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【暑假分层作业】第03练 勾股定理及逆定理-2022年八年级数学（人教版）（答案及解析）
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这是一份【暑假分层作业】第03练 勾股定理及逆定理-2022年八年级数学（人教版）（答案及解析），共27页。试卷主要包含了勾股定理，注意等内容，欢迎下载使用。
知识点一：勾股定理
1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．
数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，
较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达
哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。
2.注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个
条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。
（2）在应用勾股定理时要注意它的变式：
（3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。
（4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。
2.勾股定理的验证
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中，所以．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中，所以．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以．
知识点二：勾股定理的应用
勾股定理的作用
已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
用于解决带有平方关系的证明问题；
3．与勾股定理有关的面积计算；
4．勾股定理在实际生活中的应用．
知识点三：勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理与其逆定理的区别与联系：
区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。
联系：（1）两者都与三角形三边关系有关；（2）两者都与直角三角形有关。
2. 勾股数
满足关系的三个正整数称为勾股数。
常见的勾股数有：（1）3，4,5；（2）6,8,10；（3）9，12,15；（4）5,12,13；（5）8,15,17；（6）7,24,25；
一、单选题
1．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．，，C．1，，2D．，，8
【答案】C
【解析】
【分析】
利用勾股定理的逆定理，判定选项中的值能否组成直角三角形即可．
【详解】
解：∵，
故A选项中不能组成直角三角形，错误；
∵，
故B选项中不能组成直角三角形，错误；
∵，
故C选项中能组成直角三角形，正确；
∵，
故D选项中不能组成直角三角形，错误．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是勾股定理的逆定理，掌握定理的内容是解题的关键．
2．如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用HL证明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解．
【详解】
解：∵AB⊥x轴，
∴∠ACO=∠BCO=90°，
∵OA=OB，OC=OC，
∴△ACO≌△BCO(HL)，
∴AC=BC=AB=3，
∵OA=5，
∴OC=4，
∴点A的坐标是（4，3），
故选：D．
【点睛】
本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
3．如图，一棵大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶着地点A距树底B的距离为，则这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10B．17C．18D．20
【答案】C
【解析】
【分析】
根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出结论．
【详解】
解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC=5m，AB=12m，
∴，
∴这棵树原来的高度为：BC+AC=5+13=18（m），
即：这棵大树在折断前的高度为18m，故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，熟知直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解答此题的关键．
4．如图，在中，，分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于、两点，过、两点的直线交于点，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由作图可得MN是AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得AE=EB，设，然后根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】
由题意得，MN垂直平分AB，
，
设，
，
，
，
，
，
，
解得，
故选：A．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的作图和性质，以及勾股定理，熟练掌握这些知识是解题的关键．
