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山东省威海市文登区2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试卷（五四学制）(word版含答案)
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这是一份山东省威海市文登区2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试卷（五四学制）(word版含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省威海市文登区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题。（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分。）
1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
3．（3分）在算式□的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（ ）
A．加号 B．减号 C．乘号 D．除号
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）四边形ABCD是平行四边形，下列说法错误的是（ ）
A．当AB＝CD时，四边形ABCD是矩形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠BAD＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形
6．（3分）若实数m，n满足，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的长，则△ABC的周长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．8或10
7．（3分）用配方法解一元二次方程2x2﹣7x+6＝0，下面配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④
9．（3分）下表是某公司2022年1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染．若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为x，根据表中的信息，可列方程为（ ）
月份
1
2
3
4
5
收入/万元
10
12
14
A．10（1+x）2＝12﹣10 B．10（1+x）2＝12
C．10（1+x）（1+2x）＝12 D．10（1+x）3＝14
10．（3分）如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为（2，3），点E的横坐标为﹣1，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C． D．
二、填空题。（本大题共6小题，每小题3分，共18分。只要求填出最后结果。）
11．（3分）如果代数式有意义，那么x的取值范围是 ．
12．（3分）若x＝3是方程x2﹣2kx﹣3＝0的一个根，则k的值为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC．若AB＝10，AD＝6，AC＝8，则EC的值为 ．
14．（3分）如图，由四张大小相同的矩形纸片拼成一个大正方形和一个小正方形．如果大正方形的面积为75，小正方形的面积为3，则矩形的宽AB为 ．
15．（3分）如图，一块三角形余料ABC，它的边BC＝80cm，高AD＝60cm．现在要把它加工成如图所示的两个大小相同的正方形零件EFGH和FGMN，则正方形的边长为 cm．
16．（3分）已知菱形ABCD，分别以点A，B，C，D为圆心，以的长为半径画弧，分别交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H．若AC＝6，BD＝8，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题。（本大题共8小题，共72分。）
17．（7分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0；
（2）（x﹣2）2＝4（x+3）2．
19．（8分）已知，，求下列代数式的值：
（1）；
（2）x2+xy+y2．
20．（8分）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．
21．（9分）已知：在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，连接ED．
求证：△ABC∽△ADE．
22．（10分）为了吸引游客，某旅游景点推出团体票，收费标准如下：如果团队人数不超过25人，每张票160元；如果超过25人，每增加1人每张票降低2元，但每张票不得低于120元．某旅行社共支付团体票价5200元，则该旅行社购买了多少张票？
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D．AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线．过点C作CE∥AD，交AN于点E．
（1）试判断四边形ADCE的形状并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？请说明理由．
24．（12分）四边形ABCD，点E是对角线BD上一点，将一个含有45°角的三角板的直角顶点与点E重合，使其一条直角边经过点A，另一条直角边与BC交于点F．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：AE＝EF；（请用两种方法证明）
（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，且AB＝a，BC＝b，猜想AE与EF之间的数量关系，并证明．
2021-2022学年山东省威海市文登区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题。（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分。）
1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A.＝，故A不符合题意；
B.＝＝，故B不符合题意；
C.是最简二次根式，故C符合题意；
D.＝5，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2．（3分）若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
