人教版高考数学一轮复习第11章计数原理概率随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案理含解析

第一节　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

‖知识梳理‖

两个计数原理

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　)

(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(　　)

(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　　)

(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

二、走进教材

2．(选修2－3P28B2改编)现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(　　)

A．24种 B．30种

C．36种 D．48种

答案：D

3．(选修2－3P5例3改编)书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．从书架中任取1本书，则不同取法的种数为________．

答案：9

三、易错自纠

4．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有(　　)

A．7种 B．8种

C．6种 D．9种

解析：选A　要完成的“一件事”是“至少买一张IC电话卡”，分3类完成：买1张IC电话卡，买2张IC电话卡，买3张IC电话卡，而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买1张IC电话卡有2种方法，买2张IC电话卡有3种方法，买3张IC电话卡有2种方法．所以不同的买法共有2＋3＋2＝7(种)．

5．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在平面直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为________．

解析：分两类：一是以集合M中的元素为横坐标，以集合N中的元素为纵坐标有3×2＝6(个)不同的点；二是以集合N中的元素为横坐标，以集合M中的元素为纵坐标有4×2＝8(个)不同的点，故由分类加法计数原理得共有6＋8＝14(个)不同的点．

答案：14

|题组突破|

1．(2019届河北保定一模)甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A，B，C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少去一人．其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为(　　)

A．8 B．7

C．6 D．5

解析：选B　根据题意，分2种情况讨论：①乙和甲一起去A社区，此时将丙丁二人安排到B，C社区即可，有A＝2(种)情况．②乙不去A社区，则乙必须去C社区，若丙丁都去B社区，有1种情况；若丙丁中有1人去B社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B社区，剩下1人安排到A或C社区，有2×2＝4(种)情况，则不同的安排方法有2＋1＋4＝7(种)，故选B．

2．(2019届广西桂林、崇左、百色模拟)如图，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是(　　)

A．6 B．10

C．12 D．24

解析：选B　将题图中左边的集装箱从上往下分别记为1，2，3，右边的集装箱从上往下分别记为4，5.分两种情况讨论：若先取1，则有12345，12453，12435，14523，14235，14253，共6种取法；若先取4，则有45123，41235，41523，41253，共4种取法，故共有6＋4＝10(种)取法．

3．若椭圆＋＝1的焦点在y轴上，且m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，则这样的椭圆的个数为________．

解析：若椭圆＋＝1的焦点在y轴上，则m<n.

当m＝1时，n＝2，3，4，5，6，7，共6个；

当m＝2时，n＝3，4，5，6，7，共5个；

当m＝3时，n＝4，5，6，7，共4个；

当m＝4时，n＝5，6，7，共3个；

当m＝5时，n＝6，7，共2个．

故共有6＋5＋4＋3＋2＝20(个)满足条件的椭圆．

答案：20

►名师点津

使用分类加法原理时2个注意点

(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏．

(2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复．

|题组突破|

4．(2019届湖北黄冈第一次调研)现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数是(　　)

A．56 B．65

C． D．6×5×4×3×2

解析：选A　每名同学有5种选法，且相互之间独立，所以共有5×5×5×5×5×5＝56(种)选法，故选A．

5．(2019届滨州模拟)甲、乙两人从4门课程中选修2门，则甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法有(　　)

A．6种 B．12种

C．24种 D．30种

解析：选C　分步完成：

第一步，甲、乙选同一门课程有4种方法；

第二步，甲从剩余的3门课程选一门有3种方法；

第三步，乙从剩余的2门中选出一门课程有2种方法．

∴甲、乙恰有1门相同课程的选法有4×3×2＝24(种)．

6．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数的个数是(　　)

A．30 B．42

C．36 D．35

解析：选C　因为a＋bi为虚数，所以b≠0，即b有6种取法，所以a有6种取法．由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36(个)虚数．

►名师点津

需谨记分步必须满足的两个条件：一是各步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．当正面考虑问题比较复杂时，可采用正难则反的原则解题．

【例】　(1)在如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为(　　)

A．24 B．48

C．72 D．96

(2)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是(　　)

A．48 B．18

C．24 D．36

[解析]　(1)分两种情况：

①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有4×3×2＝24(种)涂法．

②A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48(种)涂法．

故共有24＋48＝72(种)涂色方法．

(2)第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．

[答案]　(1)C　(2)D

►名师点津

1．利用两个计数原理解决应用问题的一般思路

(1)弄清完成一件事是做什么．

(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类．

(3)弄清分步、分类的标准是什么．

(4)利用两个计数原理求解．

2．涂色、种植问题的解题关注点和关键

(1)关注点：首先分清元素的数目，其次分清在不相邻的区域内是否可以使用同类元素．

(2)关键：是对每个区域逐一进行，选择下手点，分步处理．

|跟踪训练|

1．如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种．

解析：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，共有24×2＝48(种)涂法．所以不同的涂法共有24＋48＝72(种)．

答案：72

2.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答)．

解析：把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)．第二类，有两条公共边的三角形共有8个．由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)．

答案：40

【例】　设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为(　　)

A．60 B．90

C．120 D．130

[解析]　设t＝|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|，若t＝1，说明x1，x2，x3，x4，x5中有一个为－1或1，其他为0，所以有C×2＝10(个)元素满足t＝1；若t＝2，说明x1，x2，x3，x4，x5中有两个为－1或1，其他为0，所以有C×2×2＝40(个)元素满足t＝2；若t＝3，说明x1，x2，x3，x4，x5中有三个为－1或1，其他为0，所以有C×2×2×2＝80(个)元素满足t＝3，从而，共有10＋40＋80＝130(个)元素满足1≤t≤3.

[答案]　D

►名师点津

两个原理综合应用的1个关键点

解决综合问题时，可能同时应用两个计数原理，即分类的方法可能要分步完成，分步的方法可能会采取分类的思想求．

|跟踪训练|

已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为(　　)

A．40 B．16

C．13 D．10

解析：选C　分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13(个)不同的平面．