5．如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．50.5寸B．52寸C．101寸D．104寸
【答案】C
【解析】
【分析】
取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．
【详解】
解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，
∴AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
6．如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到2ab的值，然后根据即可求得（a＋b）的值；根据小正方形的面积为即可求得，进而联立方程组求得a与b的值，则可求出答案．
【详解】
解：∵大正方形的面积是13，设边长为c，
∴，
∴，
∵直角三角形的面积是，
又∵直角三角形的面积是，
∴，
∴，
∴．
∵小正方形的面积为，
又∵，
∴，
联立可得 ，解得 ，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理以及完全平方公式的知识，解题关键是熟记完全平方公式，还要注意图形的面积和a、b之间的关系．
二、填空题
7．一个无盖的圆柱形杯子的展开图如图所示，现将一根长18cm的吸管放在杯子中，则吸管露在杯子外面的部分至少有 __cm．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．
【详解】
解：由题意可得：
杯子内的筷子长度为：=15，
则筷子露在杯子外面的筷子长度为：18﹣15＝3（cm）．
故答案为：3．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=7，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和是______．
【答案】49
【解析】
【分析】
小正方形的面积为AC的平方，大正方形的面积为BC的平方．两正方形面积的和为AC2+BC2，对于Rt△ABC，由勾股定理得AB2=AC2+BC2．AB长度已知，故可以求出两正方形面积的和．
【详解】
解：正方形ADEC的面积为：AC2，
正方形BCFG的面积为：BC2；
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=7，
则AC2+BC2=49．
即正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为49．
故答案为：49．
【点睛】
本题考查了勾股定理．关键是根据由勾股定理得AB2=AC2+BC2．注意勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
9．如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是__．
【答案】a2+b2＝c2
【解析】
【分析】
用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而列出等式，发现边与边之间的关系．
【详解】
解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为 ab，ab和 c2．
还有一个直角梯形，其面积为 （a+b）（a+b）．
由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
故答案为：a2+b2＝c2．
【点睛】
此题考查的知识点是勾股定理的证明，主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．
10．如图，CD是△ABC的中线，将△ACD沿CD折叠至，连接交CD于点E，交CB于点F，点F是的中点．若的面积为12，，则点F到AC的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】
过点F作FH⊥AC于点H，由翻折的性质可知S△AA'D=24，由D为AB的中点，则S△AA'B=2S△AA'D=48，得AA'=12，再通过AAS证明△A'BF≌△ECF，得CE=A'B=8，在Rt△CAE中，由勾股定理求出AC的长，最后通过面积法即可求出FH的长．
【详解】
解：如图，过点F作FH⊥AC于点H，
根据翻折的性质得：AD=A'D，AA'⊥CD，AE=A'E，
∵CD是△ABC的中线，
∴CD=BD，
∴AD=BD=A'D，
∴∠AA'B=90°，
又∵S△A'DE=12，
∴S△ADE=12，
∴S△ADA'=24，
又∵D为AB的中点，
∴S△AA'B=2S△AA'D=48，
即×AA′×A′B＝48，
∴AA'=12，
又∵F为A'E的中点，
∴A'F=EF，
在△A'BF与△ECF中，，
∴△A'BF≌△ECF（AAS），
∴CE=A'B=8，
∵AA'=2A'E，A'E=2EF=6，
∴EF=3，AF=9，
在Rt△CAE中，由勾股定理得：
CA==10，
在△CAF中，
CA•HF=AF•CE，
∴HF==，
即点F到AC的距离为，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用等积法求垂线段的长是解题的关键．
11．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，AB＝，BC＝1，则BD的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，以AB为直角边，在AB左侧作等腰直角三角形ABE，连接CE，证明△EAC≌△BAD（SAS），得到CE=BD，勾股定理求出CE可得答案．
【详解】
解：如图，以AB为直角边，在AB左侧作等腰直角三角形ABE，连接CE，
∴AB=AE，∠BAE=90°，∠ABE=45°，
∴AE= AB＝，，
