2021-2022学年陕西省咸阳市高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年陕西省咸阳市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 集合，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列函数定义域为的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若函数在上是减函数，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 若为的边的中点，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 设，，，则三者大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 一批产品共件，其中件正品，件次品，从中随机抽取件，下列两个事件互斥的是(    )

A. “恰有件次品”和“恰有件次品”
B. “恰有件次品”和“至少件次品”
C. “至多件次品”和“恰有件次品”
D. “恰有件正品”和“恰有件次品”

8. 某学校为了解名新生的身体素质，将这些学生编号为，，，，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取名学生进行体质测验，若号学生被抽到，则下面名学生中被抽到的是(    )

A. 号学生 B. 号学生 C. 号学生 D. 号学生

9. 如图，用随机模拟方法近似估计在边长为为自然对数的底数的正方形中阴影部分的面积，先产生两组区间上的随机数，，，，和，，，，，从而得到个点的坐标，再统计出落在该阴影部分内的点数为个，则此阴影部分的面积约为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 执行如图所示的程序框图，若输入的，，则输出的(    )

A.  B.  C.  D.

11. 沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，“会圆术”给出后的弧长的近似值的计算公式：，记实际弧长为当，时，的值约为参考数据：，(    )

A.  B.  C.  D.

12. 记函数的最小正周期为若，且的图像关于点中心对称；则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知向量，，则______．
14. 已知直线与直线互相平行，且它们间的距离是，则 ______ ， ______ ．
15. 过四点，，，中的三点的一个圆的方程为______．
16. 已知函数的部分图像如图所示，则的值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知角是第四象限角，且．
    Ⅰ求和的值；
    Ⅱ求的值．
18. 如图，在棱长为的正方体中，点是的中点，与交于点．
    求证：平面；
    求三棱锥的体积．

19. 某省在高一推进新教材，为此该省某市教育部门组织该市全体高中教师在暑假期间进行相关学科培训，培训后举行测试满分分，从该市参加测试的物理教师中抽取了名并统计他们的测试分数，将成绩分成五组，第一组，第二组，第三组，第四组；第五组，得到如图所示的频率分布直方图．
    Ⅰ求的值以及这人中测试成绩在内的人数；
    Ⅱ若要从第三、四、五组教师中用分层抽样的方法抽取人作交流分享，并在这人中再随机抽取人担当该活动的主持人，求第三组和第四组各名教师担当主持人的概率．

20. 某市射击队准备在甲、乙两名射击运动员中选拔一名运动员代表该市去参加射击比赛，他们两人共进行了轮射击选拔赛，得到的成统统计如下单位环：

Ⅰ分别计算甲、乙两名射击运动员轮选拔赛成绩的平均数；
Ⅱ分别计算甲、乙两名射击运动员轮选拔赛成绩的方差；
Ⅲ选派哪名运动员代表该市参赛比较合适，请说出你的理由

21. 已知函数，且函数的最小正周期为．
    Ⅰ求的解析式；
    Ⅱ先将的图像上所有点向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩小到原来的倍纵坐标不变，得到的图像，若的图像关于直线对称，求当取最小值时，函数的单调递增区间．
22. 某班级的数学学习兴趣组发现学生的数学成绩与物理成绩有一定的关系，为进一步研究考生物理成绩了与数学成绩之间的关系，在一次考试中从该班级名考生中随机抽取名考生的成绩，得到组数据统计如下表：

其中有一位考生因数学缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理成绩与数学成绩之间具有线性相关关系．
Ⅰ请根据剔除后的组有效数据建立关于的回归直线方程；
Ⅱ已知本次考试只有一位考生缺考仅缺考数学科目，且全班数学成绩之和为分，根据Ⅰ所得结果，估计全班名考生本次考试的物理平均成绩．结果精确到
参考公式：，．
参考数据剔除异常数据前：，，，．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：全集，，，
，
则．
故选：．
由全集及求出的补集，找出与补集的交集即可．
本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：的定义域，不符合题意；
的定义域，不符合题意；
的定义域为，符合题意；
的定义域为，不符合题意．
故选：．
由已知结合基本初等函数的定义域分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本初等函数定义域的求解，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意可知的对称轴为：，
故的单调递减区间为，
又函数在上是减函数，
所有，得，
故选：．
为开口朝上的二次函数，在对称轴左侧函数单调递减可解．
本题考查二次函数单调性相关知识，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为，所以．
故选：．
直接利用两角和的正切公式展开，再解方程，即可．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握两角和的正切公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：为的边的中点，
，
，
故选：．
利用平面向量的线性运算求解即可．
本题考查了平面向量的线性运算，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为，
，
所以，
又，
所以，
故选：．
利用指数函数，对数函数的但大小，即可得出答案．
本题考查对数值的比较大小，解题关键是熟悉基本初等函数的单调性，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：互斥事件即不能同时发生的两件事，故选项A正确，
选项B、选项C与选项D中，件产品，件次品件正品，故选项BCD不正确；
故选：．
根据统计与概率，事件之间的相互关系，即可解出．
本题考查了统计与概率，互斥事件，学生的逻辑推理能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，若号学生被抽到，则，
所以，即号学生被抽到，选项B满足题意；
又，，，选项ACD不满足条件．
故选：．
求出抽样间隔和第一个抽取的数据，再求出被抽到的可能学生编号．
本题考查了系统抽样的应用问题，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：原图是边长为的正方形内有阴影部分，正方形的面积为；
个点中落在阴影部分内的点数个，面积之比为，
此阴影部分的面积约为．
故选：．
直接根据面积比等于对应的点数比求解即可．
本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，几何概型是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：初始值，，
第一次执行循环体：，不满足？，；
第二次执行循环体：，不满足？，；
第三次执行循环体：，不满足？，；
第四次执行循环体：，满足？，退出循环，输出．
故选：．
模拟执行程序，即可计算出输出值．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
，
是的中点，在上，，
延长可得在上，，
，
．
故选：．
由已知求得与的值，代入得弧长的近似值，利用弧长公式可求弧长的值即可得解．
本题考查扇形及其应用，考查运算求解能力，是基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：函数的最小正周期为若，
则，．
的图像关于点中心对称，
，，，
，，
则，
故选：．
由题意，根据周期求出，由对称点坐标求出的值，可得的解析式，从而求出的值．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由对称点坐标求出的值，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
则，
故答案为：．
利用向量的减法得到，再利用向量的求模公式求解．
本题考查向量的减法，向量的求模公式，基本知识的考查．
 

