2021-2022学年甘肃省庆阳市高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年甘肃省庆阳市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列各组向量中，不能作为平面的基底的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知，，若是方程的一个复数根，则该方程的另一个解为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，，两地相距，甲欲驾车从地去地，由于山体滑坡造成道路堵塞，甲沿着与方向成角的方向前行，中途到达点，再沿与方向成角的方向继续前行到达终点，则这样的驾车路程比原来的路程约多了参考数据：，，(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 现从名男生和名女生中选名同学参加演讲比赛，下列各对事件中为互斥事件的是(    )

A. 事件“选取的人都是男生”，事件“名女生都被选中”
B. 事件“选取的人中至少有名女生”，事件“选取的人中至少有名男生”
C. 事件“选取的人中恰有名男生”，事件“选取的人中恰有名女生”
D. 事件“选取的人中至多有名女生”，事件“选取的人中恰有名男生”

11. 在中，，分别是线段，上的点，与交于点，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知直四棱柱的棱长均为，是侧面上一动点，且，则(    )

A. 动点的轨迹长度为
B. 动点的轨迹长度为
C. 直线与平面所成角的正切值的最大值为
D. 直线与平面所成角的正切值的最大值为

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 某机构开展关于环境保护的知识问卷，从中抽取了份试卷，成绩分别为，，，，，，，，则这份试卷成绩的第百分位数为______．
14. 在等边中，，，分别为，，的中点，写出一个与向量垂直的向量：______用字母作答
15. 已知甲罐中有四个相同的小球，标号分别为，，，；乙罐中有六个相同的小球，标号分别为，，，，，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取个小球，记事件“抽取的个小球标号之和为偶数”，事件“抽取的个小球标号之和大于”，则事件发生的概率为______．
16. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，若角的内角平分线的长为，则面积的最小值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知，复数．
    若是纯虚数，求的值；
    若对应的点为直线第一象限上一点，求．
18. 已知向量，．
    若，求的值；
    若，求的值．
19. 某学校组织“数学文化”知识竞赛，分为初赛和决赛，有名学生参加知识竞赛的初赛满分分，根据初赛成绩依次分为，，，，，这六组，得到如图所示的频率分布直方图．
    求本次初赛成绩的平均数；每组数据以区间中点值为代表
    若计划决赛人数为，估计参加决赛的最低分数线．

20. 为巩固当前抗疫成果，某地疫情防控指挥部根据当地疫情防控工作部署，安排甲部门名职工和乙部门名职工到该地的三个高速路口担任疫情防控志愿者．
    若从这名职工中随机选出人作为组长，求这两人来自同一部门的概率；
    若将甲部门的名职工随机安排到三个高速路口假设每名职工被安排到各高速路口是等可能的，且每名职工的选择是相互独立的，求恰有一人被安排到第一高速路口的概率．
21. 如图，在直三棱柱中，，，为棱上一点，且．
    证明：平面平面；
    若平面将直三棱柱分成上、下两个部分，求上、下两部分的体积之比．

22. 在中，内角，，所对的边分别为，，，．
    若，，求；
    若是锐角三角形，求的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
．
故选：．
求解不等式化简，再由交集运算得答案．
本题考查集合运算，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
则对应的点位位于第一象限．
故选：．
根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．
本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
由已知利用倍角公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
则，，的大小为．
故选：．
利用对数函数、指数函数的单调性判断求解．
本题考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：对于，，与不共线，可以作为基底，
对于，，与共线，不可以作为基底，
对于，，与不共线，可以作为基底，
对于，，与不共线，可以作为基底．
故选：．
分别判断四个选项中的两个向量是否共线得答案．
本题考查向量共线的坐标运算，考查平面内两向量构成基底的条件，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：设圆锥的母线和底面圆的半径分别为，，根据侧面展开图是一个面积为的半圆，
可得：，解得：，
进而可得圆锥的高，
所以体积为：．
故选：．
根据圆锥侧面展开图的面积以及弧长与圆锥底面以及母线长之间的关系，可求母线和底面圆半径的大小，进而根据勾股定理求高，根据体积公式即可求解．
本题考查了圆锥体积的计算，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：是方程的一个复数根，
由一元二次函数在复平面中的复数根互为共轭复数可知，该方程的另一个解为．
故选：．
根据已知条件，结合一元二次函数在复平面中的复数根互为共轭复数，即可求解．
本题主要考查一元二次函数在复平面中的复数根互为共轭复数，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：在中，由，，得，由正弦定理得，
所以，，所以．
故选：．
由正弦定理，可求，进而可求结论．
本题考查正弦定理，考查数学建模的核心素养，属基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：．在上单调递减，
B.是偶函数，
故选CD．
利用奇偶性可排除，利用单调性可排除，利用函数性质可解．
本题考查函数的性质，考查逻辑推理的核心素养，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，“选取的人都是男生”与“名女生都被选中”不能同时发生，故，为互斥事件，故A正确．
对于，“选取的人中至少有名女生”包含“选取的人中有名女生，名男生”，
“选取的人中至少有名男生”包含“选取的人中有名女生，名男生”，
故，可同时发生，故，不为互斥事件，故B错误．
对于，“选取的人中恰有名男生”即为“选取的人中名男生，名女生”，
“选取的人中恰有名女生”即为“选取的人中名女生，名男生”，
，不能同时发生，故，为互斥事件，故C正确．
对于，“选取的人中至多有名女生”即为“选取的人中均为男生或名男生，名女生”，
故“选取的人中至多有名女生”与“选取的人中恰有名男生”不能同时发生，
故，为互斥事件，故D正确．
故选：．
根据互斥事件的定义逐项判断后可得正确的选项．
本题主要考查互斥事件，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：设，，
由，
可得，，
，，共线，，，共线，
，，
故，，
即，．
故选：．
利用平面向量的基本定理，平面向量的线性运算得到，，再利用三点共线的性质，列出方程组求解即可．
本题考查平面向量的基本定理，平面向量的线性运算，三点共线的应用，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，的中点，的中点，的中点．