∵∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴AC=AD，
∴∠CAD=∠BAE=90°，
∴∠BAD=∠EAC，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴CE=BD，
∵∠CBE=∠CBA+∠ABE=90°，BC=1，
∴,
故答案为：．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理及正确作出等腰直角三角形ABE是解题的关键．
12．如图，中，，点D在AC上，点E在BC上，连接DE并延长交AB的延长线于点F，过点F作DF的垂线交AE的延长线于点G，当时，若，则________．
【答案】3
【解析】
【分析】
过点F作FHBC交AG于点H，利用三角形的外角的性质和证明∠DAE＝∠CED，进一步证得∠DAE＝∠BEF，再证明△ADE≌△FHE（ASA），得到EH＝DE＝2，AE＝EF，同时证得∠FHG＝∠GFH，GH＝GF，设GF＝GH＝x，则EG＝x＋2，EF＝AE＝AG－GH－EH＝9－x－2＝7－x，由勾股定理得 ，列出方程解方程即可得到GF的长．
【详解】
解：过点F作FHBC交AG于点H，
∵∠CDE是△ADE的一个外角，
∴ ∠CDE＝∠DAE＋∠AED，
∵∠CEA＝∠CED＋∠AED，，
∴∠DAE＋∠AED＝∠CED＋∠AED，
∴∠DAE＝∠CED，
∵∠CED＝∠BEF，
∴∠DAE＝∠BEF，
∵FHBC，
∴ ∠BEF＝∠EFH，∠FHG＝∠BEH＝∠AEC＝90°－∠DAE，
∴∠DAE＝∠EFH，
∵在中，，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵∠CBA是△BEF的一个外角，
∴∠BFE＝∠CBA－∠BEF＝45°－∠BEF＝45°－∠DAE，
∵∠BAE＝∠CAB－∠DAE＝45°－∠DAE，
∴∠BFE＝∠BAE，
∴△AEF是等腰三角形，
∴AE＝FE，
在△ADE和△FHE中，
，
∴△ADE≌△FHE（ASA）
∴EH＝DE＝2，AE＝EF，
∵DF⊥EF，
∴∠DFE＝90°，
∴∠GFH＝90°－∠EFH＝90°－∠DAE，
∴∠FHG＝∠GFH，
∴△FGH是等腰三角形，
∴GH＝GF，
设GF＝GH＝x，则EG＝x＋2，EF＝AE＝AG－GH－EH＝9－x－2＝7－x，
由勾股定理得 ，
∴，
解得，，
∵AE＝7－x，
∴0＜x＜7，
∴不合题意，舍去，
∴x＝3，
∴GF＝3．
故答案为：3
【点睛】
此题考查了三角形外角的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，过点F作FHBC是解题的关键．
三、解答题
13．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，利用勾股定理求出BD的长度，再求出CD的长度，再用勾股定理求出AC的长度，即可求出所需时间．
【详解】
解：由题意，得：AD＝60km，
Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得602+BD2＝1002，
∴BD＝80km，
∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km），
∴，
∴75÷25＝3（h），
∴从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是求出AC的长度．
14．湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得BC＝30米，AC＝40米．
(1)求两棵景观树之间的距离；
(2)求点B到直线AC的距离．
【答案】(1)米
(2)米
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据面积相等即可求出点B到直线AC的距离．
(1)
在Rt△ABC，（米），
∴两棵景观树之间的距离为米；
(2)
过点B作BD⊥AC于点D，
∵，
∴，
∴BD＝（米），
∴点B到直线AC的距离为米．
【点睛】
本题考查勾股定理的实际应用，解题关键是熟练应用勾股定理．
15．已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2．求整式B．
联想：由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图，填写下表中B的值；
【答案】A＝（n2+1）2，B＝n2+1，15，17；12，37．
【解析】
【分析】
先根据整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可解答．
【详解】
解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，
∵A＝B2，B＞0，
∴B＝n2+1，
当2n＝8时，n＝4，n2﹣1＝42﹣1＝15，n2+1＝42+1＝17；
当n2﹣1＝35时，n＝±6（负值舍去），2n＝2×6＝12，n2+1＝37．
故答案为：15，17；12，37．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，勾股数，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
(1)若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
(2)若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值．
【答案】(1)t＝
(2)t＝或12
【解析】
【分析】
（1）连接PB，根据勾股定理得到即可得到结论．
（2）过P作PE⊥AB，根据角平分线的性质和勾股定理，列方程进行解答即可．
(1)
解：连接PB，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC＝＝8（cm），
∵CP2+BC2＝PB2，
