σ或直径大于μ＋2σ的零件认为是次品，
①从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E(Y)；
②从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的分布列和数学期望E(Z)．
[解] (1)由表格可知
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝P(62.8≤X≤67.2)＝0.8≥0.682 7，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝P(60.6≤X≤69.4)＝0.94＜0.954 5，
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝P(58.4≤X≤71.6)＝0.98＜0.997 3，
因为设备M的数据仅满足不等式①，故其性能等级为丙．
(2)易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06.
①由题意可知Y～B2，0.06，
于是EY＝2×0.06＝0.12.
②Z可能的取值为0，1，2.
PZ=0＝C942C1002＝1 4571 650；
PZ=1＝C941C61C1002＝94825；
PZ=2＝C62C1002＝1330.
由题意可知Z的分布列为
故EZ＝0×1 4571 650＋1×94825＋2×1330＝325.
12．已知随机变量ξ～N(μ，σ2)，有下列四个命题：
甲：P(ξP(ξ>a＋2)；
乙：P(ξ>a)＝0.5；
丙：P(ξ≤a)＝0.5；
丁：P(a<ξ如果只有一个假命题，则该命题为( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
D [由于乙、丙的真假性相同，所以乙、丙都是真命题，故a＝μ，根据正态分布密度曲线的对称性可知，甲：P(ξ<μ－1)>P(ξ>μ＋2)为真命题，所以丁为假命题．P(μ<ξ<μ＋1)>P(μ＋1<ξ<μ＋2)．所以假命题是丁．]
13．(多选)(2022·广东深圳二模)已知随机变量X服从正态分布N(0，1)，正态密度函数f(x)＝P(X≤x)，若x>0，则( )
A．f(－x)＝1－f(x)
B．f(2x)＝2f(x)
C．f(x)在(0，＋∞)上是增函数
D．P(|X|≤x)＝2f(x)－1
ACD [∵随机变量X服从正态分布N(0，1)，
∴正态曲线关于直线x＝0对称，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，选项C正确；
∵f(x)＝P(X≤x)x>0，∴根据正态曲线的对称性可得f(－x)＝P(X>x)＝1－fx，选项A正确；
f(2x)＝P(X≤2x)，2fx＝2PX≤x，选项B错误；
P(|X|≤x)＝P-x≤X≤x＝1－2f-x＝1－21-fx＝2f(x)－1，选项D正确．故选ACD.]
14．某同学进行投篮训练，已知该同学每次投篮命中的概率都为34，且每次投篮是否命中相互独立，则该同学在三次投篮中至少命中2次的概率为________；该同学在10次投篮中恰好命中________次的概率最大．
2732 8 [∵该同学每次投篮命中的概率都为34，且每次投篮是否命中相互独立，∴该同学在三次投篮中至少命中2次的概率为
P＝1-C30×340×143-C31×34×142＝2732.
设该同学在10次投篮中恰好命中k次(k＝0，1，2，…，10)的概率为Pk，
∴Pk＝C10k×34k×1410-k＝C10k×1410×3k，
当Pk最大时，Pk≥Pk+1，Pk≥Pk-1，
∴C10k×1410×3k≥C10k+1×1410×3k+1，C10k×1410×3k≥C10k-1×1410×3k-1，
∴10！k！10-k！≥3·10！k+1！9-k！，3·10！k！10-k！≥10！k-1！11-k！，
即k+1≥310-k，311-k≥k， 解得294≤k≤334，
∵k∈Z，∴k＝8.故k为8时，Pk最大．]
15．(2022·广东惠州一模)惠州市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答．甲、乙两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答，答对题目多者为胜．已知这6个问题中，甲组能正确回答其中4个问题，而乙组能正确回答每
个问题的概率均为23.甲、乙两个小组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
(1)求甲小组至少答对2个问题的概率；
(2)若从甲、乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？
[解] (1)甲小组至少答对2道题目可分为答对2题或者答对3题．
PX=2＝C42C21C63＝35，PX=3＝C43C20C63＝15，
所求概率PX≥2＝35+15＝45.
(2)甲小组抽取的3题中正确回答的题数为X，则X的取值分别为1，2，3.