【分析】利用合比性质进行计算．
【解答】解：∵，
∴＝，
∴﹣＝，
∴＝﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．
3．（3分）在算式□的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（ ）
A．加号 B．减号 C．乘号 D．除号
【分析】分别按四个选项的结论计算出算式的值，然后再判定结果最大的运算符号．
【解答】解：A、（﹣）+（﹣）＝﹣；
B、（﹣）﹣（﹣）＝0；
C、（﹣）×（﹣）＝；
D、（﹣）÷（﹣）＝1；
综上，可知D的结果最大，故选D．
【点评】此题主要考查的是二次根式的混合运算．
二次根式的加减运算，实质是合并同类二次根式的过程；
二次根式的乘除运算，把被开方数相乘（除），根指数不变．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断．
【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝6×2＝12，所以B选项错误；
C、原式＝＝2，所以C选项准确；
D、原式＝2，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
5．（3分）四边形ABCD是平行四边形，下列说法错误的是（ ）
A．当AB＝CD时，四边形ABCD是矩形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠BAD＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定方法即可判断．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝CD时，四边形ABCD还是平行四边形，故符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，故不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
当∠BAD＝90°时，四边形ABCD是矩形，故不符合题意
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵AC平分∠BAD时，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，故不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握各个判定定理是解题的关键．
6．（3分）若实数m，n满足，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的长，则△ABC的周长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．8或10
【分析】利用非负数的性质求出m，n的值，再分两种情形讨论即可．
【解答】解：∵＝0，
∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，
解得：m＝2，n＝4，
当2是等腰三角形的底时，4，4，2能构成三角形，周长为10，
当4是底时，2，2，4不能构成三角形．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题．
7．（3分）用配方法解一元二次方程2x2﹣7x+6＝0，下面配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先化二次项系数为1，把常数项3右移，然后等式两边同时加上一次项系数的一半的平方，再整理即可．
【解答】解：由原方程得，
＝﹣3，
+＝﹣3+，
＝．
故选：A．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号右边；（2）把二次项系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，
8．（3分）如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④
【分析】根据相似三角形的旋转可知，相似三角形的对应角相等即可判断．
【解答】解：由图形知，⑤中∠AHG＝135°，
而①②③④中，只有①∠BAC＝135°和③∠ADE＝135°，
再根据两边成比例可判断，与⑤相似的三角形是①③，
故选：A．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握两个相似三角形的判定定理是解题的关键．
9．（3分）下表是某公司2022年1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染．若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为x，根据表中的信息，可列方程为（ ）
月份
1
2
3
4
5
收入/万元
10
12
14
A．10（1+x）2＝12﹣10 B．10（1+x）2＝12
C．10（1+x）（1+2x）＝12 D．10（1+x）3＝14
【分析】利用3月份的收入＝1月份的收入×（1+月收入的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：10（1+x）2＝12．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（3分）如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为（2，3），点E的横坐标为﹣1，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C． D．
【分析】根据位似图形的概念得到EF∥OC，DE∥OP，进而证明△CED∽△CPO，△POD∽△PAB，根据相似三角形的性质求出OP，得到答案．
【解答】解：∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为（2，3），
∴AB＝OC＝3，OA＝2，
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，
∴EF∥OC，DE∥OP，
∴△CED∽△CPO，△POD∽△PAB，
∴＝，＝，
∴＝，＝，
解得：OP＝2，OD＝，
∴点P的坐标为（﹣2，0），
故选：A．
【点评】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出EF∥OC，DE∥OP是解题的关键．
二、填空题。（本大题共6小题，每小题3分，共18分。只要求填出最后结果。）
11．（3分）如果代数式有意义，那么x的取值范围是 x≥﹣ ．
【分析】直接利用二次根式的性质得出2x+3≥0，进而得出答案．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴2x+3≥0，
解得：x≥﹣，