14.【答案】或   

【解析】解：直线与直线互相平行，，求得，，
再根据它们间的距离是，则，或
故答案为：或；．
利用两条直线平行的性质求得的值，再利用两条平行线间的距离公式求得的值．
本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行线间的距离公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：过三点，，的圆的方程为以原点为圆心，为半径的圆；
故圆的方程为：．
故答案为：．
直接利用三点的坐标求出圆的方程．
本题考查的知识要点：圆的方程的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据函数的部分图像知，
是五点法画图的第五个关键点，
所以，
解得．
故答案为：．
根据函数的部分图像，利用五点法画图，即可求出的值．
本题考查了三角函数的图像与性质的应用问题，是基础题．
 

17.【答案】解：Ⅰ因为角是第四象限角，且，
所以，
．
Ⅱ由Ⅰ知，，，
所以，，
所以． 

【解析】Ⅰ先根据所在象限，以及同角三角函数的平方关系求得的值，再由，得解；
Ⅱ利用二倍角公式求得和的值，再由两角差的余弦公式，展开运算，得解．
本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握二倍角公式，两角差的余弦公式，同角三角函数的关系是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
 

18.【答案】证明：因为四边形为正方形，所以点为的中点，
又点是的中点，，
又平面，平面，
所以平面；
解：由正方体性质知平面，且点是的中点，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，即，
于是，
所以三棱锥的体积为． 

【解析】利用线面平行的判定定理可证得；
利用三棱锥的体积公式可求解．
本题考查了线面平行的证明和三棱锥的体积计算，属于基础题．
 

19.【答案】解：Ⅰ由题意得：
，
解得．
这人中测试成绩在内的人数为：
人．
Ⅱ第三组频率为，
第四组频率为，
第五组频率为，
从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取人作学习心得交流分享，
则三组人数分别为人，人和人，
记第三组抽取的人为，，，第四组抽取的人为，，第五组抽取的人为，
则抽取的人的所有情况有种，分别为：
，，，，，，，，，，，，，，，
其中第三组和第四组各名老师被抽到的抽法有种，分别为：
，，，，，，
第三组和第四组各名教师担当主持人的概率为． 

【解析】Ⅰ利用频率分布直方图的性质，求出，根据频率的计算能求出测试成绩在的人数；
Ⅱ利用列举法列出所有可能结果，再利用古典概型的概率公式能求出结果．
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

20.【答案】解：Ⅰ甲射击运动员轮选拔赛成绩的平均数为，
乙射击运动员轮选拔赛成绩的平均数为；
Ⅱ甲射击运动员轮选拔赛成绩的方差为
，
乙射击运动员轮选拔赛成绩的方差为
；
Ⅲ甲、乙两名射击运动员轮选拔赛成绩的平均数相同，
但甲射击运动员轮选拔赛成绩的方差大于乙射击运动员轮选拔赛成绩的方差，
故乙射击运动员在轮选拔赛中成绩更稳定，
故选派乙运动员代表该市参赛比较合适． 

【解析】Ⅰ根据平均数的定义分别计算甲、乙两名射击运动员轮选拔赛成绩的平均数即可；
Ⅱ根据方差的定义分别计算甲、乙两名射击运动员轮选拔赛成绩的方差即可；
Ⅲ比较甲、乙两名射击运动员轮选拔赛成绩的平均数与方差，从而作出选择．
本题考查了平均数、方差的求法及应用，属于基础题．
 

21.【答案】解：Ⅰ，
函数的最小正周期为，
，则，即
Ⅱ先将的图像上所有点向左平移个单位长度，得到，
再把所有点的横坐标缩小到原来的倍纵坐标不变，得到的图像，
即，
若的图像关于直线对称，
则，，
得，，
得，，
，当时，取最小值，此时，
由，，
得，，
即，，
即函数的单调递增区间，． 

【解析】Ⅰ利用辅助角公式进行化简，利用周期公式进行求解即可．
Ⅱ根据图像变换关系求出的解析式，根据的对称性，求出的值，然后利用三角函数的单调性进行求解即可．
本题主要考查三角函数的恒等变换，利用辅助角公式进行化简，以及利用图像变换关系求出的解析式，利用三角函数的对称性和单调性进行求解是解决本题的关键，是中档题．
 

22.【答案】解：Ⅰ设关于的回归直线方程为，则
剔除异常数据后的数学平均为，
剔除异常数据后的物理平均为，
，
，
所以，
，
所以关于的回归直线方程．
Ⅱ由题意得剔除异常数据后全班数学的平均分为，
当时，，
所以全班的物理成绩的总分约为，
所以全班名考生本次考试的物理平均成绩为． 

【解析】Ⅰ根据已知的数据结合公式求解关于的回归直线方程；
Ⅱ先利用这个人的数学成绩的平均分来估计这个人物理成绩的平均分，从而可求出这人的总分，进而可求出人的平均分．
本题主要考查线性回归方程及其应用，属于基础题．