PX=1＝C41C22C63＝15，
结合(1)可知EX＝1×15＋2×35＋3×15＝2，
DX＝1-22×15 +2-22×35 +3-22×15＝25.
设乙小组抽取的3题中正确回答的题数为Y，则Y～B3，23，EY＝3×23＝2，DY＝3×23×1-23＝23.
由EX＝EY，DXξ
0
1
2
3
P
125729
100243
80243
64729
X
0
1
2
3
P
0.2p2－0.4p＋0.2
0.4p2－1.2p＋0.8
－1.4p2＋1.6p
0.8p2
X
1
2
3
P
15
845
2845
X
0
1
2
P
110
35
310
超几何分布
二项分布
特征
描述的是不放回抽样问题(总体在变化)
描述的是有放回抽样问题(总体不改变)
考察对象分为两类
每一次试验是伯努利试验
已知各类对象的个数
联系
(当总体容量很大时)超几何分布可近似看作二项分布
X
0
1
2
P
63130
2865
11130
Y
0
1
2
P
49100
2150
9100
X
0
1
2
P
110
35
310
Y
0
1
2
3
4
5
P
323 125
48625
144625
216625
162625
2433 125
ξ
0
1
2
P
2235
1235
135
X
2
3
4
5
P
49
827
1381
881
直径
/mm
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
件数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
Z
0
1
2
P
1 4571 650
94825
1330
2．借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．
1．n重伯努利试验与二项分布
(1)n重伯努利试验
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．
将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
(2)二项分布
在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．
2．超几何分布
(1)定义
在含有M件次品的N件产品中，随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝CMkCN-Mn-kCNn，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，称随机变量X服从超几何分布．
(2)超几何分布的均值
若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝nMN．
3．正态曲线与正态分布
(1)我们称f(x)＝1σ2πe-(x-μ)22σ2，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态密度曲线，简称正态曲线．
(2)若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．
(3)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
②曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
(4)正态变量在三个特殊区间内取值的概率
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．
(5)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．( )
(2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．( )
(3)超几何分布与二项分布的期望值相同．( )
(4)正态曲线与x轴围成的面积随参数μ，σ的变化而变化.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
二、教材习题衍生
1．(人教A版选择性必修第三册P79例6改编)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )
A．25 B．35
C．18125 D．54125
D [袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率P1＝35，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P＝C32×352×1-35＝54125.]
2．(人教A版选择性必修第三册P78探究改编)设50个产品中有10个次品，任取产品20个，取到的次品可能有X个，则E(X)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．1
A [由题意，E(X)＝10×2050＝4.故选A.]
3．(人教A版选择性必修第三册P87练习T2改编)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )
A．0.477 B．0.628
C．0.954 D．0.977
C [∵μ＝0，∴P(ξ＞2)＝P(ξ＜－2)＝0.023，
∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.]
4．(人教A版选择性必修第三册P78例5改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝2)＝________．
310 [由题意得P(X＝2)＝C32C72C104＝310.]
考点一 n重伯努利试验与二项分布
n重伯努利试验及其概率
[典例1] 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
(3)假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击．问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为多少？
[解] (1)记“甲射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A1，则事件A1的对立事件A1为“甲射击4次，全部击中目标”．由题意可知，射击4次相当于做了4重伯努利试验，
故P(A1)＝C44×234＝1681.
所以P(A1)＝1－P(A1)＝1－1681＝6581.
所以甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率为6581.
(2)记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A2，“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B2，
则P(A2)＝C42×232×1-232＝827，
P(B2)＝C43×343×1-341＝2764.
由于甲、乙射击相互独立，
故P(A2B2)＝P(A2)P(B2)＝827×2764＝18.
所以两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为18.
(3)记“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中”为事件Di(i＝1，2，3，4，5)，
则A3＝D5D4D3(D2D1∪D2D1∪D2D1)，
且P(Di)＝14.
由于各事件相互独立，故P(A3)＝P(D5)P(D4)P(D3)P(D2D1＋D2D1＋D2D1)
＝14×14×34×1-14×14＝451 024.
所以乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为451 024.