∵PA＝PB＝2tcm，
∴（8﹣2t）2+62＝（2t）2，
∴t＝．
(2)
当点P在∠BAC的平分线上时，过点P作PE⊥AB于点E，如图所示：
∵∠C=90°，
∴，
∵AP平分∠BAC，
∴，
此时BP＝（14﹣2t）cm，PE＝PC＝（2t﹣8）cm，BE＝10﹣8＝2（cm），
在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，
即：（2t﹣8）2+22＝（14﹣2t）2，
解得：t＝，
当t＝12时，点P与A重合，也符合条件，
∴当t＝或12时，点P恰好在∠BAC的平分线上．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，难度适中．利用分类讨论的思想是解（2）题的关键．
1．如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③PD＝PE；④BD＋CE＝BC；⑤，其中正确的个数是（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
①利用角平分线的性质与三角形内角和等于进行求解；
②利用三角形三条角平分线交于一点进行判断；
③过点作于，于，利用证明，则；
④过点作于，易证，，结合可证；
⑤利用“直角三角形中所对的边是斜边的一半”可得，再由勾股定理得，同理，，故，结合可得．
【详解】
解：①，
．
平分，平分，
，，
，
，①正确；
②三角形的三条角平分线交于一点，
平分，②正确；
③过点作于，于，
，，
，
又，
，
，
即．
平分，，，
．
在与中，
，
，
，③正确；
④过点作于，
平分，
，
在与中，
，
，
同理，，
，，
，
即．
，
，
，④正确；
⑤平分，
，
在中，，
，
同理，，
，
又，
，⑤正确．
综上，正确的结论有个．
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理的应用，含角的直角三角形的三边关系，解决本题的关键是熟练掌握相关性质定理，并作出正确的辅助线．
2．如图所示，AB＝4，AC＝2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD＝PD，则PB长的取值范围为 ____．
【答案】4-2【解析】
【分析】
利用三角形三边关系得到2＜BC＜6，由等腰直角三角形的性质得到BD=BC，有＜BD＜3．再推出AD的取值范围为4-【详解】
解：由三角形的性质：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可知，
若三角形的三边分别为a，b，c，则有：a+b＞c，a-b＜c，
因此在△ABC中由AB=4，AC=2，
则2＜BC＜6，
∵△BCD是以BC为底边向上构造的等腰直角三角形，
∴BD=BC，
∴有＜BD＜3．
又已知AB=4，
在△ABD中，根据三角形的性质：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可知，
AD的取值范围为4-又AD=PD，
∴AP的取值范围为8-2又已知AB=4，
在△ABP中，PB的取值范围为4-2故选：4-2【点睛】
本题考查了三角形三边的关系，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
3．如图，AB＝AC＝3，ADBC，CD＝5，∠ABD＝2∠DBC，则BD＝________．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，延长BA至F，使AF=AB，过点F作FE⊥BD于点E，连接AE，由直角三角形的性质得出AE=DE=3，证明△FAD≌△CAD（SAS），由全等三角形的性质得出DF=CD=5，根据勾股定理求出EF及BE的长，则可得出答案．
【详解】
解：如图，延长BA至F，使AF=AB，过点F作FE⊥BD于点E，连接AE，
设∠DBC=α，
∵FE⊥BD，
∴∠FEB=90°，
又∵AB=AF=3，
∴AB=AE=AF=3，
∴∠ABE=∠AEB=2α，
又∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=α，
∴∠EAD=∠BEA-∠BDA=α，
∴AE=DE=3，
∵AD∥BC，
∴∠FAD=∠ABC=∠ABD+∠DBC=3α，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠CAD=3α，
∴∠FAD=∠CAD，
∵AD=AD，AF=AC，
∴△FAD≌△CAD（SAS），
∴DF=CD=5，
∴EF2=DF2-DE2=52-32=16，
在Rt△BEF中，BE===，
∴BD=BE+DE=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
4．△ABC中，，，点D、点E分别在射线BA、直线AC上，AF垂直平分DE，交直线BE于点F，连接DF，当点D在BA延长线上，点E在AC边上时，如图①，易证：．
(1)当点D在AB边上，点E在CA延长线上时，如图②；当点D在BA延长线上，点E在AC延长线上时，如图③，请直接写出线段CD，DF，BF之间的数量关系，并对图②给予证明；
(2)在（1）条件下，若，，则______，______．
【答案】(1)图②：；图③：；见解析
(2)，
【解析】
【分析】
（1）根据题意证，即可求解；
（2）根据图③，由可得、，再求证三角形全等即可通过勾股定理求解；
(1)
解：图②：；图③：；
图②证明：∵AF垂直平分DE，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
由图③，
在和中
∴
∵AF垂直平分DE
∴
即
(2)
如图③
∵AF垂直平分DE
∴
∴
∴
在和中
∵
∴
∵FG⊥DE
∴
∵AE⊥BD
∴
在和中
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的性质，三角形的全等，勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
