2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高三（下）第一次月考数学试卷（理科）（Word解析版）

2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高三（下）第一次月考数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 若集合，或，则(    )

A.  B.
C.  D.

2. 已知，复数为虚部单位为纯虚数，则的共轭复数的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 定义：设函数的定义域为，如果，使得在上的值域为，则称函数在上为“等域函数”，若定义域为的函数在其定义域的某个区间上为“等域函数”，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 若非零向量、满足，且，则与的夹角为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 祖暅是南北朝时代伟大的科学家，在数学上有突出贡献．他在五世纪末提出祖暅原理：“密势既同，则积不容异．”其意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．我们称由双曲线中的部分绕其虚轴旋转形成的几何体为双曲线旋转体．如图，双曲线旋转体的下半部分挖去底面直径为，高为的圆柱体后，所得几何体与底面半径为，高为的圆锥均放置于平面上几何体底面在内与平面平行且到平面距离为的平面与两几何体的截面面积分别为，，可以证明总成立．依据上述原理，的双曲线旋转体的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

6. “烂漫的山花中，我们发现你．自然击你以风雪，你报之以歌唱．命运置你于危崖，你馈人间以芬芳．不惧碾作尘，无意苦争春，以怒放的生命，向世界表达倔强．你是岸畔的桂，雪中的梅”这是给感动中国十大人物之一的张桂梅老师的颁奖词，她用实际行动奉献社会，不求回报，只愿孩子们走出大山．受张桂梅老师的影响，有大量志愿者到乡村学校支教，现有名志愿者要到个学校参加支教活动，要求甲、乙两个学校各安排一个人，剩下两个学校各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

7. 在中，角，，所对的边分别为，，若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

9. 函数的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 某校举办“中华魂”中国梦主题演讲比赛聘请名评委为选手评分，评分规则是去掉一个最高分和一个最低分，再求平均分为选手的最终得分．现评委为选手赵刚的评分从低到高依次为，，，，具体分数如图的茎叶图所示，图的程序框图是统计选手最终得分的一个算法流程图，则图中空白处及输出的分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

11. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取，并测零件的直径尺寸，根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件直径尺寸服从正态分布，若落在内的零件个数为，则可估计所抽取的这批零件中直径高于的个数大约为附：若随机变量服从正态分布(    )
    ，，．

A.  B.  C.  D.

12. 已知双曲线的方程是，点，为双曲线的两个焦点，以为直径的圆与双曲线相交于点点在第一象限，若，则双曲线离心率的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知恰好有三个零点，则实数的取值范围是______．
14. 经过点且斜率为的直线与圆：相交于，两点，若，则的值为______．
15. 已知实数，满足约束条件则目标函数的最大值为______．
16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则______．

三、解答题（本大题共7小题，共82分）

17. 已知数列的首项，且满足．
    求证：数列为等差数列；
    若，求数列前项和．
18. 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下个芒果，其质量分别，，，，单位：克中，经统计频率分布直方图如图所示．
    估计这组数据的平均数；
    在样本中，按分层抽样从质量在，中的芒果中随机抽取个，再从这个中随机抽取个，求这个芒果都来自同一个质量区间的概率；
    某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中共有芒果大约个，经销商提出以下两种收购方案：
    方案：所有芒果以元千克收购；
    方案：对质量低于克的芒果以元个收购，对质量高于或等于克的芒果以元个收购．
    请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？

19. 如图所示，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，点为棱的中点．
    求证：平面；
    求直线与平面所成角的正弦值．

