2021-2022学年陕西省商洛市高一（下）期末数学试卷（理科）（Word解析版）

2021-2022学年陕西省商洛市高一（下）期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 已知等差数列中首项，公差，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 不等式的解集为(    )

A. ，或 B. ，或
C. ，或 D. ，或

3. 若点，，在同一直线上，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知直线：和直线：互相垂直，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 使平面平面的一个条件是(    )

A. 存在一条直线，，
B. 存在一条直线，，
C. 存在两条平行直线，，，，，
D. 内存在两条相交直线，分别平行于内两条直线

6. 在等比数列中，，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

7. 一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在中，角，，的对边为，，，若，，，则(    )

A.  B. 或 C.  D. 或

9. 若变量，满足约束条件，则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 直线被圆截得的弦长为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是(    )

A.
B.
C.
D.

12. 对于，有如下命题：
    若，则为等腰三角形；
    若，则为直角三角形；
    若，则为钝角三角形．
    其中正确命题的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 不等式的解集是______．
14. 在中，，，，则______．
15. 已知正数、，满足，则的最小值______．
16. 词语“鳖臑”等出现自我国数学名著九章算术商功，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图，三棱锥是一个鳖臑，其中，，，三棱锥的外接球的表面积为，，则三棱锥的体积的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知是等比数列，是等差数列，且，，．
    求与的通项公式；
    记数列的前项和为，求．
18. 如图，四棱柱的底面为菱形，底面，，，，分别为，的中点．
    求证：平面；
    求证：平面平面．

19. 已知，，分别为三个内角，，的对边，．
    Ⅰ求；
    Ⅱ若是的中点，，求的面积．
20. 如图，是直角斜边上一点，．
    若，求角的大小；
    若，且，求的长．

21. 等差数列的前项和为，且，，数列满足
    Ⅰ求；
    Ⅱ设，求数列的前项和．
22. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，设圆的半径为，圆心在直线：上．
    若圆心也在直线上，求圆的方程；
    在的条件下，过点作圆的切线，求切线的方程；
    若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：等差数列中首项，公差，则，
故选：．
直接运用等差数列通项公式求解．
本题考查了等差数列的通项公式，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：
利用数轴穿根法解得或，
故选：．
解，可转化成，再利用根轴法进行求解．
本试题主要考查分式不等式与高次不等式的解法，属于不等式的基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：点，，在同一直线上，
直线的斜率等于直线的斜率，即，求得，
故选：．
由题意，利用三点共线的性质，直线的斜率公式，求得的值．
本题主要考查三点共线的性质，直线的斜率公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：直线：和直线：互相垂直，
，求得，
故选：．
根据两直线垂直的性质，一次项对应系数之积的和等于，求得实数的值．
本题主要考查两直线垂直的性质，两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：若存在一条直线，满足，，则与可能平行，也可能相交，故A错误；
若存在一条直线，满足，，则与可能平行，也可能相交，故B错误；
存在两条平行直线，，满足，，，，则与可能平行，也可能相交，故C错误；
若内存在两条相交直线，分别平行于内两条直线，由平面与平面平行的判定，可得两平面平行，故D正确．
故选：．
由平面与平面平行的判定逐一分析四个选项得答案．
本题考查两平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查推理论证能力，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：等比数列中，，，
由等比数列的性质可得，，，，，
也成等比数列，且公比为，故，，
故选：．
由题意，利用等比数列的性质可得，每相邻项的和，仍是等比数列，由此可得结果．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：设圆台的母线长为，上、下底面半径分别为，，
可得，
由圆台的侧面积是，
得，
解得，．
故选：．
利用圆台的侧面积公式，列出关于母线长的方程，求解即可．
本题考查了旋转体的理解与应用，解题的关键是掌握圆台的侧面积公式，考查了运算能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，，根据正弦定理可知，
，
又，可得为锐角，
．
故选：．
由正弦定理得出，然后将值代入即可．
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的及其内部，其中，，
设，将直线：进行平移，
当经过点时，目标函数达到最大值

故选：．
作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的及其内部，再将目标函数对应的直线进行平移，可得当，时，取得最大值为．
本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由圆方程得：圆心，半径，
圆心到直线的距离，
直线被圆截得的弦长为．
故选：．
由圆的方程找出圆心坐标与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用垂径定理及勾股定理即可求出弦长．
此题了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理及勾股定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据几何体的的三视图转换为直观图为：该几何体为由正方体切去一个三棱锥．
如图所示：