8
勾股数组Ⅱ
35
直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
15
8
17
勾股数组Ⅱ
35
12
37
知识点一：勾股定理
1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．
数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，
较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达
哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。
2.注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个
条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。
（2）在应用勾股定理时要注意它的变式：
（3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。
（4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。
2.勾股定理的验证
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中，所以．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中，所以．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以．
知识点二：勾股定理的应用
勾股定理的作用
已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
用于解决带有平方关系的证明问题；
3．与勾股定理有关的面积计算；
4．勾股定理在实际生活中的应用．
知识点三：勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理与其逆定理的区别与联系：
区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。
联系：（1）两者都与三角形三边关系有关；（2）两者都与直角三角形有关。
2. 勾股数
满足关系的三个正整数称为勾股数。
常见的勾股数有：（1）3，4,5；（2）6,8,10；（3）9，12,15；（4）5,12,13；（5）8,15,17；（6）7,24,25；
一、单选题
1．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．，，C．1，，2D．，，8
【答案】C
【解析】
【分析】
利用勾股定理的逆定理，判定选项中的值能否组成直角三角形即可．
【详解】
解：∵，
故A选项中不能组成直角三角形，错误；
∵，
故B选项中不能组成直角三角形，错误；
∵，
故C选项中能组成直角三角形，正确；
∵，
故D选项中不能组成直角三角形，错误．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是勾股定理的逆定理，掌握定理的内容是解题的关键．
2．如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用HL证明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解．
【详解】
解：∵AB⊥x轴，
∴∠ACO=∠BCO=90°，
∵OA=OB，OC=OC，
∴△ACO≌△BCO(HL)，
∴AC=BC=AB=3，
∵OA=5，
∴OC=4，
∴点A的坐标是（4，3），
故选：D．
【点睛】
本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
3．如图，一棵大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶着地点A距树底B的距离为，则这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10B．17C．18D．20
【答案】C
【解析】
【分析】
根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出结论．
【详解】
解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC=5m，AB=12m，
∴，
∴这棵树原来的高度为：BC+AC=5+13=18（m），
即：这棵大树在折断前的高度为18m，故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，熟知直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解答此题的关键．
4．如图，在中，，分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于、两点，过、两点的直线交于点，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由作图可得MN是AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得AE=EB，设，然后根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】
由题意得，MN垂直平分AB，
，
设，
，
，
，
，
，
，
解得，
故选：A．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的作图和性质，以及勾股定理，熟练掌握这些知识是解题的关键．
5．如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．50.5寸B．52寸C．101寸D．104寸
【答案】C
【解析】