二项分布的性质
[典例2] (2022·山东枣庄一模)已知随机变量X～B6，0.8，若PX=k最大，则DkX+1＝________．
24 [由题意知：PX = k ＝ C6k·0.26-k·0.8k，
要使PX=k最大，有C6k·0.26-k·0.8k≥C6k-1·0.27-k·0.8k-1，C6k·0.26-k·0.8k≥C6k+1·0.25-k·0.8k+1，
化简得0.8×7-kk≥0.2，0.2≥0.8×6-kk+1， 解得235≤k≤285，故k＝5.
又D(X)＝6×0.8×0.2＝0.96，
故DkX+1＝D5X+1＝52D(X)＝24.]
二项分布的均值与方差
[典例3] (2023·湖南株洲模拟)M1，M2是治疗同一种疾病的两种新药，某研发公司用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用M1，另2只服用M2，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用M1有效的小白鼠的只数比服用M2有效的多，就称该试验组为优类组．设每只小白鼠服用M1有效的概率为12，服用M2有效的概率为13.
(1)求一个试验组为优类组的概率；
(2)观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中优类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．
[解] (1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用M1有效的小白鼠有i只”，其中i＝0，1，2，
Bi表示事件“一个试验组中，服用M2有效的小白鼠有i只”，其中i＝0，1，2.
依题意有：PA0＝122＝14，PA1＝2×12×12＝12，PA2＝12×12＝14.
PB0＝23×23＝49，PB1＝2×13×23＝49，
PB2＝132＝19，
则一个试验组为优类组的概率为：
P＝PB0·A1＋PB0·A2＋PB1·A2＝49×12+49×14+49×14＝49.
(2)由题意可知ξ～B3，49，
Pξ=0＝593＝125729，
Pξ=1＝C31×49×592＝100243，
Pξ=2＝C32×492×59＝80243，
Pξ=3＝493＝64729，
则ξ的分布列为
ξ的数学期望为Eξ＝3×49＝43.
判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．
提醒：求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
[跟进训练]
1．某地区为鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为p(0.7≤p≤0.9)．
(1)任取树苗A，B，C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及数学期望E(X)；
(2)将(1)中的E(X)取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．
①求一棵B种树苗最终成活的概率；
②若每棵树苗最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？
[解] (1)依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3.则P(X＝0)＝0.2(1－p)2＝0.2p2－0.4p＋0.2，
P(X＝1)＝0.8×1-p2+0.2×C21×p×(1－p)＝0.8(1－p)2＋0.4p(1－p)＝0.4p2－1.2p＋0.8，
P(X＝2)＝0.2p2+0.8×C21×p×(1－p)
＝0.2p2＋1.6p(1－p)＝－1.4p2＋1.6p，
P(X＝3)＝0.8p2.
X的分布列为
E(X)＝0×(0.2p2－0.4p＋0.2)＋1×(0.4p2－1.2p＋0.8)＋2×(－1.4p2＋1.6p)＋3×0.8p2＝2p＋0.8.
(2)当p＝0.9时，E(X)取得最大值．
①一棵B种树苗最终成活的概率为0.9＋0.1×0.75×0.8＝0.96.
②记Y为n棵树苗的成活棵数，M(n)为n棵树苗的利润，则Y～B(n，0.96)，E(Y)＝0.96n，M(n)＝300Y－50(n－Y)＝350Y－50n，
E(M(n))＝350E(Y)－50n＝286n，
要使E(M(n))≥200 000，则有n＞699.
所以该农户至少引种700棵B种树苗，就可获利不低于20万元．
考点二 超几何分布
[典例4] (2022·湖北武汉二模)某公司采购部需要采购一箱电子元件，供货商对该电子元件整箱出售，每箱10个．在采购时，随机选择一箱并从中随机抽取3个逐个进行检验．若其中没有次品，则直接购买该箱电子元件；否则，不购买该箱电子元件．
(1)若某箱电子元件中恰有一个次品，求该箱电子元件能被直接购买的概率；
(2)若某箱电子元件中恰有两个次品，记对随机抽取的3个电子元件进行检测的次数为X，求X的分布列及期望．
[解] (1)设某箱电子元件有一个次品能被直接购买为事件A，则PA＝C93C103＝710.
(2) X可能取值为1，2，3.