故x的取值范围是：x≥﹣．
故答案为：x≥﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
12．（3分）若x＝3是方程x2﹣2kx﹣3＝0的一个根，则k的值为 1 ．
【分析】将x＝3代入方程x2﹣2kx﹣3＝0，即可求k的值．
【解答】解：∵x＝3是方程x2﹣2kx﹣3＝0的一个根，
∴9﹣6k﹣3＝0，
∴k＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解与一元二次方程的关系是解题的关键．
13．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC．若AB＝10，AD＝6，AC＝8，则EC的值为 3.2 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵AB＝10，AD＝6，AC＝8，
∴＝，
解得；AE＝4.8，
∴EC＝8﹣4.8＝3.2，
故答案为：3.2．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
14．（3分）如图，由四张大小相同的矩形纸片拼成一个大正方形和一个小正方形．如果大正方形的面积为75，小正方形的面积为3，则矩形的宽AB为 2 ．
【分析】根据图形的面积，设矩形的长为a，宽为b，得出（a+b）2＝75，（a﹣b）2＝3，进而得到a+b＝5，a﹣b＝，求出b即可．
【解答】解：设矩形的长为a，宽为b，则有（a+b）2＝75，（a﹣b）2＝3，
所以a+b＝5，a﹣b＝，
所以b＝2，
即矩形的AB为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
15．（3分）如图，一块三角形余料ABC，它的边BC＝80cm，高AD＝60cm．现在要把它加工成如图所示的两个大小相同的正方形零件EFGH和FGMN，则正方形的边长为 24 cm．
【分析】根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即△AHM∽△ABC，根据相似三角形相似比等于对应高的比列式，可解答．
【解答】解：设正方形零件的边长为acm，
在正方形EFGH中，HM∥BC，
∴△AHM∽△ABC，
∵AD是高，
∴＝，即＝，
∴a＝24，
答：正方形的边长为24cm．
故答案为：24．
【点评】本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形．
16．（3分）已知菱形ABCD，分别以点A，B，C，D为圆心，以的长为半径画弧，分别交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H．若AC＝6，BD＝8，则图中阴影部分的面积为 24﹣π ．
【分析】设AC交BD于O，根据菱形的性质得出AO＝CO＝3，BO＝DO＝4，AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，根据勾股定理求出AB，求出AB＝BC＝CD＝AD＝5，求出AE＝BE＝CF＝DH＝，根据图形得出阴影部分的面积S＝S菱形ABCD﹣（S扇形EAH+S扇形EBF+S扇形FCG+S扇形HDG），再求出答案即可．
【解答】解：设AC交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，
∴AO＝CO＝3，BO＝DO＝4，AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
由勾股定理得：AB＝＝＝5，
即AB＝BC＝CD＝AD＝5，
∵分别以点A，B，C，D为圆心，以的长为半径画弧，分别交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H，
∴AE＝BE＝CF＝DH＝，
∴阴影部分的面积S＝S菱形ABCD﹣（S扇形EAH+S扇形EBF+S扇形FCG+S扇形HDG）
＝﹣
＝24﹣π，
故答案为：24﹣π．
【点评】本题考查了菱形的性质和扇形的面积计算，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
三、解答题。（本大题共8小题，共72分。）
17．（7分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先进行化简，再算乘法即可；
（2）利用乘法的分配律进行运算，再进行加减运算即可．
【解答】解：（1）
＝
＝6；
（2）
＝4+﹣（）
＝4+﹣
＝3﹣．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0；
（2）（x﹣2）2＝4（x+3）2．
【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝2，
配方得：x2﹣2x+1＝2+1，
（x﹣1）2＝3，
开方得：x﹣1＝，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）（x﹣2）2＝4（x+3）2，
两边开方得：x﹣2＝±2（x+3），
解得：x1＝﹣8，x2＝﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
19．（8分）已知，，求下列代数式的值：
（1）；
（2）x2+xy+y2．
【分析】由已知条件可得：x+y＝2，xy＝﹣1，
（1）利用分式的加减法对式子进行整理，再代入相应的值运算即可；
（2）利用完全平方公式对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：∵，，
∴x+y＝2，xy＝﹣1，
∴（1）
＝
＝
＝；
（2）x2+xy+y2
＝（x+y）2﹣xy
＝（2）2﹣（﹣1）
＝12+1
＝13．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20．（8分）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．
【分析】（1）由一元二次方程的根的情况与判别式的关系可得Δ＞0，由此可解得m的值．
（2）根与系数的关系及已知条件可得关于m的一元二次方程，解得m的值并根据（1）中的所得的m的取值范围作出取舍即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得：
Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）＞0，
解得：m＜0．
∴m的取值范围是m＜0．
（2）根据题意得：x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵x12+x22＝12，
∴﹣2x1x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，
∴解得：m1＝﹣2，m2＝3（不合题意，舍去），
