陕西省咸阳市2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

2021~2022学年度第二学期期末教学质量检测

高一数学试题

注意事项：

1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.

第I卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求出集合的补集，再由交集运算可得答案.

【详解】由题意，所以

故选：C

2. 下列函数定义域为R的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据幂函数、和对数函数的定义域即可得出结果.

【详解】A：函数的定义域为，故A不符合题意；

B：函数的定义域为，故B不符合题意；

C：函数的定义域为R，故C符合题意；

D：函数的定义域为，故D不符合题意；

故选：C

3. 若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】结合二次函数的对称轴和单调性求得的取值范围.

【详解】函数的对称轴为，

由于在上是减函数，所以.

故选：B

4. 已知，则（    ）

A.  B.  C. -2 D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】根据两角和的正切公式计算直接得出结果.

【详解】由，

得，

解得.

故选：B

5. 若为的边的中点，则 （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用向量的加减法及数乘运算即可.

【详解】2(2-.

故选:A.

【点睛】在几何图形中进行向量运算:

(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；

(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.

6. 设，，，则三者大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据对数函数、指数函数的单调性即可求出的取值范围，进而得出结果.

【详解】因为，所以，

因为，所以，

因为，所以，

故.

故选：C

7. 一批产品共7件，其中5件正品，2件次品，从中随机抽取2件，下列两个事件互斥的是（    ）

A. “恰有2件次品”和“恰有1件次品” B. “恰有1件次品”和“至少1件次品”

C. “至多1件次品”和“恰有1件次品” D. “恰有1件正品”和“恰有1件次品”

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查互斥事件的概念：事件A与事件B不会同时发生．

【详解】5件正品，2件次品，从中随机抽取2件共有如下可能性结果：

“两件次品”，“一件正品一件次品”，“两件正品”

根据互斥事件可知：A正确；

“至少1件次品”包含“两件次品”和“一件正品一件次品”，B不正确；

“至多1件次品”包含“一件正品一件次品”，“两件正品”，C不正确；

“恰有1件正品”和“恰有1件次品”是同一事件，D不正确；

故选：A．

8. 某学校为了解名新生的身体素质，将这些学生编号为，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取名学生进行体质测验，若号学生被抽到，则下面名学生中被抽到的是（    ）

A 号学生 B. 号学生 C. 号学生 D. 号学生

【答案】B

【解析】

【分析】计算可得每组学生人数，由此可确定每组抽取为第名学生，分别判断各个选项中的号码是否为该组第名学生即可.

【详解】，将名学生按编号顺序平均分成组，每组人，

号学生为第组的第名学生，则根据系统抽样原则：每组的第名学生被抽取到；

对于A，号为第组的第名学生，不会被抽取，A错误；

对于B，号为第组的第名学生，会被抽取，B正确；

对于C，号为第组的第名学生，不会被抽取，C错误；

对于D，号为第组的第名学生，不会被抽取，D错误.

故选：B.

9. 如图，用随机模拟方法近似估计在边长为e（为自然对数的底数）的正方形中阴影部分的面积，先产生两组区间上的随机数和，，，…，，从而得到1000个点的坐标（），再统计出落在该阴影部分内的点数为260个，则此阴影部分的面积约为（    ）

A 0.70 B. 1.04 C. 1.26 D. 1.92

【答案】D

【解析】

【分析】求出正方形的面积，利用落在阴影部分内的点数与总点数比值求出阴影部分面积.

【详解】正方形面积为，故此阴影部分的面积约为

故选：D

10. 执行如图所示的程序框图，若输入的，，则输出的（    ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【答案】A

【解析】

【分析】模拟执行程序，即可计算出输出值；

【详解】解：开始输入，，则，不满足，；

，不满足，；

，不满足，；

，满足，退出循环，输出；

故选：A

11. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，是以O为圆心，为半径的圆弧，C是的中点，D在上，.“会圆术”给出后的弧长的近似值s的计算公式：，记实际弧长为l.当，时，的值约为（    ）（参考数据：，）

A. 0.01 B. 0.05 C. 0.13 D. 0.53

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意求出与的值，代入弧长公式和求出和即可.

