人教版高考数学一轮复习第11章计数原理概率随机变量及其分布第4节随机事件的概率学案理含解析

第四节　随机事件的概率

‖知识梳理‖

1．事件的相关概念

2．频数、频率和概率

(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．

(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率．

3．事件的关系与运算

4.概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1．

(2)必然事件的概率为1．

(3)不可能事件的概率为0．

(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．

►常用结论

探究概率加法公式的推广

(1)当一个事件包含多个结果时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．

(2)P(A1∪A2∪…∪An)＝1－P(A1∪A2∪…∪An)＝1－P(A1)－P(A2)－…－P(An)．注意涉及的各事件要彼此互斥．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)“方程x2＋2x＋8＝0有两个实根”是不可能事件．(　　)

(2)对立事件一定是互斥事件，互斥事件也一定是对立事件．(　　)

(3)事件发生的频率与概率是相同的．(　　)

(4)若事件A发生的概率为P(A)，则0<P(A)<1.(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×

二、走进教材

2．(必修3P123A3改编)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：

则样本数据落在区间[10，40)的频率为(　　)

A．0.35 B．0.45

C．0.55 D．0.65

答案：B

3．(必修3P121T5改编)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”(　　)

A．是互斥事件，不是对立事件

B．是对立事件，不是互斥事件

C．既是互斥事件，也是对立事件

D．既不是互斥事件也不是对立事件

答案：C

三、易错自纠

4．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.3，该同学的身高在[160，175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为(　　)

A．0.2 B．0.3

C．0.7 D．0.8

解析：选A　由题意得，身高超过175 cm的概率为P＝1－0.3－0.5＝0.2，故选A．

5．(2019届湖北十市联考)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　　)

A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”

B．“至少有一个黑球”与“都是红球”

C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”

D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”

解析：选D　A中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件；C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D中的两个事件是互斥而不对立的事件．

6．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知P(A)＝，P(B)＝，则“出现奇数点或2点”的概率为________．

解析：因为事件A与事件B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.

答案：

【例1】　某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.

(1)完成如下的频率分布表；

近20年六月份降雨量频率分布表

(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．

[解]　(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为

(2)由已知可得Y＝＋425，

故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)

＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)

＝＋＋＝.

故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为.

►名师点津

1．概率与频率的关系

频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．

2．随机事件概率的求法

利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．

|跟踪训练|

1．随机抽取一个年份，对某市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：

(1)在4月份任取一天，估计该市在该天不下雨的概率；

(2)该市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．

解：(1)在4月份任取一天，不下雨的天数是26，以频率估计概率，估计该市在该天不下雨的概率为.

(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”，由题意，4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的概率为.

从而估计运动会期间不下雨的概率为.

【例2】　某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．

[解]　(1)由已知得25＋y＋10＝55%×100，x＋30＝(1－55%)×100，

所以x＝15，y＝20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为

＝1.9(分钟)．

(2)记A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A2)＝＝.

因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，

所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.

故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.

►名师点津

求互斥事件的概率的方法

(1)直接法

(2)间接法(正难则反)

|跟踪训练|

2．某班选派5人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：

(1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56，求x的值；

(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值．

解：记事件“在竞赛中，有k人获奖”为Ak(k∈N，k≤5)，则事件Ak彼此互斥．

(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56，

∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56，

解得x＝0.3.

(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.

由获奖人数最少3人的概率为0.44，得

P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，

即y＋0.2＋0.04＝0.44，解得y＝0.2.

【例】　现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是(　　)

A． B．

C． D．

[解析]　由题意得an＝(－3)n－1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以所求概率P＝＝.

[答案]　A

►名师点津

随机事件概率常与数列、不等式、平面向量等知识交汇应用，求解时注意事件的分析与判断．

|跟踪训练|

若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝，P(B)＝，则x＋y的最小值为________．

解析：由题意，知x>0，y>0，＋＝1，所以x＋y＝(x＋y)·＝5＋≥5＋2＝9，当且仅当x＝2y时等号成立，故x＋y的最小值为9.

答案：9