，直四棱柱的棱长均为，
为等边三角形，，．
又四棱柱为直四棱柱，
平面，．
，侧面．
，，，
动点的轨迹是扇形的弧，
，，根据弧长公式可得故A正确，B错误；
由题意知是直线与平面所成的角，
则，故C错误，D正确．
故选：．
取的中点，的中点，的中点，的中点，推导出，，从而侧面，进而动点的轨迹是扇形的弧，根据弧长公式能求出；推导出是直线与平面所成的角，由此能求出直线与平面所成角的正切值的最大值．
本题考查命题真假的判断，考查线面垂直的判定与性质、线面角的正切值、点的运动轨迹等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：将个成绩从小到大排序，，，，，，，，，
因为，所以这份试卷成绩的第百分位数为．
故答案为：．
将个成绩从小到大排序，再结合百分位数的定义，即可求解．
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
 

14.【答案】，，，，，，，，答案不唯一，写出其中一个即可 

【解析】解：在等边中，，，分别为，，的中点，

因为，
所以与向量垂直的向量有：
，，，，，，，，写出其中一个即可．
故答案为：，，，，，，，，答案不唯一，写出其中一个即可．
利用向量垂直的性质直接求解．
本题考查向量的运算，考查逻辑推理的核心素养，考查运算求解能力，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：从甲罐、乙罐中分别随机抽取个小球，基本事件总数，
事件包含的基本事件有，，，，共个．
所以事件发生的概率为．
故答案为：．
先求出甲罐、乙罐中分别随机抽取个小球的基本事件总数，再求出事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求解即可
本题主要考查事件的关系和运算，属于基础题．．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
由余弦定理易得，
又，
，
平分角，
，
由，得，即，得，当且仅当时，等号成立，
故面积的最小值为．
故答案为：．
根据已知条件，结合正弦定理，以及余弦定理，先求出，再结合，以及基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查正弦定理，以及余弦定理的应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：复数，
若是纯虚数，
则，解得，
所以当时，复数为纯虚数．
由，化简可得，
解得或，
当时，，不符合题意，
当时，，则． 

【解析】先对化简，再结合纯虚数的定义，即可求解．
根据已知条件，结合复数的几何意义，以及共轭复数的的定义，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

18.【答案】解：因为，所以，解得．
所以，即．
因为，所以，即，所以，反向．
当，共线时，，解得或．
当时，，同向，不符合题意；
当时，，反向，且，符合题意．
综上，的值为． 

【解析】由，求出，从而，由此能求出结果．
由，得，反向，再由，共线，解得或当时，，同向，当时，，反向，且，由此能求出的值．
本题考查向量的运算，考查向量垂直、向量共线、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

19.【答案】解：由题意有，解得，
本次初赛成绩的平均数为．
因为，所以决赛成绩的最低分为分位数．
前四个矩形的面积之和为，
前五个矩形的面积之和为．
设分位数为，则，解得．
因此，若计划决赛人数为，估计参加决赛的最低分数线为． 

【解析】由频率分布直方图的性质列方程，求出，由此能求出本次初赛成绩的平均数．
由，得决赛成绩的最低分为分位数，利用频率分布直方图能估计参加决赛的最低分数线．
本题考查频率、平均数、最低分数线、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

20.【答案】解：这两人来自同一部门的概率为；
由题意可知甲部门每名职工被安排到每个高速路口的概率为，
则恰有一人被安排到第一高速路口的概率为． 

【解析】根据古典概型公式计算即可；
根据相互独立事件概率乘法公式求解．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
 

21.【答案】解：证明：如图，取上的点，使得，
再取上的点，使得，
则，且，
又，且，
，且，
四边形为平行四边形，
，
又，，
，
，又，
在中由余弦定理可得：
，
，
，又易知平面平面，
且平面平面，平面，
平面，又，
平面，又平面，
平面平面；
，，，
，
，
，
，
平面将直三棱柱分成上、下两个部分的体积之比为：． 

【解析】取上的点，使得，再取上的点，使得，再证明，接着证明平面，从而平面，再由面面垂直的判定定理即可证明；
将四棱锥的体积转为三棱柱的体积的倍，从而得所求上、下两部分的体积之比．
本题考查面面垂直的判定定理，锥体体积与柱体体积的相互转化，属中档题．
 

22.【答案】解：因为，所以，即．
由正弦定理可得，即，
则，化简得，即．
因为，，所以，，，
则．
因为，所以．
由可知，因为是锐角三角形，
所以，即，解得，，
因为，所以的取值范围为． 

【解析】由余弦定理可得结合正弦定理可得，进而可得，可得可求角，，进而由正弦定理可求；
由锐角三角形可得，可求的取值范围．
本题考查正余弦定理，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，属中档题．