【详解】因为，所以，

因为是的中点，在上，，

所以延长可得在上，，

所以，

，

所以.

故选：B

12. 记函数（）的最小正周期为．若，且的图象关于点中心对称，则（    ）

A. 1 B.  C.  D. 3

【答案】D

【解析】

【分析】由周期范围求得的范围，由对称中心求解与值，可得函数解析式，则可求．

【详解】解：函数的最小正周期为，

则，由，得，，

的图像关于点中心对称，，

且，则，．

，，取，可得．

，则．

故选：D．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知向量，，则______.

【答案】5

【解析】

【分析】根据平面向量的坐标表示求出向量的坐标，结合向量的几何意义求模即可.

【详解】由，

得.

故答案为：5

14. 已知直线（）与直线互相平行，且它们之间距离是，则______.

【答案】0

【解析】

【分析】根据两直线平行求出n，由两直线间的距离是求出m，即可得到.

【详解】因为直线（）与直线互相平行，

所以且.

又两直线间的距离是，所以，

因为，解得：.

所以.

故答案为：0

15. 过四点，，，中的三点的一个圆的方程为______.

【答案】或

或或

【解析】

【分析】设圆的一般方程为，将3个点的坐标代入方程，利用待定系数法即可求出结果.

【详解】设圆的一般方程为，

若圆过三点，

则，解得，

此时圆的一般方程为；

若圆过三点，

则，解得，

此时圆的一般方程为；

若圆过三点，

则，解得，

此时圆的一般方程为；

若圆过三点，

则，解得，

此时圆的一般方程为；

故答案为：或

或或

16. 已知函数（）的部分图像如图所示，则的值为______.

【答案】2

【解析】

【分析】根据函数的图像建立关于的方程，求出的值.

【详解】由函数的部分图像知，

由五点作图可知,解得：

又由图像可知,所以，解得：.

又,所以k=0, .

故答案为：2

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知角是第四象限角，且.

（1）求和的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】(1)根据题意和同角三角函数的基本关系计算即可；

(2)由(1)和二倍角的正、余弦公式计算求出、，结合两角和的余弦公式计算即可.

【小问1详解】

由，得，

又为第四象限的角，所以，

故，所以；

【小问2详解】

由(1)知，，，

所以，，

所以.

18. 如图，在棱长为6的正方体中，点E是的中点，与交于点O.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用线面平行的判定定理可证得；

（2）利用三棱锥的体积公式可求解.

【小问1详解】

因为四边形为正方形，所以点O为的中点，

又点E是的中点，

又平面，平面，

所以平面；

【小问2详解】

由正方体性质知平面，且点E是的中点，

所以点E到平面的距离等于点到平面的距离的一半，即

于是，

所以三棱锥的体积为.

19. 某省在高一推进新教材，为此该省某市教育部门组织该市全体高中教师在暑假期间进行相关学科培训，培训后举行测试（满分100分），从该市参加测试的物理教师中抽取了100名并统计他们的测试分数，将成绩分成五组，第一组，第二组，第三组，第四组；第五组，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求a的值以及这100人中测试成绩在内的人数；

（2）若要从第三、四、五组教师中用分层抽样的方法抽取6人作交流分享，并在这6人中再随机抽取2人担当该活动的主持人，求第三组和第四组各1名教师担当主持人的概率.