∴m的值是﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的情况与判别式的关系、及根与系数的关系及解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键．
21．（9分）已知：在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，连接ED．
求证：△ABC∽△ADE．
【分析】设BD与CE交于点O，首先利用两个角相等可说明△ABD∽△ACE，得，从而证明△ABC∽△ADE．
【解答】证明：设BD与CE交于点O，
∵BD，CE分别是AC，AB边上的高，
∴∠BEC＝∠BDC，
∵∠BOE＝∠COD，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∴，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADE．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，证明△ABD∽△ACE，得出是解题的关键．
22．（10分）为了吸引游客，某旅游景点推出团体票，收费标准如下：如果团队人数不超过25人，每张票160元；如果超过25人，每增加1人每张票降低2元，但每张票不得低于120元．某旅行社共支付团体票价5200元，则该旅行社购买了多少张票？
【分析】设该旅行社购买了x张票，则每张票的票价为160﹣2（x﹣25）＝（210﹣2x）元，根据该旅行社共支付团体票价5200元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设该旅行社购买了x张票，则每张票的票价为160﹣2（x﹣25）＝（210﹣2x）元，
依题意得：x（210﹣2x）＝5200，
整理得：x2﹣105x+2600＝0，
解得：x1＝40，x2＝65．
当x＝40时，210﹣2x＝210﹣2×40＝130＞120，符合题意；
当x＝65时，210﹣2x＝210﹣2×65＝80＜120，不符合题意，舍去．
答：该旅行社购买了40张票．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D．AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线．过点C作CE∥AD，交AN于点E．
（1）试判断四边形ADCE的形状并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？请说明理由．
【分析】（1）首先利用外角性质得出∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，进而得到AE∥CD，即可求出四边形AEDB是平行四边形，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判定四边形ADCE是矩形；
（2）能使得矩形的邻边AD和DC相等的条件均可．
【解答】解：（1）四边形ADCE是矩形，
理由：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∵AN平分∠MAC，
∴∠MAE＝∠CAE＝∠MAC，
又∵∠BAC+∠MAC＝180°，
∴∠CAD+∠CAE＝∠BAC+∠MAC＝90°，
即∠EAD＝90°，
∴∠ADC+∠EAD＝180°，
∴AE∥DC，
∵四边形ADCE中，AE∥DC，CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形；
（2）当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形；
理由：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴∠ADC＝90°，∠DAC＝BAC＝45°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
由（1）知，四边形ADCE是矩形，
∴四边形ADCE为正方形．
【点评】本题考查了正方形的判定，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
24．（12分）四边形ABCD，点E是对角线BD上一点，将一个含有45°角的三角板的直角顶点与点E重合，使其一条直角边经过点A，另一条直角边与BC交于点F．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：AE＝EF；（请用两种方法证明）
（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，且AB＝a，BC＝b，猜想AE与EF之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）方法一：连接EC，利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质解答即可；
方法二：过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，利用正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质解答即可；
（2）过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，利用矩形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】（1）证明：（方法一）
连接EC，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°．
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝EC，∠BAE＝∠BCE．
∵∠AEF＝90°，∠BAE+∠ABC+∠AEF+∠BFE＝360°，
∴∠BAE+∠BFE＝180°．
∵∠BFE+∠EFC＝180°，
∴∠EFC＝∠BAE，
∴∠EFC＝∠BCE，
∴EF＝EC，
∴AE＝EF；
（方法二）
过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°．
∵EM⊥AB，EN⊥BC，
∴四边形BNEM为正方形，
∴EM＝EN，∠MEN＝90°．
∴∠MEF+∠FEN＝90°．
∵∠AEF＝90°，
∴∠FEM+∠AEM＝90°，
∴∠AEM＝∠FEN．
在△AEM和△FEN中，
，
∴△AEM≌△FEN（ASA），
∴AE＝EF；
（2）解：AE与EF之间的数量关系为：，理由：
过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵EM⊥AB，EN⊥BC．
∴四边形MBNE为矩形，
∴ME∥AD，NE∥CD，BM＝EN，ME＝BN．
∴，
∴矩形MBNE∽矩形ABCD，
∴．
∵∠MEF+∠FEN＝90°，∠FEM+∠AEM＝90°，