则PX=1＝210＝15，
PX=2＝810×29＝845，
PX=3＝810×79＝2845.
故X的分布列是
故EX＝1×15＋2×845＋3×2845＝10945.
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．
超几何分布的特征是：
①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
[跟进训练]
2．(2023·重庆模拟)已知一个袋子中装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球．
(1)若从袋中一次任取3个球，设取到的3个球中有X个黑球，求X的分布列及数学期望；
(2)若从袋中每次随机取出一个球，记下颜色后将球放回袋中，重复此过程，直至他连续2次取到黑球才停止，设他在第Y次取球后停止取球，求PY=5.
[解] (1)X可能的取值为0，1，2，PX=k＝C2kC33-kC53，其中k＝0，1，2.
分布列如下：
故X的数学期望EX＝65.
(2)当Y＝5时知第四、五次取到的是黑球，第三次取到的是白球，前两次不能都取到黑球，
∴所求概率P＝1-25×25×35×25×25＝2523 125.
考点三 正态分布
[典例5] (1)(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则下列结论中不正确的是( )
A．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大
B．σ越小，该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C．σ越小，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9，10.2)内的概率与落在(10，10.3)内的概率相等
(2)设随机变量X～N(2，9)，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，则c的值为________，P(－4≤X≤8)＝________．
(1)D (2)2 0.954 5 [(1)对于A，σ越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称轴附近，故A正确．对于B，C，由于正态分布图象的对称轴为μ＝10，显然B，C正确．D显然错误．故选D.
(2)由X～N(2，9)可知，正态曲线的图象关于直线x＝2对称(如图所示)，
又P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，
故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，
∴c＝2.
P(－4≤X≤8)＝P(2－2×3≤X≤2＋2×3)＝0.954 5.]
【教师备选题】
(2021·八省联考)对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn～N0，2n，为使误差εn在(－0.5，0.5)的概率不小于0.954 5，至少要测量________次．(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|<2σ)≈0.954 5)
32 [P(|εn－μ|<2σ)≈0.954 5，又μ＝0，σ2＝2n，
即P(μ－2σ<εn<μ＋2σ)＝P-22n<εn<22n≈0.954 5，
由题意知2σ≤0.5，即22n≤12，所以n≥32.]
解决正态分布问题有三个关键点：
(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．
利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
[跟进训练]
3．(1)设两个正态分布N(μ1，σ12)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
(2)某厂生产的零件外径尺寸为X(单位：cm)且X～N(10，0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各随机取一个，测得其外径分别为10.5 cm，9.3 cm，则可认为( )
A．上午生产情况正常，下午生产情况异常
B．上午生产情况异常，下午生产情况正常
C．上午、下午生产情况均正常
D．上午、下午生产情况均异常
(3)为了解高三复习备考情况，其校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100，17.52)．已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有________人．(若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5)
(1)A (2)A (3)0.158 65 11 [(1)根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形状．由题图可得，选A.
(2)因为零件外径尺寸X～N(10，0.04)，μ＝10，σ＝0.2，所以根据3σ原则，外径在10－3×0.2＝9.4(cm)与10＋3×0.2＝10.6(cm)之外时为异常．从上、下午生产的零件中各随机取一个，测得其外径分别为10.5 cm和9.3 cm，所以可认为上午生产情况正常，下午生产情况异常．故选A.
(3)因为数学成绩X服从正态分布N(100，17.52)，则P(100－17.5≤X≤100＋17.5)＝P(82.5≤X≤117.5)≈0.682 7，所以此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率P(X<82.5)＝1-P82.5≤X≤117.52≈1-0.682 72＝0.158 65.又P(100－17.5×2≤X≤100＋17.5×2)＝P(65≤X≤135)≈0.954 5，所以数学成绩特别优秀的概率P(X>135)＝1-P65≤X≤1352≈1-0.954 52＝0.022 75.又P(X<82.5)＝P(X>117.5)＝0.158 65，则本次考试数学成绩特别优秀的人数大约是800.158 65×0.022 75≈11.]
[典例] 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到样本的频率分布直方图(如图)．
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
[赏析] (1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，
所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12.