故．
故选：．
首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．
本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
或，
或，
得出为等腰三角形错误；
，
，
或，
或，
得出为直角三角形错误；
，
，
，
根据正弦定理得，，
然后根据余弦定理得，，
为钝角，
为钝角三角形，该命题正确．
故选：．
命题，当时，得不出为等腰三角形，从而判断该命题错误，同样的方法可判断命题错误；命题可得出，从而得出，然后即可得出为钝角三角形，从而得出该命题正确．
本题考查了三角函数的诱导公式，正余弦定理，考查了计算和推理能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由得，，，
故答案为：．
根据一元二次不等式的解法直接求解．
本题考查了一元二次不等式的解法，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
，
．
故答案为：．
由已知得，，由此能求出．
本题考查三角形的边长的求法，解题时要认真审题，注意正弦定理的合理运用，属基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：正数、，满足，
当且仅当，，，，解得，．
的最小值是．
故答案为．
利用基本不等式的性质即可求出．
熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意，三棱锥的外接球的表面积为，
则三棱锥的外接球半径为，
为三棱锥的外接球的直径，
，，，
，，
当且仅当时等号成立，
所以三棱锥的体积的最大值为．
故答案为：．
先根据外接球体积求出外接球半径，再结合为外接球的直径求出，结合勾股定理可出，再利用基本不等式得，进而求出三棱锥的体积的最大值．
本题考查三棱锥的外接球，考查三棱锥的体积，考查基本不等式的应用，考查直观想象和数学运算的核心素养，属于中档题．
 

17.【答案】解：是等比数列，是等差数列，且，，，
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，解得；
故；
由得：；
所以． 

【解析】直接利用等比数列和等差数列的性质的应用求出公差和公比，进一步求出数列的通项公式；
利用的通项公式，进一步利用分组法的应用求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，分组法的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

18.【答案】证明：根据题意，取的中点，连接，，
，，，，
，．
四边形是平行四边形．．
又平面，平面，
平面．
根据题意，连接，在菱形中，，．
是等边三角形．．
又平面，．
又，，平面，
平面，而平面，
平面平面． 

【解析】根据题意，取的中点，连接，，分析可得四边形是平行四边形，即可得，由线面平行的判定定理可得结论；
根据题意，连接，分析可得平面，由线面垂直的判定定理可得结论．
本题考查空间直线与平面的位置关系，涉及直线与平面平行和平面和平面垂直的判断，属于基础题．
 

19.【答案】解：Ⅰ，可得：，
由于，可得：，
，
，可得：，
，解得：，
Ⅱ设，则，
由于，可得：，
，
，
，可得：，
联立可得：，解得：，
． 

【解析】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，正弦函数的图象，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
Ⅰ由正弦定理化简已知等式可得，利用两角和的正弦函数公式可得，结合的范围，利用正弦函数的图象可求的值．
Ⅱ设，则，由余弦定理可求，又由，利用余弦定理可得，联立可得的值，根据三角形面积公式即可计算得解．
 

20.【答案】解：在中，由正弦定理得：，
由题意得：，
，
，
；
设，则，，，
在中，，，
，
在中，由余弦定理得：，
解得：，
则． 

【解析】利用正弦定理求出的值，进而求出的度数，即可求出的度数；
设，表示出，，以及，利用同角三角函数间的基本关系及余弦定理求出的值，确定出的长即可．
此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．
 

21.【答案】解：设等差数列的公差为，
，，
，解得．
．
，
当时，；
当时，，
，
解得．
．
数列的前项和

． 

【解析】利用等差数列的通项公式及其前项和公式即可得出；
利用递推关系与“裂项求和”即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式及其前项和公式、递推关系与“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：由   得圆心为，
圆的半径为，
圆的方程为：；
由题意知切线的斜率一定存在，
设所求圆的切线方程为，即，
，
，
或者，
所求圆的切线方程为：或者，
即或者；
设为，由
整理得直线：，
点应该既在圆上又在直线上，即：圆和直线有公共点，
，
，
终上所述，的取值范围为：． 

【解析】此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．
联立直线与直线，求出方程组的解得到圆心坐标，可得圆的方程；
根据坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出切线方程即可；
设，由，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，可记为圆，由在圆上，得到圆与圆相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到的范围．