人教b版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第7节离散型随机变量的分布列及数字特征学案含解析

第7节　离散型随机变量的分布列及数字特征

一、教材概念·结论·性质重现

1．随机变量的有关概念

(1)随机变量：一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量．

(2)离散型随机变量：若随机变量的所有可能的取值都是可以一一列举出来的，那么其是离散型随机变量．

(1)离散型随机变量X的每一个可能取值为实数，其实质代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的．

(2)若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b为常数)也是随机变量．

2．离散型随机变量的分布列

(1)定义：离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列.

(2)性质：

①pk≥0，k＝1,2，…，n；

②k＝p1＋p2＋…＋pn＝1.

判断所求离散型随机变量的分布列是否正确，可用pi≥0，i＝1,2，…，n及p1＋p2＋…＋pn＝1检验．

3．离散型随机变量的均值与方差

离散型随机变量X的分布列为

(1)均值

称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望(简称为期望)．它刻画了离散型随机变量取值的平均水平．

(2)方差

称D(X)＝xi－E(X)]2pi为离散型随机变量X的方差，离散型随机变量X的方差D(X)也可用DX表示．一般地称为离散型随机变量X的标准差，它可以刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小)．

(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均．

(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态．

(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加．

4．均值与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(a，b为常数)

(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)

5．两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．

(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np·(1－p)．

1．若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．

2．均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－E2(X)．

3．超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝.

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.( × )

(2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实际意义．( × )

(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，

则它服从两点分布．( × )

(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．( √ )

(5)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事．( × )

2．设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk·(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(X)，D(X)的值分别是(　　)

A．0和1 B．p和p2

C．p和1－p D．p和(1－p)p

D　解析：由X的分布列知，P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，故E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，易知X服从两点分布，所以D(X)＝p(1－p)．

3．已知X的分布列为

设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　)

A． B．4 

C．－1 D．1

A　解析：E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，

E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.

4．已知离散型随机变量X的分布列为

则常数q＝________.

1－　解析：由分布列的性质得0.5＋1－2q＋q2＝1，解得q＝1－或q＝1＋(舍去)．

5．(2021·延庆区调研)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为

若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．

乙　解析：E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，所以E(Y)<E(X)，故乙的技术较好．

6．若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)的值为________．

0　解析：因为P(X＝c)＝1，所以E(X)＝c×1＝c，所以D(X)＝(c－c)2×1＝0.

考点1　离散型随机变量的分布列及性质——基础性

(2020·南京师大附中高三模拟)某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．

(1)求恰有2人申请A大学的概率；

(2)求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)．

解：(1)所有可能的方式有34种，恰有2人申请A大学的情况有C×22种，

从而恰有2人申请A大学的概率为＝.

(2)由题意可知，随机变量的可能取值为1,2,3，

则P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝.

所以随机变量X的分布列为

E(X)＝1×＋2×＋3×＝.

求离散型随机变量X的分布列的步骤

(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值．

(2)求X取每个值的概率．

(3)写出X的分布列．

求离散型随机变量的分布列的关键，是求随机变量所取值对应的概率．在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．

设离散型随机变量X的分布列为

(1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列；

(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列；

(3)求随机变量ξ＝X2的分布列．

解：(1)由分布列的性质可知，

0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.

首先列表为

从而Y＝2X＋1的分布列为

(2)列表为

所以P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，

P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，

P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，

P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3，

故η＝|X－1|的分布列为

(3)首先列表为

从而ξ＝X2的分布列为

考点2　离散型随机变量的均值与方差——综合性

考向1　离散型随机变量的均值与方差

为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．

(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)、方差D(ξ)．

解：(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0元、40元、80元．

两人都付0元的概率为p1＝×＝；

两人都付40元的概率为p2＝×＝；

两人都付80元的概率为

p3＝×＝×＝.

所以，两人所付费用相同的概率为p＝p1＋p2＋p3＝＋＋＝.

(2)ξ的可能取值为0,40,80,120,160，且

P(ξ＝0)＝×＝，

P(ξ＝40)＝×＋×＝，

P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，

P(ξ＝120)＝×＋×＝，

P(ξ＝160)＝×＝，

所以ξ的分布列为

E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80，

D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝.

