【暑假分层作业】第01练 二次根式的性质与意义-2022年八年级数学（人教版）（答案及解析）

第01练 二次根式的性质与意义

知识点1 二次根式的概念

二次根式的概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．

注意：①“”称为二次根号；

②a（a≥0）是一个非负数．

知识点2 二次根式有意义的条件

二次根式有意义的条件

判断二次根式有意义的条件：

（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．

（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．

（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．

知识点3 二次根式的性质与化简

二次根式的性质与化简

（1）二次根式的基本性质：

①≥0； a≥0（双重非负性）．

②=a（a≥0）．

③=|a|=

（2）二次根式的化简：

①利用二次根式的基本性质进行化简；

②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．=• (a≥0，b≥0)，= (a≥0，b＞0)

（3）化简二次根式的步骤：

①把被开方数分解因式；

②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．

一、单选题

1．下列各式成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据二次根式的性质分别分析得出答案．

【详解】

A：，故此选项错误；

B：，故此选项正确；

C：，故此选项错误；

D：，故此选项错误；

故选：B．

【点睛】

本题考查了算术平方根，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．

2．已知，则xy＝（     ）

A．3 B．－6 C．±6 D．±3

【答案】B

【解析】

【分析】

利用二次根式的被开方数具有非负性求出x的值后，再求出y的值，即可求解．

【详解】

解：∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件以及性质，解题关键是求出x的值与y的值．

3．若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（       ）

A．a≥﹣2 B．a≥2 C．a≤﹣2 D．a＞﹣2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据二次根式的被开方数是非负数列不等式求解即可．

【详解】

解：依题意，得

a+2≥0，

解得，a≥-2．

故选：A．

【点睛】

考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

4．函数中，自变量x的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二次根式、立方根、分式的性质分析，即可得到答案．

【详解】

根据题意，得

∴

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次根式、立方根、分式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解．

5．已知，当x分别取正整数1，2，3，4，5，…，2022时，所对应y值的总和是（       ）

A．2026 B．2027 C．2028 D．2029

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二次根式的性质、绝对值的性质进行化简，然后代入求值即可．

【详解】

解：由二次根式的性质可知，

=|x-3|-x+4，

当x=1时，y=5，

当x=2时，y=3，

当x≥3时，y=x-3+4-x=1，

∴当x分别取1，2，3，…，2022时，所对应的y值的总和是5+3+1×2020=2028；

故选：C．

【点睛】

本题主要考查二次根式，熟练运用二次根式的性质是解答此题的关键．

二、填空题

6．若式子有意义，则m的取值范围是___________．

【答案】m≥0且m≠4

【解析】

【分析】

直接利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得出关于m的不等式，进而得出答案．

【详解】

解：根据题意得：m≥0且4-≠0，

解得：m≥0且m≠4．

故答案为：m≥0且m≠4．

【点睛】

此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件是解题关键．

7．若代数式有意义，则x的取值范围___________．

【答案】且

【解析】

【分析】

根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，求解即可．

【详解】

解：根据二次根式有意义，分式有意义得：且，

解得：且．

故答案为：且

【点睛】

本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式有意义：被开方数是非负数，难度不大．

8．观察一列数：0，，，3，，，，…，按此规律，这列数的第22个数是______（结果需化简）．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意可知：这列数化为带根号后，被开方数的规律是0、3、6、9、12、15……，从而可判断该列数的第22个数．