∴∠AEM＝∠FEN，
∵∠AME＝∠FNE＝90°，
∴△AME∽△FNE，
∴．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直的意义，利用正方形的性质构造恰当的辅助线是解题的关键．
2021-2022学年山东省威海市文登区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题。（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分。）
1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
3．（3分）在算式□的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（ ）
A．加号 B．减号 C．乘号 D．除号
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）四边形ABCD是平行四边形，下列说法错误的是（ ）
A．当AB＝CD时，四边形ABCD是矩形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠BAD＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形
6．（3分）若实数m，n满足，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的长，则△ABC的周长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．8或10
7．（3分）用配方法解一元二次方程2x2﹣7x+6＝0，下面配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④
9．（3分）下表是某公司2022年1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染．若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为x，根据表中的信息，可列方程为（ ）
月份
1
2
3
4
5
收入/万元
10
12
14
A．10（1+x）2＝12﹣10 B．10（1+x）2＝12
C．10（1+x）（1+2x）＝12 D．10（1+x）3＝14
10．（3分）如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为（2，3），点E的横坐标为﹣1，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C． D．
二、填空题。（本大题共6小题，每小题3分，共18分。只要求填出最后结果。）
11．（3分）如果代数式有意义，那么x的取值范围是 ．
12．（3分）若x＝3是方程x2﹣2kx﹣3＝0的一个根，则k的值为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC．若AB＝10，AD＝6，AC＝8，则EC的值为 ．
14．（3分）如图，由四张大小相同的矩形纸片拼成一个大正方形和一个小正方形．如果大正方形的面积为75，小正方形的面积为3，则矩形的宽AB为 ．
15．（3分）如图，一块三角形余料ABC，它的边BC＝80cm，高AD＝60cm．现在要把它加工成如图所示的两个大小相同的正方形零件EFGH和FGMN，则正方形的边长为 cm．
16．（3分）已知菱形ABCD，分别以点A，B，C，D为圆心，以的长为半径画弧，分别交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H．若AC＝6，BD＝8，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题。（本大题共8小题，共72分。）
17．（7分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0；
（2）（x﹣2）2＝4（x+3）2．
19．（8分）已知，，求下列代数式的值：
（1）；
（2）x2+xy+y2．
20．（8分）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．
21．（9分）已知：在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，连接ED．
求证：△ABC∽△ADE．
22．（10分）为了吸引游客，某旅游景点推出团体票，收费标准如下：如果团队人数不超过25人，每张票160元；如果超过25人，每增加1人每张票降低2元，但每张票不得低于120元．某旅行社共支付团体票价5200元，则该旅行社购买了多少张票？
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D．AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线．过点C作CE∥AD，交AN于点E．
（1）试判断四边形ADCE的形状并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？请说明理由．
24．（12分）四边形ABCD，点E是对角线BD上一点，将一个含有45°角的三角板的直角顶点与点E重合，使其一条直角边经过点A，另一条直角边与BC交于点F．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：AE＝EF；（请用两种方法证明）
（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，且AB＝a，BC＝b，猜想AE与EF之间的数量关系，并证明．
2021-2022学年山东省威海市文登区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题。（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分。）
1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A.＝，故A不符合题意；
B.＝＝，故B不符合题意；
C.是最简二次根式，故C符合题意；
D.＝5，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2．（3分）若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
【分析】利用合比性质进行计算．
【解答】解：∵，
∴＝，
∴﹣＝，
∴＝﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．
3．（3分）在算式□的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（ ）
A．加号 B．减号 C．乘号 D．除号
