2021-2022学年山东省淄博市淄川区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）-（Word解析版）

2021-2022学年山东省淄博市淄川区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共12小题，共48分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 与结果相同的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 关于菱形的性质，以下说法不正确的是(    )

A. 四条边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 是轴对称图形

3. 如图，在中，，，，于点，是的中点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 若，则代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列各组中的四条线段、、、，成比例线段的是(    )

A. ，，，
B. ，，，
C. ，，，
D. ，，，

6. 一元二次方程的解是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

7. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．年至年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国年至年快递业务收入的年平均增长率为，则可列方程为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个或个

9. 如图，点，都在格点上，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 在下列四个三角形中，以为位似中心且与位似的图形序号是(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图▱，为中点，延长至，使：：，连接交于点，则：(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

12. 已知方程的两根分别为，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32分）

13. 方程的根为______．
14. 将化为最简二次根式，其结果是______．
15. 如图，在正方形中，，分别是，上的点，连接，，，若，则的度数为______．

16. 已知是一元二次方程的一个实数根，则______．
17. 我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形，边的长度为，则该矩形的周长为______．
18. 如图，在正方形网格中有三个三角形，分别是，，，其中与相似的是______．

19. 设，是关于的方程的两个根，且，则 ______ ．
20. 如图，在中，，，点，分别在，上，，，交于点，则面积的最大值是______．

三、解答题（本大题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. 完成下列各题：
    计算：
    ．
    ．
    解方程：
    ．
    ．
22. 如图，一个矩形的长，宽，按照图中所示的方式将它分割成相同的三个矩形，且每个小矩形与原矩形相似，求的值．

23. 如图，正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形的面积有什么关系？请证明你的结论．

24. 一名跳水运动员进行跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面以前完成规定的动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误，根据经验，运动员起跳后的时间与运动员距离水面的高度满足关系式：，那么运动员最多有多长时间完成规定动作？
25. 已知关于的一元二次方程．
    判断该方程根的情况，并说明理由；
    若方程的两个实数根之和等于两根之积，求的值．
26. 如图，将矩形沿折叠，使点落在边的点处，过点作交于点，连接．
    求证：四边形是菱形；
    试证明．

27. 定义：如图，若点在的边上，且满足，则称点为的“理想点”．
    如图，若点是的边的中点，，，试判断点是不是的“理想点”，并说明理由．
    如图，在中，，，，若点是的“理想点”，求的长．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，故A符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意．
故选：．
化简，再逐个选项判断即可．
本题考查了二次根式的运算性质，熟悉二次根式的运算性质是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：菱形的四条边相等，正确，不符合题意，
B.菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，符合题意，
C.菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意，
D.菱形是轴对称图形，正确，不符合题意，
故选：．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
，
是的中点，，
，
为等边三角形，
，
，
故选：．
利用三角形的内角和定理可得，由直角三角形斜边的中线性质定理可得，利用等边三角形的性质可得结果．
本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握定理是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，






，
故选：．
根据完全平方公式得出，再代入求出答案即可．
本题考查了二次根式的化简求值和完全平方公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，四条线段不能成比例线段；
B、，四条线段不能成比例线段；
C、，四条线段能成比例线段；
D、，四条线段不能成比例线段．
故选：．
根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．
此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
方程利用配方法求出解即可．
【解答】
解：一元二次方程，
移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：设我国年至年快递业务收入的年平均增长率为，
由题意得：，
故选：．
根据题意可得等量关系：年的快递业务量增长率年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
利用一次函数的性质得到，再判断，从而得到方程根的情况．
【解答】
解：直线不经过第二象限，
，
当时，关于的方程是一元一次方程，解为，
当时，关于的方程是一元二次方程，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选D．  

9.【答案】 

【解析】解：由图可得，
，
，
，
故选：．
根据勾股定理可以得到的长，然后由图可知，然后代入数据计算即可．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是求出的长，利用数形结合的思想解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接、、，
图的三个顶点分别在、、上，
以为位似中心且与位似的图形序号是，
故选：．
连接、、，根据位似图形的对应点的连线都经过同一点判断即可．
本题考查的是位似图形的概念，掌握位似图形的对应点的连线都经过同一点是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义表示出是解题的关键．
先设出，进而得出，再用平行四边形的性质得出，进而求出，最后用相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】
解：设，
：：，
，
四边形是平行四边形，
，，
点是的中点，
，
，
∽，
，
故选：．  

12.【答案】 

【解析】解：方程的两根分别为，，
，，，
，
，
，
，

．
故选：．
由题意得出，，，将代数式变形后再代入求解即可．
本题考查了根的定义及根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，熟练掌握代数式的求值技巧是解题的关键．
 