【分析】
取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．
【详解】
解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，
∴AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
6．如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到2ab的值，然后根据即可求得（a＋b）的值；根据小正方形的面积为即可求得，进而联立方程组求得a与b的值，则可求出答案．
【详解】
解：∵大正方形的面积是13，设边长为c，
∴，
∴，
∵直角三角形的面积是，
又∵直角三角形的面积是，
∴，
∴，
∴．
∵小正方形的面积为，
又∵，
∴，
联立可得 ，解得 ，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理以及完全平方公式的知识，解题关键是熟记完全平方公式，还要注意图形的面积和a、b之间的关系．
二、填空题
7．一个无盖的圆柱形杯子的展开图如图所示，现将一根长18cm的吸管放在杯子中，则吸管露在杯子外面的部分至少有 __cm．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．
【详解】
解：由题意可得：
杯子内的筷子长度为：=15，
则筷子露在杯子外面的筷子长度为：18﹣15＝3（cm）．
故答案为：3．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=7，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和是______．
【答案】49
【解析】
【分析】
小正方形的面积为AC的平方，大正方形的面积为BC的平方．两正方形面积的和为AC2+BC2，对于Rt△ABC，由勾股定理得AB2=AC2+BC2．AB长度已知，故可以求出两正方形面积的和．
【详解】
解：正方形ADEC的面积为：AC2，
正方形BCFG的面积为：BC2；
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=7，
则AC2+BC2=49．
即正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为49．
故答案为：49．
【点睛】
本题考查了勾股定理．关键是根据由勾股定理得AB2=AC2+BC2．注意勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
9．如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是__．
【答案】a2+b2＝c2
【解析】
【分析】
用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而列出等式，发现边与边之间的关系．
【详解】
解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为 ab，ab和 c2．
还有一个直角梯形，其面积为 （a+b）（a+b）．
由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
故答案为：a2+b2＝c2．
【点睛】
此题考查的知识点是勾股定理的证明，主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．
10．如图，CD是△ABC的中线，将△ACD沿CD折叠至，连接交CD于点E，交CB于点F，点F是的中点．若的面积为12，，则点F到AC的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】
过点F作FH⊥AC于点H，由翻折的性质可知S△AA'D=24，由D为AB的中点，则S△AA'B=2S△AA'D=48，得AA'=12，再通过AAS证明△A'BF≌△ECF，得CE=A'B=8，在Rt△CAE中，由勾股定理求出AC的长，最后通过面积法即可求出FH的长．
【详解】
解：如图，过点F作FH⊥AC于点H，
根据翻折的性质得：AD=A'D，AA'⊥CD，AE=A'E，
∵CD是△ABC的中线，
∴CD=BD，
∴AD=BD=A'D，
∴∠AA'B=90°，
又∵S△A'DE=12，
∴S△ADE=12，
∴S△ADA'=24，
又∵D为AB的中点，
∴S△AA'B=2S△AA'D=48，
即×AA′×A′B＝48，
∴AA'=12，
又∵F为A'E的中点，
∴A'F=EF，
在△A'BF与△ECF中，，
∴△A'BF≌△ECF（AAS），
∴CE=A'B=8，
∵AA'=2A'E，A'E=2EF=6，
∴EF=3，AF=9，
在Rt△CAE中，由勾股定理得：
CA==10，
在△CAF中，
CA•HF=AF•CE，
∴HF==，
即点F到AC的距离为，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用等积法求垂线段的长是解题的关键．
11．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，AB＝，BC＝1，则BD的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，以AB为直角边，在AB左侧作等腰直角三角形ABE，连接CE，证明△EAC≌△BAD（SAS），得到CE=BD，勾股定理求出CE可得答案．
【详解】
解：如图，以AB为直角边，在AB左侧作等腰直角三角形ABE，连接CE，
∴AB=AE，∠BAE=90°，∠ABE=45°，
∴AE= AB＝，，
∵∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴AC=AD，
∴∠CAD=∠BAE=90°，
∴∠BAD=∠EAC，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴CE=BD，
∵∠CBE=∠CBA+∠ABE=90°，BC=1，
∴,
故答案为：．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理及正确作出等腰直角三角形ABE是解题的关键．
12．如图，中，，点D在AC上，点E在BC上，连接DE并延长交AB的延长线于点F，过点F作DF的垂线交AE的延长线于点G，当时，若，则________．
【答案】3
【解析】
【分析】
过点F作FHBC交AG于点H，利用三角形的外角的性质和证明∠DAE＝∠CED，进一步证得∠DAE＝∠BEF，再证明△ADE≌△FHE（ASA），得到EH＝DE＝2，AE＝EF，同时证得∠FHG＝∠GFH，GH＝GF，设GF＝GH＝x，则EG＝x＋2，EF＝AE＝AG－GH－EH＝9－x－2＝7－x，由勾股定理得 ，列出方程解方程即可得到GF的长．
【详解】
解：过点F作FHBC交AG于点H，
∵∠CDE是△ADE的一个外角，
∴ ∠CDE＝∠DAE＋∠AED，
∵∠CEA＝∠CED＋∠AED，，
∴∠DAE＋∠AED＝∠CED＋∠AED，
∴∠DAE＝∠CED，
∵∠CED＝∠BEF，
∴∠DAE＝∠BEF，
∵FHBC，
∴ ∠BEF＝∠EFH，∠FHG＝∠BEH＝∠AEC＝90°－∠DAE，
∴∠DAE＝∠EFH，
∵在中，，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵∠CBA是△BEF的一个外角，
∴∠BFE＝∠CBA－∠BEF＝45°－∠BEF＝45°－∠DAE，
∵∠BAE＝∠CAB－∠DAE＝45°－∠DAE，
∴∠BFE＝∠BAE，
∴△AEF是等腰三角形，
∴AE＝FE，
在△ADE和△FHE中，
，
∴△ADE≌△FHE（ASA）
∴EH＝DE＝2，AE＝EF，
∵DF⊥EF，
∴∠DFE＝90°，
∴∠GFH＝90°－∠EFH＝90°－∠DAE，
∴∠FHG＝∠GFH，
∴△FGH是等腰三角形，
∴GH＝GF，
设GF＝GH＝x，则EG＝x＋2，EF＝AE＝AG－GH－EH＝9－x－2＝7－x，
由勾股定理得 ，
∴，
解得，，
∵AE＝7－x，
∴0＜x＜7，
∴不合题意，舍去，
∴x＝3，
∴GF＝3．
故答案为：3
【点睛】
此题考查了三角形外角的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，过点F作FHBC是解题的关键．
三、解答题
13．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，利用勾股定理求出BD的长度，再求出CD的长度，再用勾股定理求出AC的长度，即可求出所需时间．
【详解】
解：由题意，得：AD＝60km，
Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得602+BD2＝1002，
∴BD＝80km，
∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km），
∴，
∴75÷25＝3（h），
∴从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是求出AC的长度．
14．湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得BC＝30米，AC＝40米．
(1)求两棵景观树之间的距离；
(2)求点B到直线AC的距离．
【答案】(1)米
(2)米
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据面积相等即可求出点B到直线AC的距离．
(1)
在Rt△ABC，（米），
∴两棵景观树之间的距离为米；
(2)
过点B作BD⊥AC于点D，
∵，
∴，
∴BD＝（米），
∴点B到直线AC的距离为米．
【点睛】
本题考查勾股定理的实际应用，解题关键是熟练应用勾股定理．
15．已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2．求整式B．
联想：由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图，填写下表中B的值；
【答案】A＝（n2+1）2，B＝n2+1，15，17；12，37．
【解析】
【分析】
先根据整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可解答．
【详解】
解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，
∵A＝B2，B＞0，
∴B＝n2+1，
当2n＝8时，n＝4，n2﹣1＝42﹣1＝15，n2+1＝42+1＝17；
当n2﹣1＝35时，n＝±6（负值舍去），2n＝2×6＝12，n2+1＝37．
故答案为：15，17；12，37．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，勾股数，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
(1)若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
(2)若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值．
【答案】(1)t＝
(2)t＝或12
【解析】
【分析】
（1）连接PB，根据勾股定理得到即可得到结论．
（2）过P作PE⊥AB，根据角平分线的性质和勾股定理，列方程进行解答即可．
(1)
解：连接PB，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC＝＝8（cm），
∵CP2+BC2＝PB2，
∵PA＝PB＝2tcm，
∴（8﹣2t）2+62＝（2t）2，
∴t＝．
(2)
当点P在∠BAC的平分线上时，过点P作PE⊥AB于点E，如图所示：
∵∠C=90°，
∴，
∵AP平分∠BAC，
∴，
此时BP＝（14﹣2t）cm，PE＝PC＝（2t﹣8）cm，BE＝10﹣8＝2（cm），
