高考数学二轮专题训练高考大题标准练4课件

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1.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) 的图象如图所示. (1)求f(x)的解析式;(2)将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度,得到函数y=g(x),设h(x)=g(x)+f(x),求函数h(x)在 上的最大值.
【解析】(1)因为f(x)min=-2且A>0,所以A=2.由图象可知:最小正周期T=4× =π,所以ω= =2.又f =2sin =-2,所以 +φ=- +2kπ ,解得:φ=- +2kπ ,又 ,所以φ= ,所以f(x)=2sin .
(2)由题意得:g(x)=f =2sin =2sin 2x,所以h(x)=g(x)+f(x)=2sin +2sin 2x=2sin 2xcs +2cs 2xsin +2sin 2x=sin 2x+ cs 2x+2sin 2x=3sin 2x+ cs 2x=2 sin ,当0≤x≤ 时, ≤2x+ ≤ ,所以当2x+ = 时,h(x)取得最大值,最大值为2 .
2.若数列 满足 =p(n∈N+,p为常数),则称数列 为等方差数列,p为公方差.(1)已知数列{cn},{dn},{xn},{yn}分别满足cn=2 020,dn= ,xn=2n+1,yn=3n,从上述四个数列中找出所有的等方差数列(不用证明);(2)若数列 是首项为1,公方差为2的等方差数列,求数列 的前n项和Sn.
【解析】(1)由等方差的定义可知: =2 0202-2 0202=0是一个常数,所以 为等方差数列; =n+2-n-1=1是一个常数,所以 为等方差数列;同理{xn},{yn}不是等方差数列;所以 , 为等方差数列.(2)因为数列 是首项为1,公方差为2的等方差数列,所以 =1+2(n-1)=2n-1,所以 =2n+1-2n+1=2,所以数列 是一个等差数列,所以Sn= =n2.
3.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.过点A作四棱锥P-ABCD的截面AEFG,分别交PD,PC,PB于点E,F,G,已知PG∶PB=2∶3,E为PD的中点. (1)求证:AG∥平面PCD;(2)求AF与平面PAB所成角的正弦值.
【解析】(1)在PC上取点H,且满足PH∶PC=2∶3,连接GH,HD,则GH∥BC,且GH= BC=2,因为AD∥BC,所以AD∥GH,且AD=GH,所以四边形ADHG是平行四边形,所以AG∥HD,又因为HD⊂平面PCD,AG⊄平面PCD,所以AG∥平面PCD;(2)过点A作与DC平行的射线l,易证两两垂直,以l为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,如图,
则有P(0,0,2),B(2,-1,0),C(2,2,0),G ,E(0,1,1),设平面AEFG的法向量为n=(x,y,z),则 令z=1,解得 所以n=(-1,-1,1)是平面AEFG的一个法向量,因为点F在PC上,所以 =λ +(1-λ) =(2λ,2λ,2-2λ),因为AF⊂平面AEFG,所以 ·n=-2λ-2λ+2-2λ=0,解得λ= ,所以 = ,设平面PAB的法向量为n1= ,
则 令x1=1,解得 所以n1=(1,2,0)是平面PAB的一个法向量,cs < ,n1>= ,所以AF与平面PAB所成角的正弦值为 .
4.每年的3月12日是植树节,某公司为了动员职工积极参加植树造林,在植树节期间开展植树有奖活动,设有甲、乙两个摸奖箱,每位植树者植树每满30棵获得一次甲箱内摸奖机会,植树每满50棵获得一次乙箱内摸奖机会,每箱内各有10个球(这些球除颜色外全相同),甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球,其中a个红球,b个黄球,5个黑球,乙箱内有4个红球和6个黄球,每次摸一个球后放回原箱,摸得红球奖100元,黄球奖50元,摸得黑球则没有奖金.
(1)经统计,每人的植树棵数X服从正态分布X～N ,若其中有200位植树者参与了抽奖,请估计植树的棵数X在区间 内的中奖率及中奖的人数(结果四舍五入取整数);附:若X～N ,则P =0.682 7,P =0.954 5.(2)若a=2,某位植树者获得两次甲箱内摸奖机会,求中奖金额Y(单位:元)的分布列;
(3)某人植树100棵,有两种摸奖方法,方法一:三次甲箱内摸奖机会;方法二:两次乙箱内摸奖机会;请问:这位植树者选哪一种方法所得奖金的期望值较大.
