2021-2022学年陕西省渭南市大荔县高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年陕西省渭南市大荔县高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 从某市参加升学考试的学生中随机抽查名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是(    )

A. 该市参加升学考试的全体学生是总体 B. 名学生的数学成绩是样本
C. 名学生是样本容量 D. 名学生中的每一名学生是个体

2. 已知角为第四象限角，则点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 在中，为的中点，为上一点，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 某区创建全国文明城市指挥部办公室对所辖街道当月文明城市创建工作进行考评工作人员在本区选取了甲，乙两个街道，并在这两个街道各随机抽取个实地点位进行现场测评，下面的茎叶图是两个街道的测评分数满分分，下列说法正确的是(    )

A. 甲、乙两个街道的测评分数的极差相等
B. 甲、乙两个街道的测评分数的平均数相等
C. 街道乙的测评分数的众数为
D. 甲、乙两个街道测评分数的中位数中，乙的中位数比较大

5. 考拉兹猜想是引人注目的数学难题之一，由德国数学家洛塔尔考拉兹在世纪年代提出，其内容是：任意正整数，如果是奇数就乘加，如果是偶数就除以，如此循环，最终都能够得到如图的程序框图演示了考拉兹猜想的变换过程．若输入的值为，则输出的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 设，为平面向量．若为单位向量，，与的夹角为，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 给出下列命题：
   第二象限角大于第一象限角；
   不论是用角度制还是用弧度制度量一个角的大小，它们与扇形半径的大小无关；
   若，则与的终边相同；
   若，则是第二或第三象限角．
   其中正确命题的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 的值是  (    )

A.  B.  C.  D.

9. 新冠肺炎期间某商场开通三种平台销售商品，收集一月内的数据如图；为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，该商场用分层抽样的方法抽取的顾客进行满意度调查，得到的数据如图下列说法错误的是(    )

A. 样本容量为
B. 若样本中对平台三满意的人数为，则
C. 总体中对平台二满意的消费者人数约为
D. 样本中对平台一满意的人数为人

10. 年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受吉祥物爱好者的喜爱，“冰墩墩”和“雪容融”将中国文化符号和冰雪运动完美融合，承载了新时代中国的形象和梦想．若某个吉祥物爱好者从装有个“冰墩墩”和个“雪容融”的个盲盒的袋子中任取个盲盒，则恰好抽到个“冰墩墩”和个“雪容融”的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割均为，这一数值也可以表示为，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 某班级积极响应“书香校园”活动的号召，如图所示茎叶图记录了该班甲、乙两个小组的同学在寒假中阅读打卡的天数单位：天，已知甲组数据的中位数为，乙组数据的平均数为，则的值为______．

14. 屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为，内环弧长为，径长外环半径与内环半径之差为，则该扇环形屏风的面积为______．
15. 如图，一不规则区域内，有一边长为米的正方形，向区域内随机地撒颗黄豆，数得落在正方形区域内含边界的黄豆数为颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为______平方米．用分数作答

16. 在上单调递减，则实数的最大值是______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准吨，一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年位居民每人的月均用水量单位：吨，将数据按照，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
     
    Ⅰ求直方图中的值；
    Ⅱ设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，并说明理由；
    Ⅲ若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准吨，估计的值，并说明理由．
18. 已知向量，．
    求与的夹角；
    求；
    若，求实数的值．
19. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点．
    求的值；
    若角满足，求的值．
20. 年广东省高考实行“”模式．“”模式是指：“”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择科；“”为再选科目，考生可在化学、生物、政治、地理个科目中选择科，共计个考试科目．并规定：化学、生物、政治、地理个选考科目的考生原始成绩从高到低划分为，，，，，，，八个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为，，，，，，，选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，，，，，，，八个分数区间，得到考生的等级成绩．
    
    假设小明转换后的等级成绩为分，则，所以四舍五入取整，小明最终成绩为分．
    某校级学生共人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学生合理选科提供依据，其中化学成绩获得等级的学生原始成绩统计如下

设化学成绩获得等的学生原始成绩为分，，等级成绩为分，由题意得该分数段的转换公式为：，即．
求化学获得等级的学生等级成绩的平均分四舍五入取整数；
从化学原始成绩不小于分的学生中任取名同学，求名同学等级成绩不相等的概率．