【答案】（1），人；   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据频率之和为1，可求得的值，根据频率的计算可求得测试成绩在的人数；

（2）用列举法列出所有可能结果，再利用古典概型的概率公式计算可得；

【小问1详解】

解：由题意得：，解得；

这100人中测试成绩在的人数为（人；

【小问2详解】

解：第三组频率为，第四组频率为，

第五组频率为，

故从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得交流分享，

则三组人数分别为人，人和人，

记第三组抽取的人为，，，第四组抽取的人为，，第五组抽取的人为，

则抽取2人所有情况如下：

，，，，，，，，，，，，，，共15种，

其中第三组和第四组各1名老师被抽到的抽法有：

，，，，，，共种，

故第三组和第四组各1名老师被抽到的概率为．

20. 某市射击队准备在甲、乙两名射击运动员中选拔一名运动员代表该市去参加射击比赛，他们两人共进行了5轮射击选拔赛，得到的成统统计如下（单位环）：

（1）分别计算甲、乙两名射击运动员5轮选拔赛成绩的平均数；

（2）分别计算甲、乙两名射击运动员5轮选拔赛成绩的方差；

（3）选派哪名运动员代表该市参赛比较合适，请说出你的理由.

【答案】（1）甲的平均数为90，乙的平均数为90；   

（2）甲的方差为4，乙的方差为2；
    （3）乙，理由见解析.

【解析】

【分析】(1)根据平均数直接求解即可；

(2)由(1)，结合方差公式直接计算即可；

(3)根据平均数和方差的表示意义即可得出结论.

【小问1详解】

设甲在5轮中的平均成绩为，乙的为，

则，

，

所以甲在5轮中的平均成绩为90，乙在5轮中的平均成绩为90；

【小问2详解】

设甲在5轮中成绩的方差为，乙在5轮中成绩的方差为，

则，

，

所以甲在5轮中成绩的方差为4，乙在5轮中成绩的方差为2；

【小问3详解】

选乙运动员代表该市参赛比较合适，

理由：在甲、乙5轮成绩中的平均数一样的情况下，甲的方差大于乙的方差，

说明乙发挥比较稳定，故选乙代表参赛比较合适.

21. 已知函数（），且函数的最小正周期为.

（1）求的解析式；

（2）先将的图象上所有点向左平移m（）个单位长度，再把所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，若的图象关于直线对称，求当m取最小值时，函数的单调递增区间.

【答案】（1）   

（2），.

【解析】

【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据函数的最小正周期求出，即可得解；

（2）利用三角函数的变换规则得到的解析式，再根据对称性求出，最后根据正弦函数的性质计算可得；

【小问1详解】

解：因为

，

即，又函数的最小正周期为且，

所以，解得，所以.

【小问2详解】

解：将的图象上所有点向左平移m（）个单位长度得到，

再把所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，

因为的图象关于直线对称，即，

解得，

因为，所以当时取得最小值，，

所以，

令，，

解得，，

所以函数的单调递增区间为，.

22. 某班级的数学学习兴趣组发现学生的数学成绩与物理成绩有一定的关系，为进一步研究考生物理成绩了与数学成绩之间的关系，在一次考试中从该班级51名考生中随机抽取11名考生的成绩，得到11组数据统计如下表：

其中有一位考生因数学缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理成绩y与数学成绩x之间具有线性相关关系.

（1）请根据剔除后的10组有效数据建立y关于x的回归直线方程；

（2）已知本次考试只有一位考生缺考（仅缺考数学科目），且全班数学成绩之和为4500分，根据（1）所得结果，估计全班51名考生本次考试的物理平均成绩.（结果精确到0.1）

参考公式：，.

参考数据（剔除异常数据前）：，，，.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据已知的数据结合公式求解y关于x的回归直线方程；

（2）先利用这50个人的数学成绩的平均分来估计这50个人物理成绩的平均分，从而可求出这51人的总分，进而可求出51人的平均分

【小问1详解】

设y关于x的回归直线方程为，则

剔除异常数据后的数学平均为，

剔除异常数据后的物理平均为，

，

所以，

，

所以y关于x的回归直线方程

【小问2详解】

由题意得剔除异常数据后全班数学的平均分为，

当时，，

所以全班的物理成绩的总分约为，

所以全班51名考生本次考试的物理平均成绩为