20. 已知椭圆：的短轴长为，椭圆上一点到两焦点的距离之和是
    求椭圆的方程；
    若直线方程是，点是直线上任一点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，设切线的斜率都存在．试问：直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
21. 已知函数．
    讨论的零点个数；
    若，求证：．
22. 在平面直角坐标系中，圆的参数方程为为参数，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
    求圆的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；
    设射线：与圆交于异于原点的一点，与曲线交于点，求与面积之比的最大值．
23. 已知函数．
    求不等式的解集；
    已知对任意的，都有，若，，均为正实数，，在空间直角坐标系中，点在以点为球心的球上，求该球表面积的最小值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，或，
则，
所以．
故选：．
利用集合的交集和补集运算直接求解即可．
本题主要考查集合的交集与补集运算，考查运算求解能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：为纯虚数，
，解得，
，即，
的共轭复数的虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意得，函数的图象与直线在上有两个交点，即方程在上有两个不等实根，
即在上有两个不等实根．
设函数，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
所以在处取得极大值，也是最大值，为．
又，
故，解得．
故选：．
由题意可得函数的图象与直线在上有两个交点，即在上有两个不等实根．构造函数，通过导数求函数的最值与区间端点值，数形结合求解即可．
本题考查了导数的新定义问题，考查转化思想，属于中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，设与的夹角为，
非零向量、满足，则有，变形可得，
又由，则有，即，即，
则有，
又由，则，
故选：．
根据题意，设与的夹角为，由分析有，变形可得，又由又由，变形可得，由数量积公式求出的值，分析可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：依题意，，，，圆锥底面半径，
即圆锥的底面面积为，
由祖暅原理可知，．
故选：．
由题意求得圆锥的底面半径，得到圆锥的底面面积，结合祖暅原理，由圆柱与圆锥的体积公式求解．
本题考查双曲线的几何性质，考查祖暅原理的应用，考查运算求解能力，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，设剩下的个学校为丙学校和丁学校，先计算小李和小王不受限制的排法数目：
先在位志愿者中任选人，安排到甲学校，有种情况，
再在剩下的个志愿者种任选人，安排到乙学校，有种情况，
最后将剩下的个志愿者平均分成两组，全排列安排到剩下的个学校，有种情况，
则小李和小王不受限制的排法有种，
若小李和小王在一起，则两人取丙学校或丁学校，有种情况，
在剩下的位志愿者种任选个，安排到甲学校，有种情况，
再在剩下的个志愿者中任选人，安排到乙学校，有种情况，
最后个安排到剩下的学校，有种情况，则小李和小王在一起的排法有种，
所以小李和小王不在一起的排法有种，
故选：．
利用间接法来求得不同的安排方案的数量即可．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，由正弦定理得，
，，
由，得，
，
，
，
由，得，
，．
故选：．
利用正弦定理边化角，结合和差公式与同角三角函数的基本关系式化简计算题中的等式，得到，由此能求出结果．
本题考查角的求法，考查正弦定理、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，，
，，，
函数在上是增函数，
．
故选：．
，，，然后结合幂函数单调性可解决此题．
本题考查幂函数单调性，考查数学运算能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：函数的定义域为，可排除选项C、；
由，可排除选项B，
故选：．
求得的定义域，计算的符号，由排除法可得结论．
本题考查函数的图象的判断，运用排除法是解题的关键，考查数形结合思想，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：模拟程序的运行过程知，该程序运行后是计算个数据的平均数，所以，
由个数据分别是、、、、，
计算平均数为．
故选：．
该程序运行后是计算个数据的平均数，由此求出对应的结果．
本题考查了利用程序框图计算平均数的问题，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：零件直径尺寸服从正态分布，
，，
，，
，，
故所抽取的这批零件中直径高于的个数大约为．
故选：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．
本题主要考查正态分布列的对称性，以及频率与频数的关系，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：以为直径的圆与双曲线相交于点，
在中，由正弦定理有，
所以，，

，，
，，，
，
故选：．
在中，由正弦定理有，可得，可得，求解即可．
本题考查双曲线的离心率的求法，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：作出函数的图象，
在同一坐标系内再作出的图象，
由图象可知要使恰好有三个零点，即函数的图象与轴有三个交点，
只需，
故答案为．
作出函数的图象，在同一坐标系内再作出的图象，由图象可知有三个零点时实数的取值范围．
本题考查函数的零点与方程根的关系，数形结合是求解本题的关键，属中档题．
 

14.【答案】或 

【解析】解：设直线的方程为，
圆：的圆心为，半径为，
由勾股定理得圆心到直线的距离为，
即圆心为到直线：的距离为，
解得或．
故答案为：或．
利用勾股定理求出圆心到直线的距离，设出直线的方程利用点到直线的距离公式求出值．
本题主要考查圆的弦长公式，直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得，
由，得，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，
有最大值为．
故答案为：．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：函数是定义在上的奇函数，当时，，
则．
故答案为：．
由奇函数的定义和性质，结合对数的运算性质可得所求和．
本题考查函数的奇偶性的定义和性质，考查运算能力，属于基础题．
 