21. 函数的部分图象如图所示：
    求函数的解析式；
    求函数的最小正周期与单调递减区间；
    求函数在上的值域．

22. 已知，，，将曲线的图象向右平移得到函数的图象．
    若，，求的值；
    若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该市参加升学考试的全体学生的数学成绩是总体，故A错误；
名学生的数学成绩是样本，故B正确；
是样本容量，故C错误；
名学生中的每一名学生的数学成绩是个数，故D错误．
故选：．
根据总体、样本、样本容量、个体的概念分析可得答案．
本题考查命题真假的判断，考查总体、样本、样本容量、个体的概念等基础知识，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数值的符号问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．
根据角的范围以及正弦，正切的三角函数值符号即可判断求解．

【解答】

解：因为角为第四象限角，则，，
所以点在第三象限，
故选：．

3.【答案】 

【解析】解：如图：为的中点，，

．
故选：．
根据向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义即可得出，然后根据向量数乘的运算及减法的几何意义即可得出答案．
本题考查了向量加法和减法的几何意义，向量数乘的运算及几何意义，考查了计算能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：对于，甲组数据的极差是，乙组数据的极差是，两组数据的极差不相等，选项A错误；
对于，甲组数据的平均数是，
乙组数据的平均数是，两组数据的平均数不相等，选项B错误；
对于，乙组数据的众数是，所以选项C错误；
对于，甲组数据的中位数是，
乙组数据的中位数是，乙组数据的中位数大些，选项D正确．
故选：．
根据茎叶图中数据，结合极差、平均数和众数、中位数的定义，判断即可．
本题考查了利用茎叶图中数据计算极差、平均数和众数、中位数的问题，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：模拟程序的运行，可得：
，，
不满足条件，，，
不满足条件，执行循环体，满足条件，，，
不满足条件，执行循环体，满足条件，，，
不满足条件，执行循环体，满足条件，，，
不满足条件，执行循环体，满足条件，，，
此时，满足条件，退出循环，输出的值为．
故选：．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算的值并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据已知条件，．
故选：．
运用向量数量积性质，将平方后转化成已知条件结合数量积定义求解．
本题考查向量数量积的性质及数量积的定义，属基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为是第二象限角，是第一象限角，但，故错误，
根据角的定义可判断正确，
当时，，此时，的终边关于轴对称，故错误，
当时，，此时的终边在轴的负半轴上，故错误，
故选：．
分别举特例即可判断，根据角的定义即可判断．
本题考查了终边相同的角的定义，考查了学生对概念的理解能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查两角和的正切公式，属基础题．
把原式的一四项结合，二三项结合，利用以及两角和的正切函数公式，分别化简后，即可求出结果．
【解答】
解：根据，
得到，
可得，
同理得到，
，
故

．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：对于，样本容量为，故A正确；
对于，根据题意平台三的满意率，，故B错误；
对于，样本可以估计总体，但会有一定的误差，
总体中对平台二满意人数约为，故C正确；
对于，总体中对平台一满意人数约为，故D正确．
故选：．
利用扇形统计图和条形统计图能求出结果．
本题考查命题真假的判断，考查扇形统计图和条形统计图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：记个“冰墩墩”分别为、、，个“雪容融”分别为、、，
从个盲盒的袋子中任取个盲盒有：，，，，，，，，，，，，，，共种情况，
其中恰好抽到个“冰墩墩”和个“雪容融”包含，，，，，，，，共种，
所以概率为：．
故选：．
列举基本事件，利用古典概型的概率计算公式即可求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，若，
，
．
故选：．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求，利用降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简所求即可计算得解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积求解即可．
本题以正方体为载体，考查了线面、面面位置关系，以及空间向量的数量积应用问题，是中档题．
【解答】
解：以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：