(2)突破点1：总体一定，不放回抽样，超几何分布
质量超过505克的产品数量为12，则质量未超过505克的产品数量为28，X的取值为0，1，2，X服从超几何分布．
P(X＝0)＝C282C402＝63130，P(X＝1)＝C121C281C402＝2865，P(X＝2)＝C122C402＝11130，
所以X的分布列为
(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为1240＝310.
突破点2：总体容量大，不放回抽样，视为二项分布
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y～B2，310，
P(Y＝k)＝C2k1-3102-k310k，k＝0，1，2.
所以P(Y＝0)＝C20·7102＝49100，
P(Y＝1)＝C21·310·710＝2150，
P(Y＝2)＝C22·3102＝9100.
所以Y的分布列为
抓住超几何分布与二项分布的各自特征，明确两者间的区别与联系是破解此类问题的关键所在．
[跟进训练]
袋中有大小、质地完全相同的五个小球，小球上面分别标有0，1，2，3，4.
(1)从袋中任意摸出三个球，标号为奇数的球的个数记为X，写出X的分布列；
(2)从袋中一次性摸两球，和为奇数记为事件A，有放回地摇匀后连摸五次，事件A发生的次数记为Y，求Y的分布列、数学期望和方差．
[解] (1)由题可得X的所有可能取值为0，1，2.
P(X＝0)＝C20C33C53＝110，P(X＝1)＝C21C32C53＝610＝35，
P(X＝2)＝C22C31C53＝310.
则X的分布列为
(2)由题易知
P(A)＝C31C21C52＝610＝35，因此Y服从二项分布Y～B5，35.
所以P(Y＝k)＝C5k35k255-k(k＝0，1，2，3，4，5)，
则Y的分布列为
∴E(Y)＝5×35＝3，D(Y)＝65.
课时分层作业(六十二) 二项分布、超几何分布与正态分布
一、选择题
1．接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有80%不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多1人被感染的概率为( )
A．512625 B．256625
C．113625 D．1625
A [由题得最多1人被感染的概率为C40454+C4115453＝256+256625＝512625.故选A.]
2．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛，比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜乙的概率都为23，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则甲在比赛中以3∶1获得冠军的概率为( )
A．19 B．827
C．1627 D．1781
B [甲在比赛中以3∶1获得冠军，即前三局中甲胜两局，且第四局甲胜．所以甲在比赛中以3∶1获得冠军的概率P＝C32×232×13×23＝827.故选B.]
3．(2023·山东济南历城二中模拟)从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝( )
A．2 B．1
C．3 D．4
C [ξ的可能取值为0，1，2.
Pξ=0＝C133C153＝2235，Pξ=1＝C21C132C153＝1235，Pξ=2＝C22C131C153＝135.
∴ξ的分布列为
于是Eξ＝0×2235＋1×1235＋2×135＝25，
故E5ξ+1＝5Eξ＋1＝5×25＋1＝3.故选C.]
4．(2023·江苏高邮模拟)有5条同样的生产线，生产的零件尺寸(单位：mm)都服从正态分布N(20，σ2)，且P(19≤X≤21)＝23.在每条生产线上各取一个零件，恰好有3个尺寸在区间20，21的概率为( )
A．64243 B．80243
C．1681 D．40243
D [由题知正态分布N20，σ2的对称轴为x＝20，
又因为P(19≤X≤21)＝23，故P(20≤X≤21)＝13.
故在每条生产线上各取一个零件，恰好有3个尺寸在区间20，21的概率为P＝C53133232＝40243.故选D. ]
5．(多选)袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则( )
A．X～B4，23
B．P(X＝2)＝881
C．X的期望E(X)＝83
D．X的方差D(X)＝89
ACD [从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分，取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，所以随机变量X服从二项分布X～B4，23，故A正确； P(X＝2)＝C42232132＝827，故B错误；
因为X～B4，23，所以X的期望E(X)＝4×23＝83，故C正确；
因为X～B4，23，所以X的方差D(X)＝4×23×13＝89，故D正确．故选ACD.]