17.【答案】证明：因为数列的首项，且满足，
所以，为常数，
又，
是以为首项，为公差的等差数列；
解：由得，
，
，
． 

【解析】由递推关系构造等差数列即可证明；
根据裂项相消法求出数列的和即可．
本题考查了由数列的递推式证明等差数列以及裂项相消求和计算，属于中档题．
 

18.【答案】解：质量分别，，，，单位：克中的频率为
、、、、，
故估计这组数据的平均数为；
样本中质量在，中的芒果分别为，个，
故按分层抽样从质量在，中的芒果中分别抽取，个，
则从这个中随机抽取个，这个芒果都来自同一个质量区间的概率为；
按方案收购，估计可获得毛利润元，
按方案收购，估计质量低于克的芒果有个，
质量高于或等于克的芒果有个，
故估计可获得毛利润元，
故按方案收购时，种植园获利更多． 

【解析】先确定各组的概率，再求平均数即可；
先求样本中质量在，中的芒果个数，再确定按分层抽样抽取个数，最后利用古典概率模型求概率；
分别计算方案与方案收购时种植园可获得毛利润，从而确定方案．
本题考查了频率分布直方图及古典概率模型的应用，属于中档题．
 

19.【答案】证明：建系如图，，，，，
，，，，，
，，
令，
因为，，
所以为平面的法向量，
因为，平面，
所以平面E.
解：由知，为平面的一个法向量，
设与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为． 

【解析】只要证明与平面的法向量数量积为零即可；用向量数量积计算直线与平面成角正弦值．
本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意，，，则，，
所以椭圆程为；
直线恒过定点理由如下：
设，，，设直线的程为，
联立，消去，整理得，
，化简得，
所以，因为程只有一解，
所以，故直线的程为，化简得，
同理可得直线的程为，
因为两切线都经过点，所以，
所以直线的程为，
因为，所以直线的程为，令，得，
所以直线恒过定点．
注：切线，程直接写出没有推导过程扣分． 

【解析】根据题意可知，，，即可求得和的值，求得椭圆方程；
设直线的方程，代入椭圆方程，利用，可得，代入可得直线的方程，同理可得直线的方程，因此可得直线的方程，结合，即可求得直线恒过定点．
本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线与椭圆相切问题，椭圆的极点与极线，直线恒过定点，考查转化思想，计算能力，属于难题．
 

21.【答案】解：由题意，其中，
只需考虑函数在的零点个数，
当时，函数在内没有零点，
当时，函数在单调递增，
取 时，，
时，，
此时在存在唯一个零点，且，
当时，，则时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则是函数在上唯一的极小值点，且极小值，
取时，，取时，，
因此：若，即时，没有零点，
若，即时，有唯一个零点，
若，即时，有且仅有两个零点，
综上所述，时，有两个零点，
或时，有唯一个零点，
时，没有零点；
不等式即为其中，
先证时，，
令，则，则单调递增，
所以，则，
所以，故只需证明即可．
即证明其中，
令，只需证明即可，
又则时，，
时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则时，取得极大值，且极大值，也即为最大值，
由，得，
则时，；时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
则时，取得极小值，且极小值，也即为最小值，
由于，
即有，
则，
所以时，不等式成立，
则不等式也成立． 

【解析】将问题转化为研究函数在的零点个数，根据分类讨论即可；
将问题转化为，然后分别求最值，最后再作差比较即可证明．
本题考查了导函数中的分类讨论思想及不等式证明．属于较难题目．
 

22.【答案】解：圆的普通方程为，
所以圆的极坐标方程为．
由，，
所以曲线的只直角坐标方程为．
因为，
，
即，
且，，
所以，
当且仅当时，与面积之比的最大值是． 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用三角形的面积公式和三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形的面积公式，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

23.【答案】解：当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时．
综上所述，不等式的解集为或；
由可知
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以，，所以，，
因为、、均为正实数，
由柯西不等式可得，
所以，，
则该球表面积为，当且仅当，即，，时取得等号．
所以该球表面积的最小值为． 

【解析】由零点分区间法和一次不等式的解法，可得所求解集；
由的单调性可得的最小值，再由柯西不等式可得的最小值，再由球的表面积公式可得所求值．
本题考查绝对值不等式的解法和函数的最值、柯西不等式的运用，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．