【分析】分别按四个选项的结论计算出算式的值，然后再判定结果最大的运算符号．
【解答】解：A、（﹣）+（﹣）＝﹣；
B、（﹣）﹣（﹣）＝0；
C、（﹣）×（﹣）＝；
D、（﹣）÷（﹣）＝1；
综上，可知D的结果最大，故选D．
【点评】此题主要考查的是二次根式的混合运算．
二次根式的加减运算，实质是合并同类二次根式的过程；
二次根式的乘除运算，把被开方数相乘（除），根指数不变．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断．
【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝6×2＝12，所以B选项错误；
C、原式＝＝2，所以C选项准确；
D、原式＝2，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
5．（3分）四边形ABCD是平行四边形，下列说法错误的是（ ）
A．当AB＝CD时，四边形ABCD是矩形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠BAD＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定方法即可判断．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝CD时，四边形ABCD还是平行四边形，故符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，故不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
当∠BAD＝90°时，四边形ABCD是矩形，故不符合题意
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵AC平分∠BAD时，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，故不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握各个判定定理是解题的关键．
6．（3分）若实数m，n满足，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的长，则△ABC的周长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．8或10
【分析】利用非负数的性质求出m，n的值，再分两种情形讨论即可．
【解答】解：∵＝0，
∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，
解得：m＝2，n＝4，
当2是等腰三角形的底时，4，4，2能构成三角形，周长为10，
当4是底时，2，2，4不能构成三角形．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题．
7．（3分）用配方法解一元二次方程2x2﹣7x+6＝0，下面配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先化二次项系数为1，把常数项3右移，然后等式两边同时加上一次项系数的一半的平方，再整理即可．
【解答】解：由原方程得，
＝﹣3，
+＝﹣3+，
＝．
故选：A．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号右边；（2）把二次项系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，
8．（3分）如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④
【分析】根据相似三角形的旋转可知，相似三角形的对应角相等即可判断．
【解答】解：由图形知，⑤中∠AHG＝135°，
而①②③④中，只有①∠BAC＝135°和③∠ADE＝135°，
再根据两边成比例可判断，与⑤相似的三角形是①③，
故选：A．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握两个相似三角形的判定定理是解题的关键．
9．（3分）下表是某公司2022年1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染．若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为x，根据表中的信息，可列方程为（ ）
月份
1
2
3
4
5
收入/万元
10
12
14
A．10（1+x）2＝12﹣10 B．10（1+x）2＝12
C．10（1+x）（1+2x）＝12 D．10（1+x）3＝14
【分析】利用3月份的收入＝1月份的收入×（1+月收入的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：10（1+x）2＝12．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（3分）如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为（2，3），点E的横坐标为﹣1，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C． D．
【分析】根据位似图形的概念得到EF∥OC，DE∥OP，进而证明△CED∽△CPO，△POD∽△PAB，根据相似三角形的性质求出OP，得到答案．
【解答】解：∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为（2，3），
∴AB＝OC＝3，OA＝2，
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，
∴EF∥OC，DE∥OP，
∴△CED∽△CPO，△POD∽△PAB，
∴＝，＝，
∴＝，＝，
解得：OP＝2，OD＝，
∴点P的坐标为（﹣2，0），
故选：A．
【点评】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出EF∥OC，DE∥OP是解题的关键．
二、填空题。（本大题共6小题，每小题3分，共18分。只要求填出最后结果。）
11．（3分）如果代数式有意义，那么x的取值范围是 x≥﹣ ．
【分析】直接利用二次根式的性质得出2x+3≥0，进而得出答案．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴2x+3≥0，
解得：x≥﹣，
故x的取值范围是：x≥﹣．
故答案为：x≥﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
12．（3分）若x＝3是方程x2﹣2kx﹣3＝0的一个根，则k的值为 1 ．
【分析】将x＝3代入方程x2﹣2kx﹣3＝0，即可求k的值．
【解答】解：∵x＝3是方程x2﹣2kx﹣3＝0的一个根，
∴9﹣6k﹣3＝0，
