2025版高考数学全程一轮复习学案第十章计数原理概率随机变量及其分布列第七节二项分布超几何分布与正态分布

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这是一份2025版高考数学全程一轮复习学案第十章计数原理概率随机变量及其分布列第七节二项分布超几何分布与正态分布，共4页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。

1.二项分布
(1)伯努利试验
只包含________可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为________．
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作________．
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝______，D(X)＝________．
②若X～B(n，p)，则E(X)＝________，D(X)＝________．
2．超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
3．正态分布
(1)定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝1σ2πe-(x-μ)22σ2，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为________．
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线________对称；
②曲线在________处达到峰值1σ2π；
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
(3)3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(4)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝________，D(X)＝________．
【常用结论】
1．两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．
2．在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．
3．超几何分布也可记为X～H(n，M，N)，则E(X)＝nMN.
4．若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题．
夯实基础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二项分布是一个概率分布，其公式相当于a+bn二项展开式的通项，其中a＝p，b＝1－p.( )
(2)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．( )
(3)n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立．( )
(4)正态分布是对于连续型随机变量而言的．( )
2．(教材改编)鸡接种一种疫苗后，有90%不会感染某种病毒，如果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为( )
A．0.33 B．0.66 C．0.5 D．0.45
3．(教材改编)某学校高二年级数学学业质量检测考试成绩X～N(80，25)，如果规定大于或等于85分为A等，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的成绩为A等的概率是________．
4．(易错)箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球，若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )
A.C53C41 C54 B．593×49
C.35×14 D.C41 593×49
5．(易错)已知随机变量X服从正态分布X～N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X第七节二项分布、超几何分布与正态分布
必备知识
1．（1）两个 n重伯努利试验
（2）Cnkpk（1－p）n－k X～B（n，p）
（3）①p p（1－p） ②np np（1－p）
2. eq \f(C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(M)) C eq \\al(\s\up1(n－k),\s\d1(N－M)) ,C eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(N)) )
3．（1）X～N（μ，σ2）（2）①x＝μ ②x＝μ （4）μ σ2
夯实基础
1．答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．解析：设5只接种疫苗的鸡中没有感染病毒的只数为X，则X～B(5，0.9)，所以P(X＝4)＝C54×0.94×0.1≈0.33.故选A.
答案：A
3．解析：P(X≥85)＝12[1－P(75≤X<85)]＝1-0.6832＝0.158 5.
答案：0.158 5
4．解析：由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为593×49.故选B.
答案：B
5．解析：因为X～N(3，1)，所以正态曲线关于直线x＝3对称，且P(X>2c－1)＝P(X答案：43

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