高考数学二轮专题训练高考大题标准练1课件

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1.已知函数f(x)=2cs 2x+sin .(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若△ABC中,满足f(A)= ,b+c=2,求边长a的取值范围.【解析】(1)f(x)=cs 2x+1+ sin 2x- cs 2x=sin +1,所以最小正周期为π.(2)由题意,知f(A)=sin +1= ,化简得sin = ,因为A∈(0,π),所以2A+ ∈ ,
所以2A+ = ,所以A= .在△ABC中,a2=b2+c2-2bccs =(b+c)2-3bc.由b+c=2,知bc≤ =1,即a2≥1,当且仅当b=c=1时取等号.又由b+c>a得a<2,所以a的取值范围是[1,2).
2.等差数列 中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且其中的任何两个数不在下表的同一列及同一行.(1)请选择一个可能的 组合,并求数列 的通项公式;(2)记(1)中您选择的 的前n项和为Sn,判断是否存在正整数k,使得a1,ak,Sk+2成等比数列,若有,请求出k的值;若没有,请说明理由.
【解析】(1)由题意可知:有两种组合满足条件:①a1=8,a2=12,a3=16,此时等差数列 ,a1=8,d=4,所以其通项公式为an=4n+4.②a1=2,a2=4,a3=6,此时等差数列 ,a1=2,d=2,所以其通项公式为an=2n.(2)若选择①,Sn=2n2+6n.则Sk+2=2 +6 =2k2+14k+20.若a1,ak,Sk+2成等比数列,则ak2=a1·Sk+2,即 =8 ,整理,得k2+2k+1=k2+7k+10,即5k=-9,此方程无正整数解,故不存在正整数k,
使a1,ak,Sk+2成等比数列.若选择②,Sn=n2+n,则Sk+2= + =k2+5k+6,若a1,ak,Sk+2成等比数列,则ak2=a1·Sk+2,即 =2 ,整理得k2-5k-6=0,因为k为正整数,所以k=6.故存在正整数k=6,使a1,ak,Sk+2成等比数列.
3.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠BAD= , AD=AB=2BC=4,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD,E为棱PD上一点,且PE= ED. (1)求证:PB∥平面EAC;(2)若二面角C-AE-D的余弦值为 ,求四棱锥P-ABCD的体积.
【解析】(1)连接BD,交AC于F,连接EF.因为AD∥BC,所以△FBC∽△FDA,所以 ,所以EF∥PB,又PB⊄平面EAC,EF⊂平面EAC,所以PB∥平面EAC,(2)取AD中点O,连接OC,OP,因为PA=PD,所以PO⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,交线为AD,
所以PO⊥平面ABCD,所以PO⊥OC,PO⊥OD,以O为原点建立如图所示坐标系,则C(4,0,0),A(0,-2,0),D(0,2,0),设P(0,0,a)(a>0),则E (4,2,0), = ,平面AED的一个法向量n1=(1,0,0),设平面CAE的法向量n2=(x,y,z),则 取n2=(-a,2a,-8),由|cs|
,解得a=2,所以VP-ABCD= ·S四边形ABCD ·OP= ×12×2=8.
4.为培养学生对传统文化的热爱,某校从理科甲班抽取60人,从文科乙班抽取50人参加传统文化知识竞赛.(1)根据题目条件完成下面2×2列联表,并据此判断是否有99%的把握认为传统文化知识竞赛成绩与学生的文理分科有关.
(2)现已知A,B,C三人获得优秀的概率分别为 , , ,设随机变量X表示A,B,C三人中获得优秀的人数,求X的分布列及期望E(X).附:K2= ,n=a+b+c+d.
【解析】(1)2×2列联表如下:由K2= 算得,K2的观测值k= ≈7.8>6.635,所以有99%的把握认为学生的传统文化知识竞赛成绩与文理分科有关.
(2)设A,B,C成绩优秀分别记为事件M,N,R,则P(M)= ,P(N)=P(R)= ,所以随机变量X的取值为0,1,2,3. P(X=0)= ,P(X=1)=PP(X=2)=PP(X=3)= P
所以随机变量X的分布列为:E(X)=0× +1× +2× +3× = .
5.设函数f(x)=x2-bx+aln x.(1)若f(x)在x=2取到极值2-6ln 2,求a,b的值,并求f(x)的单调区间;(2)若∀b∈[1,2],都∃x∈(1,e)(e为自然对数的底数),使得f(x)<0成立,求实数a的取值范围.
【解析】(1)f′(x)= 由题意 即 解得a=-6,b=1,所以f(x)=x2-x-6ln x,x>0,f′(x)=2x-1- ,x>0,由f′(x)>0⇒x>2,f′(x)<0⇒0(2)令g(b)=-xb+x2+aln x,b∈[1,2],则g(b)是关于b的一次函数且为减函数,由题意,∀b∈[1,2],都∃x∈(1,e),使得f(x)<0成立,则g(b)max=g(1)=x2-x+aln x<0在x∈(1,e)上有解,令h(x)=x2-x+aln x,只需存在x0∈(1,e),使得h(x0)<0即可,由于h′(x)=2x-1+ = , 令φ(x)=2x2-x+a,x∈(1,e),则φ(x)在(1,e)上单调递增,φ(x)>φ(1)=1+a,当a≥-1时,1+a≥0,φ(x)>0,
即h′(x)>0,h(x)在(1,e)上单调递增,所以h(x)>h(1)=0,不符合题意.当a<-1时,φ(1)=1+a<0,φ(e)=2e2-e+a,①若a≤-2e2+e<-1,则φ(e)≤0,所以在(1,e)上φ(x)≤0恒成立,即h′(x)≤0恒成立,所以h(x)在(1,e)上单调递减,所以∃x0∈(1,e),使得h(x0)②若-2e2+e0,所以在(1,e)上一定存在实数m,使得φ(m)=0,所以在(1,m)上φ(x)<0恒成立,即h′(x)<0恒成立, h(x)在(1,m)上单调递减,所以∃x0∈(1,m),使得h(x0)6.如图,对称轴为坐标轴,焦点均在y轴上的两椭圆E1,E2,离心率相同且均为 ,椭圆E1过点(-1,- )且其上顶点恰为椭圆E2的上焦点;P是椭圆E1上异于F1,F2的任意一点,直线PF1与椭圆E2交于A,B两点,直线PF2与椭圆E2交于C,D两点.(1)求椭圆E1,E2的标准方程;(2)证明:|PA|=|F1B|;(3)|AB|+|CD|是否为定值?若为定值求出该定值;否则,说明理由.
【解析】(1)焦点在y轴上,离心率为 ,设椭圆E1的方程为 =1,因为椭圆E1过点(-1,- ),解得椭圆E1的方程为: =1,椭圆E2的方程为: =1.
(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),直线PF1的斜率为k1,直线PF1的方程为y=k1x-2,联立 得,( +2)x2-4k1x-4=0,由根与系数的关系得,x1+x2= ,设点F1(x4,y4),P(x3,y3),联立 得,( +2)x2-4k1x=0,
由根与系数的关系得,x3+x4= ,即x3+x4=x1+x2,所以|AF1|=|PB|,故|AP|=|F1B|.
(3)设直线PF2的斜率为k2,所以k1·k2= · = ,又 =1,所以k1·k2= =-2,联立 得,( +2)x2-4k1x-4=0,Δ1=16 +16( +2)=32 +32,|AB|= ,