求离散型随机变量的均值、方差的步骤

(1)理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值．

(2)求X的每个值的概率．

(3)写出X的分布列．

(4)由均值定义求出E(X)，D(X)．

注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2·D(X)的应用．

考向2　二项分布的均值与方差

(1)(2020·浙江高三模拟)一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n(n∈N*)个黑球．现从中有放回地摸取4次，每次都是随机摸取一球．设摸得白球个数为X，若D(X)＝1，则E(X)＝(　　)

A．1 B．2 

C．3 D．4

B　解析：由题意，X～B(4，p)．因为D(X)＝4p(1－p)＝1，所以p＝，E(X)＝4p＝4×＝2.故选B.

(2)某市旅游局为了进一步开发旅游资源，需要了解游客的情况，以便制定相应的策略．在某月中随机抽取甲、乙两个景点各10天的游客数，画出茎叶图如图所示．若景点甲中的数据的中位数是126，景点乙中的数据的平均数是124.

①求x，y的值；

②若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时间内的样本数据(视样本频率为概率)．现从这段时间内任取4天，记其中游客数不低于125的天数为ξ，求ξ的期望与方差．

解：①由题意知甲的中间两位数的尾数为7，x.根据中位数为126，即＝6，所以x＝5.

乙中以124为平均数，则109可表示为－15,115可表示为－9，…，可列出等式－15－9－6＋1＋2＋9＋11＋17＝10，则124－10＝114，y＝4，所以x＝5，y＝4.

②由题意知，因为景点甲的每一天的游客数不低于125的概率为＝，任取4天，即是进行了4次独立重复试验，其中有ξ次发生，故随机变量ξ～B，所以E(ξ)＝4×＝，D(ξ)＝4××＝.

二项分布的均值与方差

(1)如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．

(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)．

1．(2021·陕西省第三次联考)同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的数学期望是(　　)

A．1 B．2 

C．   D．

A　解析：因为一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为×＝，所以X～B，所以E(X)＝4×＝1.故选A.

2．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.

(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；

(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．

解：(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，

P(X＝0)＝××＝，

P(X＝1)＝××＋××＋××＝，

P(X＝2)＝××＋××＋××＝，

P(X＝3)＝××＝.

所以随机变量X的分布列为

随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为

P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)

＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)

＝×＋×＝.

所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.

考点3　均值与方差在决策问题中的应用——应用性

某投资公司在2021年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：

项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和.

项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.

针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．

解：若按“项目一”投资，设获利为X1万元，

则X1的分布列为

所以E(X1)＝300×＋(－150)×＝200(万元)．

若按“项目二”投资，设获利为X2万元，

则X2的分布列为

所以E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元)．

D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000，

D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000.

所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，

这说明虽然项目一、项目二获利的均值相等，但项目一更稳妥．

综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．

利用期望与方差进行决策的方法

一般先计算期望，若相等，则由方差来确定哪一个更好．若E(ξ1)与E(ξ2)比较接近，且期望较大者的方差较小，显然该变量更好；若E(ξ1)与E(ξ2)比较接近且方差相差不大时，应根据不同选择给出不同的结论，即是选择较理想的平均水平还是选择较稳定．

(2020·武汉模拟)某保险公司对一个拥有20 000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为A，B，C三类工种，从事这三类工种的人数分别为12 000,6 000，2 000.由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表(并以此估计赔付概率)：

已知A，B，C三类工种的职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．

(1)求保险公司在该业务所获利润的期望值；

(2)现有如下两个方案供企业选择：

方案一：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；

方案二：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支．

请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议．

解：(1)设工种A，B，C职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X，Y，Z，则X，Y，Z的分布列分别为

所以E(X)＝25×＋(25－100×104)×＝15，

E(Y)＝25×＋(25－100×104)×＝5，

E(Z)＝40×＋(40－50×104)×＝－10，

保险公司所获利润的期望值为12 000×15＋6 000×5－2 000×10－100 000＝90 000，

所以保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元．

(2)方案一：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为12 000×100×104×＋6 000×100×104×＋2 000×50×104×＋12×104＝4.6×105；

方案二：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为(12 000×25＋6 000×25＋2 000×40)×0.7＝3.71×105.

因为4.6×105>3.71×105，

所以建议企业选择方案二．