【详解】

解：该列数为0，，，3，，，，…，

被开方数的规律是0、3、6、9、12、15……，

所以第n个数的被开方数为：

这列数第22个数为：   

故答案为：．

【点睛】

本题考查实数的变化规律，二次根式的化简，解题的关键是正确找出题中给出的规律，本题属于基础题型．

9．已知三角形的三边长分别为a、b、c，化简=________．

【答案】2a

【解析】

【分析】

根据三角形的三边关系可得三角形两边之和大于第三边可得a-b+c＞0，a-b-c＜0，然后再根据二次根式的性质和绝对值的意义进行化简即可．

【详解】

∵三角形的三边长分别为a、b、c，

∴a+c＞b，a+b＞c，

∴a-b+c＞0， c-a-b＜0，

∴，

故答案为：2a．

【点睛】

此题主要考查了三角形的三边关系，二次根式的性质，绝对值的意义等知识，解决问题的关键是熟练掌握三角形两边之和大于第三边．

10．已知，均为实数，，则的值为________．

【答案】8

【解析】

【分析】

直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，进而得出答案．

【详解】

解：∵，

∴，

，

，

，

故答案为：8

【点睛】

此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．

三、解答题

11．计算：．

【答案】

【解析】

【分析】

先算零指数幂，化简绝对值，负整数指数幂，再算加减法，即可求解．

【详解】

解：

【点睛】

本题考查零指数幂，化简绝对值、二次根式，负整数指数幂等知识点，属于基础题，熟练掌握基本运算法则是解题的关键．

12．若求的立方根．

【答案】±1

【解析】

【分析】

根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得出x的值，进而求出y的值，再根据立方根的定义即可求出结论．

【详解】

解：由题意得： ，

解得：x=－2，

∴，

∴y=±2．

①当x=-2，y=2时，=1，它的立方根为：1；

②当x=-2，y=-2时，=-1，它的立方根为：-1．

综上所述：的立方根为±1．

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及立方根的定义．正确确定x的值是解题的关键．

13．已知：，，利用以上结果，求下列各式的近似值．

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)．

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

【解析】

【分析】

利用已知，结合每个式子中被开方数中小数点的移动规律即可求解．

(1)

；

(2)

；

(3)

；

(4)

；

(5)

；

(6)

．

【点睛】

本题考查实数的运算，注意每题之间的联系，类比推理．

14．观察下列三个式子：

；；

请根据以上三个等式提供的信息完成下列问题：

(1)猜想：______；

(2)根据猜想写出一个用n（n表示正整数）表示的等式，并证明你的猜想是一个真命题．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）先把要求值的代数式化为与阅读部分具有相同特征的运算式，从而可得答案；

（2）根据阅读部分提供的信息，再归纳总结即可．

(1)

解：

(2)

解：；

；

；

归纳可得：

（n为正整数）

证明如下：

．

所以结论成立．

【点睛】

本题考查数字的变化规律以及二次根式的化简，分式的加减运算，发现数字的变化规律是正确解答的关键．

15．我们已知学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作一个数的平方，如等，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：

例：求的算术平方根．

解：=，所以的算术平方根是．你看明白了吗？请根据上面的方法解答下列问题：

(1)填空：=；

=；

(2)化简：++++．

【答案】(1)；；

(2)；

【解析】

【分析】

（1）利用完全平方公式的结构，对根号下的式子进行化简配凑，凑完全平方式求解；

（2）对每一项进行配凑，使之成为完全平方式的结构，然后进行化简计算．

(1)

解：；

；

(2)

解：，

，

，

，

．

．

【点睛】

本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式的应用，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．

1．若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　）

A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4

【答案】D

【解析】

【分析】

根据二次根式有意义，可得，解出关于的分式方程 的解为，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可．

【详解】

解：去分母得，，

解得，，

∵关于x的分式方程有正数解，

∴ ，

∴，

又∵是增根，当时，

，即，

∴，

∵有意义，

∴，

∴，

因此 且，

∵m为整数，

∴m可以为-4，-2，-1，0，1，2，其和为-4，

故选：D．

【点睛】

考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，解题的关键是理解正数解，整数m的意义．

2．已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________．

【答案】或或

【解析】

【分析】

先利用算数平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解．

【详解】

解：由题意得，

解得，

∵n是正整数，

∴

∴，

∴，

∴，

∵是整数，

∴或或或或，

解得或或或或，

∵n是正整数，

∴或或，

故答案为：或或

【点睛】

本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键．

3．（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：

①；②；③；④__________；…

（2）深入探究，观察下列等式：

①；②；③；…

根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：

__________．

（3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：

①；

②．

【答案】（1）10；（2）；（3）①5050；②41075

【解析】

【分析】

(1)观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和；

(2)所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可；

(3)利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解．

【详解】

解：（1）10；

（2）；

（3）①原式

；

②原式

．

【点睛】

主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律、整式的加减，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键