13.【答案】， 

【解析】

【分析】
此题考查了直接开平方法解一元二次方程．
根据直接开平方法的步骤先把方程两边分别开方，再进行计算即可．
【解答】
解：，
，
，．
故答案为，．  

14.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
根据二次根式的性质和化简的方法进行计算即可．
本题考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质以及化简方法是正确解答的前提．
 

15.【答案】 

【解析】解：延长到，使，
四边形是正方形，
，，
，
在与中，
，
≌，
，，
，，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
故答案为：．
延长到，使，根据正方形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，，求得，推出≌，根据全等三角形的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：把代入方程有：
，
即，
，
解得或，
，
，
．
故答案为：．
把代入方程，解关于的方程，求出的值，因为不为，所以要舍去．
本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，可以求出字母系数的值，因为一元二次方程的二次项系数不为，所以把舍去．
 

17.【答案】或 

【解析】解：分两种情况：
边为矩形的长时，则矩形的宽为，
矩形的周长为：；
边为矩形的宽时，则矩形的长为：，
矩形的周长为；
综上所述，该矩形的周长为或．
分两种情况：边为矩形的长时，则矩形的宽为，求出矩形的周长即可；
边为矩形的宽时，则矩形的长为，求出矩形的周长即可．
本题考查了黄金分割，熟记黄金分割的比值是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：的三边之比是：：：：，
的三边之比是：：：：，
的三边之比是：：：：；
的三边之比是：：：：：：．
与相似，
故答案为：．
分别求出三个三角形的三边的比，所求三边之比等于的三边之比就是与相似的三角形．
本题主要考查相似三角形的判定，从“三边对应成比例，两三角形相似”的角度考虑．
 

19.【答案】 

【解析】解：根据题意，知，则，
将其代入关于的方程，得．
解得．
故答案是：．
根据根与系数的关系求得，将其代入已知方程，列出关于的方程，解方程即可．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
 

20.【答案】 

【解析】解：连接，过点作于，如图所示：
，，
，
，
∽，∽，
，
，
，
，
，
，
，
一定，当最大时，的面积最大，
，
时，最大，
即当时，的面积最大，最大值，
的面积的最大值，
故答案为：．
连接首先证明，推出，推出，可得，求出面积的最大值即可解决问题．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质以及三角形面积等知识，解题的关键是证明，推出，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：原式

；
原式
；
分解因式得：，
所以或，
解得：，；
方程整理得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：，． 

【解析】原式利用二次根式乘除法则计算，合并即可得到结果；
原式利用分母有理化，平方差公式化简，合并即可得到结果；
方程利用因式分解法求出解即可；
方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及二次根式的混合运算，熟练掌握因式分解法及运算法则是解本题的关键．
 

22.【答案】解：每个小矩形与原矩形相似，
，
解得或舍去，
． 

【解析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可．
此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例．
 

23.【答案】解：重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的．
理由如下：

四边形和四边形都是正方形，
，，，
．
在与中，
，
≌，
四边形的面积等于三角形的面积，
即重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的． 

【解析】根据正方形的性质得出，，，推出，证出≌．
本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能推出四边形的面积等于三角形的面积是解此题的关键．
 

24.【答案】解：依题意：，
整理，得，即．
解得，舍去，
所以运动员最多有约的时间完成规定动作．
点拨：把代入与的关系式，求出的值即可． 

【解析】运动员必须在起跳做完动作后刚好距离水面等于或大于，所以满足的关系，首先求出时的时间的值，即运动员用的最多的时间．
本题关键在于理解距离水面的高度与起跳做完动作的关系，列出方程，舍去不合题意的值即可．
 

25.【答案】解：

，
方程有两个不相等的实数根；
设方程的两根为，，则有，，
方程的两个实数根之和等于两根之积，
，
解得：． 

【解析】表示出根的判别式，判断正负即可得到结果；
利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，令其值相等求出的值即可．
此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
 

26.【答案】证明：，
．
由翻折的性质可知：，，，
．
．
．
四边形为菱形．

解：如图所示：连接，交于点．
四边形为菱形，
，．
，，
∽．
，即．
，，
． 

【解析】先依据翻折的性质和平行线的性质证明，从而得到，接下来依据翻折的性质可证明；
连接，交于点由菱形的性质可知，，接下来，证明∽，由相似三角形的性质可证明，于是可得到、、的数量关系．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，解答本题主要应用了菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形的性质得到是解题答问题的关键．
 

27.【答案】解：点是的“理想点”，理由如下：
是中点，，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
点是的“理想点”；
在上时，如图：

是的“理想点”，
或，
当时，
，
，
，即是边上的高，
当时，同理可证，即是边上的高，
在中，，，，
，
，
，
，，
有，
“理想点”不可能在边上，
在边上时，如图：

是的“理想点”，
，
又，
∽，
，即，
，
综上所述，点是的“理想点”，的长为或． 

【解析】由已知可得，从而∽，，可证点是的“理想点”；
由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，∽，对应边成比例即可求长度；不可能在上．
本题考查相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．