6．(多选)(2023·河北石家庄二中模拟)下列命题中，正确的命题序号为( )
A．已知随机变量X～Bn，p，若EX＝30，DX＝20，则p＝23
B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C．设随机变量ξ～N0，1，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ≤0)＝12－p
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B10，0.8，则当X＝8时概率最大
BCD [对于A，EX=np=30， DX=np1-p=20，解得p＝13，A错误；
对于B，方差反映的是数据与均值的偏移程度，因此每个数据都加上同一个常数后，每个新数据与新均值的偏移不变，方差恒不变，B正确；
对于C，ξ服从正态分布N0，1，P(－1<ξ≤0)＝P(0≤ξ<1)＝12－P(ξ>1)＝12－p，C正确；
对于D，X～B10，0.8，则P(X＝k)＝C10k0.8k×0.210-k，
由C10k0.8k×0.210-k≥C10k-10.8k-1×0.211-k，C10k0.8k×0.210-k≥C10k+10.8k+1×0.29-k， 解得395≤k≤445，所以k＝8，D正确．故选BCD.]
二、填空题
7．(2022·新高考Ⅱ卷) 已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2
0.14 [由题意可知，P(X>2)＝0.5，故P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2
1127 [因为随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，又P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2＝59，解得p＝13p=53舍去，所以Y～B4，13，则P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)＝1127.]
9．一个盒子里有1红1绿4黄六个相同的球，每次拿一个，共拿三次，记拿到黄色球的个数为X.
(1)若取球过程是无放回的，则事件“X＝2”的概率为________；
(2)若取球过程是有放回的，则事件“X＝2”的概率为________．
(1)35 (2)49 [(1)无放回取球时，6个球任取三个，有C63种不同的取法，其中黄球个数为2个的取法有C42C21，故P(X＝2)＝C42C21C63＝35.
(2)有放回取球时，每次取到黄球的概率都是46＝23，取到黄球的次数X服从二项分布，故P(X＝2)＝C32232×13＝49.]
三、解答题
10．为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛．规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束．假设每局比赛小明获胜的概率都是23.
(1)求比赛结束时恰好打了7局的概率；
(2)若现在是小明6∶2的比分领先，记X表示结束比赛还需打的局数，求X的分布列及期望．
[解] (1)恰好打了7局小明获胜的概率是
P1＝C64235132＝15×2537，
恰好打了7局小亮获胜的概率为
P2＝C64232135＝15×2237，
∴比赛结束时恰好打了7局的概率为
P＝P1＋P2＝15×25+15×2237＝2081.
(2)X的可能取值为2，3，4，5.
PX=2＝232＝49，
PX=3＝C21×232×13＝2333＝827，
PX=4＝C31×232×132+C44×134＝1334＝1381，
PX=5＝C41×232×133+C43×23×134＝2435＝881，
∴X的分布列如下
EX＝2×49＋3×827＋4×1381＋5×881＝23681.
11．已知某精密制造企业为评估某设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算，μ＝65，σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值，解决以下问题：
(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的频率)：①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足①②，不满足③，则等级为乙；若仅满足①，不满足②③，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级；
(2)将直径小于μ－2σ或直径大于μ＋2σ的零件认为是次品，
①从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E(Y)；
②从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的分布列和数学期望E(Z)．
[解] (1)由表格可知
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝P(62.8≤X≤67.2)＝0.8≥0.682 7，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝P(60.6≤X≤69.4)＝0.94＜0.954 5，
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝P(58.4≤X≤71.6)＝0.98＜0.997 3，
因为设备M的数据仅满足不等式①，故其性能等级为丙．
(2)易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06.
①由题意可知Y～B2，0.06，
于是EY＝2×0.06＝0.12.
②Z可能的取值为0，1，2.
PZ=0＝C942C1002＝1 4571 650；
PZ=1＝C941C61C1002＝94825；
PZ=2＝C62C1002＝1330.
由题意可知Z的分布列为
故EZ＝0×1 4571 650＋1×94825＋2×1330＝325.