在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，
即：（2t﹣8）2+22＝（14﹣2t）2，
解得：t＝，
当t＝12时，点P与A重合，也符合条件，
∴当t＝或12时，点P恰好在∠BAC的平分线上．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，难度适中．利用分类讨论的思想是解（2）题的关键．
1．如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③PD＝PE；④BD＋CE＝BC；⑤，其中正确的个数是（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
①利用角平分线的性质与三角形内角和等于进行求解；
②利用三角形三条角平分线交于一点进行判断；
③过点作于，于，利用证明，则；
④过点作于，易证，，结合可证；
⑤利用“直角三角形中所对的边是斜边的一半”可得，再由勾股定理得，同理，，故，结合可得．
【详解】
解：①，
．
平分，平分，
，，
，
，①正确；
②三角形的三条角平分线交于一点，
平分，②正确；
③过点作于，于，
，，
，
又，
，
，
即．
平分，，，
．
在与中，
，
，
，③正确；
④过点作于，
平分，
，
在与中，
，
，
同理，，
，，
，
即．
，
，
，④正确；
⑤平分，
，
在中，，
，
同理，，
，
又，
，⑤正确．
综上，正确的结论有个．
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理的应用，含角的直角三角形的三边关系，解决本题的关键是熟练掌握相关性质定理，并作出正确的辅助线．
2．如图所示，AB＝4，AC＝2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD＝PD，则PB长的取值范围为 ____．
【答案】4-2
【分析】
利用三角形三边关系得到2＜BC＜6，由等腰直角三角形的性质得到BD=BC，有＜BD＜3．再推出AD的取值范围为4-
解：由三角形的性质：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可知，
若三角形的三边分别为a，b，c，则有：a+b＞c，a-b＜c，
因此在△ABC中由AB=4，AC=2，
则2＜BC＜6，
∵△BCD是以BC为底边向上构造的等腰直角三角形，
∴BD=BC，
∴有＜BD＜3．
又已知AB=4，
在△ABD中，根据三角形的性质：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可知，
AD的取值范围为4-
∴AP的取值范围为8-2
在△ABP中，PB的取值范围为4-2
本题考查了三角形三边的关系，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
3．如图，AB＝AC＝3，ADBC，CD＝5，∠ABD＝2∠DBC，则BD＝________．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，延长BA至F，使AF=AB，过点F作FE⊥BD于点E，连接AE，由直角三角形的性质得出AE=DE=3，证明△FAD≌△CAD（SAS），由全等三角形的性质得出DF=CD=5，根据勾股定理求出EF及BE的长，则可得出答案．
【详解】
解：如图，延长BA至F，使AF=AB，过点F作FE⊥BD于点E，连接AE，
设∠DBC=α，
∵FE⊥BD，
∴∠FEB=90°，
又∵AB=AF=3，
∴AB=AE=AF=3，
∴∠ABE=∠AEB=2α，
又∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=α，
∴∠EAD=∠BEA-∠BDA=α，
∴AE=DE=3，
∵AD∥BC，
∴∠FAD=∠ABC=∠ABD+∠DBC=3α，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠CAD=3α，
∴∠FAD=∠CAD，
∵AD=AD，AF=AC，
∴△FAD≌△CAD（SAS），
∴DF=CD=5，
∴EF2=DF2-DE2=52-32=16，
在Rt△BEF中，BE===，
∴BD=BE+DE=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
4．△ABC中，，，点D、点E分别在射线BA、直线AC上，AF垂直平分DE，交直线BE于点F，连接DF，当点D在BA延长线上，点E在AC边上时，如图①，易证：．
(1)当点D在AB边上，点E在CA延长线上时，如图②；当点D在BA延长线上，点E在AC延长线上时，如图③，请直接写出线段CD，DF，BF之间的数量关系，并对图②给予证明；
(2)在（1）条件下，若，，则______，______．
【答案】(1)图②：；图③：；见解析
(2)，
【解析】
【分析】
（1）根据题意证，即可求解；
（2）根据图③，由可得、，再求证三角形全等即可通过勾股定理求解；
(1)
解：图②：；图③：；
图②证明：∵AF垂直平分DE，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
由图③，
在和中
∴
∵AF垂直平分DE
∴
即
(2)
如图③
∵AF垂直平分DE
∴
∴
∴
在和中
∵
∴
∵FG⊥DE
∴
∵AE⊥BD
∴
在和中
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的性质，三角形的全等，勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
8
勾股数组Ⅱ
35
直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
15
8
17
勾股数组Ⅱ
35
12
37
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