人教版高考数学一轮复习第11章计数原理概率随机变量及其分布第3节二项式定理学案理含解析

第三节　二项式定理

‖知识梳理‖

1．二项式定理

(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；

(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项；

(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C.

2．二项式系数的性质

►常用结论

1．二项展开式的项数为(n＋1)项，在排列形式上，按照字母a的降幂排列，从第一项起，次数由n次逐项减小1次直到零次，同时字母b按照升幂排列，次数由零次逐项增加1次直到n次．

2．若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0，1，2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：

(1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项．

(2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项．

(3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项．

(4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项．

(5)h(r)是分数⇔Tr＋1是无理项．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)Can－rbr是(a＋b)n的展开式中的第r项．(　　)

(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　)

(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　)

(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

二、走进教材

2．(选修2－3P31T4改编)(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(　　)

A．C B．C

C．C D．(－1)m－1C

答案：D

3．(选修2－3P35练习A1(3)改编)

的值为(　　)

A．2 B．4

C．2 019 D．2 018×2 019

答案：B

三、易错自纠

4．(x＋y)(2x－y)6的展开式中x4y3的系数为(　　)

A．－80 B．－40

C．40 D．80

解析：选D　(2x－y)6的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(2x)6－r(－y)r，当r＝2时，T3＝240x4y2；当r＝3时，T4＝－160x3y3，故x4y3的系数为240－160＝80，故选D．

5．(2019·福州市高三期末测试)设n为正整数，的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为________．

解析：依题意得，n＝8，所以展开式的通项Tr＋1＝Cx8－r＝Cx8－4r(－2)r，令8－4r＝0，解得r＝2，所以展开式中的常数项为T3＝C(－2)2＝112.

答案：112

6．若(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝________．

解析：(1＋3x)n的展开式中含有x5的项为C(3x)5＝C35x5，展开式中含x6的项为C36x6.

由两项的系数相等，得C·35＝C·36，解得n＝7.

答案：7

|题组突破|

1．(2019年全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　)

A．12 B．16

C．20 D．24

解析：选A　(1＋x)4的二项展开式的通项为Tk＋1＝Cxk(k＝0，1，2，3，4)，故(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为C＋2C＝12.故选A．

2．(2020届贵阳摸底)的展开式中的常数项为(　　)

A．－15 B．20

C．15 D．－20

解析：选C　的展开式的通项Tr＋1＝C()6－r＝C(－1)rx－r，由－r＝0得，r＝2，所以展开式中的常数项为T3＝C×(－1)2＝15.故选C．

3.的展开式的常数项为160，则实数a＝________．

解析：解法一：的展开式的通项Tr＋1＝C(ax)6－r＝Ca6－rx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，所以Ca6－3＝160，解得a＝2.

解法二：＝·

，要得到常数项，则需ax与的个数相同，各为3个，所以从6个因式中选择3个ax的系数，即Ca3＝160，解得a＝2.

答案：2

►名师点津

求二项展开式中的项的方法

求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝Can－kbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0，1，2，…，n)．

【例】　(1)(2019届山东烟台模拟)已知的展开式的各项系数和为243，则展开式中x7的系数为(　　)

A．5 B．40

C．20 D．10

(2)(2019届河北邯郸二模)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x3的系数为(　　)

A．15 B．45

C．135 D．405

(3)(2019届东北三校联考)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝(　　)

A．0 B．1

C．32 D．－1

[解析]　(1)由的展开式的各项系数和为243，得3n＝243，解得n＝5，∴＝，∴Tr＋1＝C·(x3)5－r·＝2r·C·x15－4r，令15－4r＝7，得r＝2，∴展开式中x7的系数为22×C＝40.故选B．

(2)在的展开式中，令x为1，得各项系数和为4n，又展开式的二项式系数和为2n，各项系数的和与二项式系数的和之比为64，∴＝64，解得n＝6，∴＝，∴该二项式的展开式的通项Tr＋1＝C·3r·x6－r，令6－r＝3，得r＝2，故展开式中x3的系数为C·32＝135，故选C．

(3)由(1－x)5的展开式的通项Tr＋1＝C(－x)r＝C(－1)rxr，可知a1，a3，a5都小于0，所以|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.在(1－x)5的展开式中令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0.故选A．

[答案]　(1)B　(2)C　(3)A

►名师点津

赋值法的应用

二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立．因此，可将x，y设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：

(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．

(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

|跟踪训练|

1．(2019届江西新余一中模拟)在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中的常数项为(　　)

A．6 B．9

C．12 D．18

解析：选B　在二项式的展开式中，令x＝1得各项系数之和为4n，∴A＝4n.∵该二项展开式的二项式系数之和为2n，∴B＝2n，∴4n＋2n＝72，解得n＝3.∴＝的展开式的通项Tr＋1＝C()3－r＝3rCx，令＝0，得r＝1，故展开式的常数项为T2＝3C＝9，故选B．

2．(2019届福建省高三质检)已知(x＋2)(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则a0＋a2＋a4＝(　　)

A．123 B．91

C．－120 D．－152

解析：选D　解法一：因为(2x－1)5的展开式的通项Tr＋1＝C(2x)5－r·(－1)r(r＝0，1，2，3，4，5)，所以a0＋a2＋a4＝2×C×20×(－1)5＋[1×C×21×(－1)4＋2×C×22×(－1)3]＋[1×C×23×(－1)2＋2×C×24×(－1)1]＝－2－70－80＝－152，故选D．

解法二：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝3①；令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝－243②.①＋②，得a0＋a2＋a4＋a6＝－120.又a6＝1×25＝32，所以a0＋a2＋a4＝－152，故选D．

【例】　(2019届广东广州普通高中毕业班测试)在中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a＝b(b mod m)．若a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220，a＝b(b mod 10)，则b的值可以是(　　)

A．2 011 B．2 012

C．2 013 D．2 014

[解析]　因为a＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝C·1010－C·109＋…－C·10＋1，所以a被10除得的余数为1，结合选项知2 011被10除得的余数是1，故选A．

[答案]　A

►名师点津

求解这类问题，关键是弄清题意，结合二项式定理转化求解．

|跟踪训练|

设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 019＝(　　)

A．i B．－i

C．－1＋i D．－i－1

解析：选D　因为x＝＝＝－1＋i，所以Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 019＝(1＋x)2 019－1＝(1－1＋i)2 019－1＝i2 019－1＝－i－1.