12．已知随机变量ξ～N(μ，σ2)，有下列四个命题：
甲：P(ξ
乙：P(ξ>a)＝0.5；
丙：P(ξ≤a)＝0.5；
丁：P(a<ξ
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
D [由于乙、丙的真假性相同，所以乙、丙都是真命题，故a＝μ，根据正态分布密度曲线的对称性可知，甲：P(ξ<μ－1)>P(ξ>μ＋2)为真命题，所以丁为假命题．P(μ<ξ<μ＋1)>P(μ＋1<ξ<μ＋2)．所以假命题是丁．]
13．(多选)(2022·广东深圳二模)已知随机变量X服从正态分布N(0，1)，正态密度函数f(x)＝P(X≤x)，若x>0，则( )
A．f(－x)＝1－f(x)
B．f(2x)＝2f(x)
C．f(x)在(0，＋∞)上是增函数
D．P(|X|≤x)＝2f(x)－1
ACD [∵随机变量X服从正态分布N(0，1)，
∴正态曲线关于直线x＝0对称，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，选项C正确；
∵f(x)＝P(X≤x)x>0，∴根据正态曲线的对称性可得f(－x)＝P(X>x)＝1－fx，选项A正确；
f(2x)＝P(X≤2x)，2fx＝2PX≤x，选项B错误；
P(|X|≤x)＝P-x≤X≤x＝1－2f-x＝1－21-fx＝2f(x)－1，选项D正确．故选ACD.]
14．某同学进行投篮训练，已知该同学每次投篮命中的概率都为34，且每次投篮是否命中相互独立，则该同学在三次投篮中至少命中2次的概率为________；该同学在10次投篮中恰好命中________次的概率最大．
2732 8 [∵该同学每次投篮命中的概率都为34，且每次投篮是否命中相互独立，∴该同学在三次投篮中至少命中2次的概率为
P＝1-C30×340×143-C31×34×142＝2732.
设该同学在10次投篮中恰好命中k次(k＝0，1，2，…，10)的概率为Pk，
∴Pk＝C10k×34k×1410-k＝C10k×1410×3k，
当Pk最大时，Pk≥Pk+1，Pk≥Pk-1，
∴C10k×1410×3k≥C10k+1×1410×3k+1，C10k×1410×3k≥C10k-1×1410×3k-1，
∴10！k！10-k！≥3·10！k+1！9-k！，3·10！k！10-k！≥10！k-1！11-k！，
即k+1≥310-k，311-k≥k， 解得294≤k≤334，
∵k∈Z，∴k＝8.故k为8时，Pk最大．]
15．(2022·广东惠州一模)惠州市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答．甲、乙两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答，答对题目多者为胜．已知这6个问题中，甲组能正确回答其中4个问题，而乙组能正确回答每
个问题的概率均为23.甲、乙两个小组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
(1)求甲小组至少答对2个问题的概率；
(2)若从甲、乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？
[解] (1)甲小组至少答对2道题目可分为答对2题或者答对3题．
PX=2＝C42C21C63＝35，PX=3＝C43C20C63＝15，
所求概率PX≥2＝35+15＝45.
(2)甲小组抽取的3题中正确回答的题数为X，则X的取值分别为1，2，3.
PX=1＝C41C22C63＝15，
结合(1)可知EX＝1×15＋2×35＋3×15＝2，
DX＝1-22×15 +2-22×35 +3-22×15＝25.
设乙小组抽取的3题中正确回答的题数为Y，则Y～B3，23，EY＝3×23＝2，DY＝3×23×1-23＝23.
由EX＝EY，DX
0
1
2
3
P
125729
100243
80243
64729
X
0
1
2
3
P
0.2p2－0.4p＋0.2
0.4p2－1.2p＋0.8
－1.4p2＋1.6p
0.8p2
X
1
2
3
P
15
845
2845
X
0
1
2
P
110
35
310
超几何分布
二项分布
特征
描述的是不放回抽样问题(总体在变化)
描述的是有放回抽样问题(总体不改变)
考察对象分为两类
每一次试验是伯努利试验
已知各类对象的个数
联系
(当总体容量很大时)超几何分布可近似看作二项分布
X
0
1
2
P
63130
2865
11130
Y
0
1
2
P
49100
2150
9100
X
0
1
2
P
110
35
310
Y
0
1
2
3
4
5
P
323 125
48625
144625
216625
162625
2433 125
ξ
0
1
2
P
2235
1235
135
X
2
3
4
5
P
49
827
1381
881
直径
/mm
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
件数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
Z
0
1
2
P
1 4571 650
94825
1330
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