∴k＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解与一元二次方程的关系是解题的关键．
13．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC．若AB＝10，AD＝6，AC＝8，则EC的值为 3.2 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵AB＝10，AD＝6，AC＝8，
∴＝，
解得；AE＝4.8，
∴EC＝8﹣4.8＝3.2，
故答案为：3.2．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
14．（3分）如图，由四张大小相同的矩形纸片拼成一个大正方形和一个小正方形．如果大正方形的面积为75，小正方形的面积为3，则矩形的宽AB为 2 ．
【分析】根据图形的面积，设矩形的长为a，宽为b，得出（a+b）2＝75，（a﹣b）2＝3，进而得到a+b＝5，a﹣b＝，求出b即可．
【解答】解：设矩形的长为a，宽为b，则有（a+b）2＝75，（a﹣b）2＝3，
所以a+b＝5，a﹣b＝，
所以b＝2，
即矩形的AB为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
15．（3分）如图，一块三角形余料ABC，它的边BC＝80cm，高AD＝60cm．现在要把它加工成如图所示的两个大小相同的正方形零件EFGH和FGMN，则正方形的边长为 24 cm．
【分析】根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即△AHM∽△ABC，根据相似三角形相似比等于对应高的比列式，可解答．
【解答】解：设正方形零件的边长为acm，
在正方形EFGH中，HM∥BC，
∴△AHM∽△ABC，
∵AD是高，
∴＝，即＝，
∴a＝24，
答：正方形的边长为24cm．
故答案为：24．
【点评】本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形．
16．（3分）已知菱形ABCD，分别以点A，B，C，D为圆心，以的长为半径画弧，分别交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H．若AC＝6，BD＝8，则图中阴影部分的面积为 24﹣π ．
【分析】设AC交BD于O，根据菱形的性质得出AO＝CO＝3，BO＝DO＝4，AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，根据勾股定理求出AB，求出AB＝BC＝CD＝AD＝5，求出AE＝BE＝CF＝DH＝，根据图形得出阴影部分的面积S＝S菱形ABCD﹣（S扇形EAH+S扇形EBF+S扇形FCG+S扇形HDG），再求出答案即可．
【解答】解：设AC交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，
∴AO＝CO＝3，BO＝DO＝4，AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
由勾股定理得：AB＝＝＝5，
即AB＝BC＝CD＝AD＝5，
∵分别以点A，B，C，D为圆心，以的长为半径画弧，分别交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H，
∴AE＝BE＝CF＝DH＝，
∴阴影部分的面积S＝S菱形ABCD﹣（S扇形EAH+S扇形EBF+S扇形FCG+S扇形HDG）
＝﹣
＝24﹣π，
故答案为：24﹣π．
【点评】本题考查了菱形的性质和扇形的面积计算，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
三、解答题。（本大题共8小题，共72分。）
17．（7分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先进行化简，再算乘法即可；
（2）利用乘法的分配律进行运算，再进行加减运算即可．
【解答】解：（1）
＝
＝6；
（2）
＝4+﹣（）
＝4+﹣
＝3﹣．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0；
（2）（x﹣2）2＝4（x+3）2．
【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝2，
配方得：x2﹣2x+1＝2+1，
（x﹣1）2＝3，
开方得：x﹣1＝，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）（x﹣2）2＝4（x+3）2，
两边开方得：x﹣2＝±2（x+3），
解得：x1＝﹣8，x2＝﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
19．（8分）已知，，求下列代数式的值：
（1）；
（2）x2+xy+y2．
【分析】由已知条件可得：x+y＝2，xy＝﹣1，
（1）利用分式的加减法对式子进行整理，再代入相应的值运算即可；
（2）利用完全平方公式对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：∵，，
∴x+y＝2，xy＝﹣1，
∴（1）
＝
＝
＝；
（2）x2+xy+y2
＝（x+y）2﹣xy
＝（2）2﹣（﹣1）
＝12+1
＝13．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20．（8分）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．
【分析】（1）由一元二次方程的根的情况与判别式的关系可得Δ＞0，由此可解得m的值．
（2）根与系数的关系及已知条件可得关于m的一元二次方程，解得m的值并根据（1）中的所得的m的取值范围作出取舍即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得：
Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）＞0，
解得：m＜0．
∴m的取值范围是m＜0．
（2）根据题意得：x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵x12+x22＝12，
∴﹣2x1x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，
∴解得：m1＝﹣2，m2＝3（不合题意，舍去），
∴m的值是﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的情况与判别式的关系、及根与系数的关系及解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键．
21．（9分）已知：在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，连接ED．