设正方体内切球球心为，是该内切球的任意一条直径，
则内切球的半径为，
所以．
所以的取值范围是．
故选：．  

13.【答案】 

【解析】解：根据茎叶图，知甲组数据的中位数为，所以；
乙组数据的平均数为，解得；
所以．
故答案为：．
根据茎叶图，由甲组数据的中位数求出，乙组数据的平均数求出，从而求出．
本题考查了茎叶图的应用问题，以及根据茎叶图中的数据求平均数与中位数，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：设扇形的圆心角为，
内环半径为，外环半径为，
则，
故该扇环形屏风的面积为．
故答案为：．
根据已知条件，结合扇形面积公式，即可求解．
本题主要考查扇形面积公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查与面积有关的几何概型根据几何概型的意义进行模拟试验计算不规则图形的面积，利用面积比可得结论．
【解答】
解：向区域内随机地撒颗黄豆，数得落在正方形区域内含边界的黄豆数为颗，
记“黄豆落在正方形区域内”为事件，
，
平方米，
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】解：，
令得，
故包含的单调递减区间为，
因为在上单调递减，则，
解得．
故答案为：．
由已知结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的单调性可求．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数单调性的应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：Ⅰ，
；
Ⅱ由图可得月均用水量不低于吨的频率为：，
由，得全市居民中月均用水量不低于吨的人数约为万；
Ⅲ由图可得月均用水量低于吨的频率为：；
月均用水量低于吨的频率为：；
则吨． 

【解析】本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度不大，属于中档题．
Ⅰ根据各组的累积频率为，构造方程，可得值；
Ⅱ由图可得月均用水量不低于吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于吨的人数；
Ⅲ由图可得月均用水量低于吨的频率及月均用水量低于吨的频率，进而可得值．
 

18.【答案】解：，，
，，，
设向量与的夹角为，则，
又由，，即向量与的夹角为；
；
，且，
，解得：． 

【解析】可求出，然后设与的夹角为，然后即可求出的值，进而可得出的值；
根据进行向量数量积的运算即可求出的值；
可求出，然后根据即可求出的值．
本题考查了向量坐标的加法、减法、数乘和数量积的运算，向量夹角的余弦公式，向量长度的求法，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：因为角终边经过点，
所以，
所以，，，
所以．
由，得，
则．
当时，；
当时，． 

【解析】由题意利用三角函数的定义求出、、的值，根据二倍角公式即可求解．
由已知求得，再由两角差的余弦求解的值．
本题考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式，两角和的余弦公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

20.【答案】解：原始成绩的平均分为，
所以等级成绩的平均分为．
原始分为分对应的等级成绩为分，
原始分为分对应的等级成绩为分，
原始成绩为的等级成绩为分，
故从化学原始成绩不小于分的位学生中任取名同学，等级成绩相等同学有位，
故设等级成绩为分的为，等级成绩为分的为，，，，，
则任取两位同学的基本事件有，，，，，，，，，
，，，，，，共种，
其中两位同学的成绩不相等的基本事件有，，，，，共种，
所以，由古典概型概率公式得名同学等级成绩不相等的概率为． 

【解析】根据转化公式代入即可求出等级成绩平均分；
由题意位同学中等级分为的位记为，等级成绩为分的位，分别记为，，，，列出所有基本事件，根据古典概型概率公式求解即可．
本题考查古典概型，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：由函数的部分图象知，
，，所以，
由五点法画图知，是五点中的第一个点，
则，解得，
所以函数；
函数的最小正周期为，
令，，解得，，
所以的单调递减区间为，；
当时，，
所以，
所以函数在上的值域为． 

【解析】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合与函数思想，是基础题．
根据函数的部分图求出、、和的值，即可写出函数的解析式；
根据函数的解析式求出最小正周期和单调递减区间；
求出时的取值范围，即可得出函数的值域．
 

22.【答案】解：
，
由，得，又，
得，
所以，解得，
则．
将曲线的图象向右平移，得到函数，
，
所以恒成立，
原不等式等价于对任意恒成立，
令，，即在上恒成立，
设，对称轴，
当时，成立，
当时，，解得，此时，
当时，，解得，此时，
综上，实数的取值范围为． 

【解析】本题考查平面向量数量积的坐标公式，二倍角公式，辅助角公式，正切和差角公式，三角函数图象的变换，换元法的应用，不等式恒成立的转化，二次函数的图象与性质，属于较难题．
先根据平面向量数量积的坐标公式结合二倍角与辅助角公式得到，再由题意求出，利用正切差角公式即可求出；
先根据三角函数图象变换求出函数，再利用换元法把题意转化为在上恒成立，然后根据二次函数的图象与性质即可求得的取值范围．