【解析】(1)依题意得μ=35,σ2=25,得σ=5,植树的棵数X在区间 内有一次甲箱内摸奖机会,中奖率为1- =0.5,植树棵数在区间 内人数约为:200×P =200× ≈68(人),中奖的人数约为:68×0.5=34(人).
(2)若a=2,则b=3.中奖金额Y的可能取值为0,50,100,150,200.P=0.5×0.5=0.25;P =2×0.3×0.5=0.3;P =2×0.5×0.2+0.3×0.3=0.29;P =2×0.2×0.3=0.12;P =0.2×0.2=0.04;故Y的分布列为
(3)因为a+b=5,所以甲箱摸一次所得奖金的期望为E1=100× +50× =10a+5b=25+5a,方法一所得奖金的期望值为3E1=75+15a;乙箱摸一次所得奖金的期望值为E2=100×0.4+50×0.6=70,方法二所得奖金的期望值为140,因为a的值可能为1,2,3,4,所以3E1=75+15a≤135<140,所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大.
5.已知O为坐标原点,椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为 ,双曲线 -y2=1的渐近线与椭圆C的交点到原点的距离均为 .(1)求椭圆C的标准方程;(2)若点D,M,N为椭圆C上的动点,M,O,N三点共线,直线DM,DN的斜率分别为k1,k2.(ⅰ)证明:k1k2=- ;(ⅱ)若k1+k2=0,设直线DM过点 ,直线DN过点 ,证明:m2+n2为定值.
【解析】(1)设椭圆的半焦距为c,由题意知:e= = = ,所以a=2b①,因为双曲线 -y2=1的渐近线方程为y=± x,所以可设双曲线的渐近线与椭圆C在第一象限的交点为P ,所以 ,解得t2= .因为P 在椭圆上,所以 =1,即: =1②,由①②解得:a=2,b=1,所以椭圆C的标准方程为: +y2=1.
(2)由题意知:M,N关于原点对称,则可设D(x1,y1), .(ⅰ)因为点D,M在椭圆C上,所以 ,所以 ,所以k1k2= = .(ⅱ)不妨设k1>0,k2<0,因为k1k2=- ,k1+k2=0,所以k1= ,k2=- ,因为直线DM过点 ,直线DN过点 ,所以直线DM:y= x+m,DN:y=- x+n,由 得:x2+2mx+2m2-2=0,
所以x1(-x2)=x1x2=2m2-2,由 得x2-2nx+2n2-2=0,所以x1(-x2)=-x1x2=2n2-2,所以x1x2+ =2m2+2n2-4=0,即m2+n2=2,所以m2+n2为定值2.
6.已知函数f(x)= ,且曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线斜率为1.(1)求实数a的值;(2)证明:当x>0时,f(x)>1;(3)若数列 满足 =f(xn),且x1= ,证明: .
【解析】(1)f′(x)= ,f′(2)= =1,所以a=2;(2)要证f(x)>1,只需证h(x)=ex- x2-x-1>0,h′(x)=ex-x-1,h″(x)=ex-1,因为x∈(0,+∞),所以h″(x)>0,所以h′(x)=ex-x-1在(0,+∞)上单调递增,所以h′(x)=ex-x-1>h′(0)=0,所以h(x)=ex- x2-x-1在(0,+∞)上单调递增,所以h(x)=ex- x2-x-1>h(0)=0成立,所以当x>0时,f(x)>1成立.
(3)由(2)知当x>0时,f(x)>1.因为 =f(xn),所以xn+1=ln f(x),设g(xn)=ln f(xn),则xn+1=g(xn),所以xn=g(xn-1)=g(g(xn-2))=…=g((…g(x1)))>0;要证:2n| -1|<1,只需证:| -1|< ,因为x1= ,所以| -1|= -1,因为e- =e- <0,所以 < ,所以| -1|= -1< ,
故只需证:| -1|< | -1|,因为xn∈(0,+∞),故只需证: -1< - ,即证:f(xn)-1< - ,只需证:当x∈(0,+∞)时,φ(x)= ex+ x2+2x+2>0,φ′(x)= ex+x+2,φ″(x)= ex+1,因为φ‴(x)= ex>0,所以φ″(x)在区间(0,+∞)上是增函数,