求证：△ABC∽△ADE．
【分析】设BD与CE交于点O，首先利用两个角相等可说明△ABD∽△ACE，得，从而证明△ABC∽△ADE．
【解答】证明：设BD与CE交于点O，
∵BD，CE分别是AC，AB边上的高，
∴∠BEC＝∠BDC，
∵∠BOE＝∠COD，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∴，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADE．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，证明△ABD∽△ACE，得出是解题的关键．
22．（10分）为了吸引游客，某旅游景点推出团体票，收费标准如下：如果团队人数不超过25人，每张票160元；如果超过25人，每增加1人每张票降低2元，但每张票不得低于120元．某旅行社共支付团体票价5200元，则该旅行社购买了多少张票？
【分析】设该旅行社购买了x张票，则每张票的票价为160﹣2（x﹣25）＝（210﹣2x）元，根据该旅行社共支付团体票价5200元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设该旅行社购买了x张票，则每张票的票价为160﹣2（x﹣25）＝（210﹣2x）元，
依题意得：x（210﹣2x）＝5200，
整理得：x2﹣105x+2600＝0，
解得：x1＝40，x2＝65．
当x＝40时，210﹣2x＝210﹣2×40＝130＞120，符合题意；
当x＝65时，210﹣2x＝210﹣2×65＝80＜120，不符合题意，舍去．
答：该旅行社购买了40张票．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D．AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线．过点C作CE∥AD，交AN于点E．
（1）试判断四边形ADCE的形状并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？请说明理由．
【分析】（1）首先利用外角性质得出∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，进而得到AE∥CD，即可求出四边形AEDB是平行四边形，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判定四边形ADCE是矩形；
（2）能使得矩形的邻边AD和DC相等的条件均可．
【解答】解：（1）四边形ADCE是矩形，
理由：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∵AN平分∠MAC，
∴∠MAE＝∠CAE＝∠MAC，
又∵∠BAC+∠MAC＝180°，
∴∠CAD+∠CAE＝∠BAC+∠MAC＝90°，
即∠EAD＝90°，
∴∠ADC+∠EAD＝180°，
∴AE∥DC，
∵四边形ADCE中，AE∥DC，CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形；
（2）当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形；
理由：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴∠ADC＝90°，∠DAC＝BAC＝45°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
由（1）知，四边形ADCE是矩形，
∴四边形ADCE为正方形．
【点评】本题考查了正方形的判定，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
24．（12分）四边形ABCD，点E是对角线BD上一点，将一个含有45°角的三角板的直角顶点与点E重合，使其一条直角边经过点A，另一条直角边与BC交于点F．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：AE＝EF；（请用两种方法证明）
（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，且AB＝a，BC＝b，猜想AE与EF之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）方法一：连接EC，利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质解答即可；
方法二：过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，利用正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质解答即可；
（2）过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，利用矩形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】（1）证明：（方法一）
连接EC，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°．
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝EC，∠BAE＝∠BCE．
∵∠AEF＝90°，∠BAE+∠ABC+∠AEF+∠BFE＝360°，
∴∠BAE+∠BFE＝180°．
∵∠BFE+∠EFC＝180°，
∴∠EFC＝∠BAE，
∴∠EFC＝∠BCE，
∴EF＝EC，
∴AE＝EF；
（方法二）
过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°．
∵EM⊥AB，EN⊥BC，
∴四边形BNEM为正方形，
∴EM＝EN，∠MEN＝90°．
∴∠MEF+∠FEN＝90°．
∵∠AEF＝90°，
∴∠FEM+∠AEM＝90°，
∴∠AEM＝∠FEN．
在△AEM和△FEN中，
，
∴△AEM≌△FEN（ASA），
∴AE＝EF；
（2）解：AE与EF之间的数量关系为：，理由：
过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵EM⊥AB，EN⊥BC．
∴四边形MBNE为矩形，
∴ME∥AD，NE∥CD，BM＝EN，ME＝BN．
∴，
∴矩形MBNE∽矩形ABCD，
∴．
∵∠MEF+∠FEN＝90°，∠FEM+∠AEM＝90°，
∴∠AEM＝∠FEN，
∵∠AME＝∠FNE＝90°，
∴△AME∽△FNE，
∴．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直的意义，利用正方形的性质构造恰当的辅助线是解题的关键．
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