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高考数学二轮专题训练高考大题标准练3课件
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这是一份高考数学二轮专题训练高考大题标准练3课件，共24页。
1.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,________,求△ABC的周长L和面积S. 在①cs A= ,cs C= ,②csin C=sin A+bsin B,B=60°,③c=2,cs A=- 这三个条件中,任选一个补充在上面问题中的横线处,并加以解答.
【解析】选①.因为cs A= ,cs C= ,且0
所以△ABC的周长L=a+b+c=4+ +5=9+ .△ABC的面积S= acsin B= ×4×5× =5 .选③,因为c=2,cs A=- ,所以由余弦定理得,16=b2+4+2×b×2× .即b2+b-12=0,解得b=3或b=-4(舍去).所以△ABC的周长L=a+b+c=4+3+2=9,因为A∈(0,π),所以sin A= ,所以△ABC的面积S= bcsin A= ×3×2× = .综上,选①△ABC的周长L为4+4 ,面积S为8;
选②△ABC的周长L为9+ ,面积S为5 ;选③△ABC的周长L为9,面积S为 .
2.在数列{an}中,a1=4,nan+1-(n+1)an=2n2+2n.(1)求证:数列 是等差数列; (2)求数列 的前n项和Sn.
【解析】(1)nan+1-(n+1)an=2n2+2n的两边同除以n(n+1),得 =2,又 =4, 所以数列 是首项为4,公差为2的等差数列.(2)由(1)得 =2n+2,所以an=2n2+2n,故 = ,所以Sn= .
3.已知长方形ABCD中,AB=1,AD= ,现将长方形沿对角线BD折起,使AC=a,得到一个四面体A-BCD,如图所示. (1)试问:在折叠的过程中,异面直线AB与CD能否垂直?若能垂直,求出相应的a的值;若不垂直,请说明理由;(2)当四面体A-BCD体积最大时,求二面角A-CD-B的余弦值.
【解析】(1)若AB⊥CD,因为AB⊥AD,AD∩CD=D,AD,CD⊂平面ACD,所以AB⊥平面ACD,因为AC⊂平面ACD,所以AB⊥AC.由于AB=1,AD=BC= ,AC=a,由于AB⊥AC,所以AB2+AC2=BC2,所以12+a2=( )2,所以a=1,所以在折叠的过程中,异面直线AB与CD可以垂直,此时a的值为1.
(2)因为△BCD的面积为定值 ,所以要使四面体A-BCD体积最大,只需A到平面BCD的距离最大即可,此时平面ABD⊥平面BCD.过A作AO⊥BD于O,则AO⊥平面BCD,以O为原点建立空间直角坐标系 (如图), 则易知
显然,平面BCD的法向量为 ,设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),因为 = , = ,所以 令y= ,得n=(1, ,2), 所以cs= ,所以二面角A-CD-B的余弦值为 .
4.小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作,该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案:底薪100元,每派送一单奖励1元;乙方案:底薪140元,每日前54单没有奖励,超过54单的部分每单奖励20元.
(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y(单位:元)与送货单数n的函数关系式;(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录,发现派送员的日平均派送单数满足以下条件:在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图,其中当某天的派送量指标在 (m=1,2,3,4,5)时,日平均派送量为50+2m单.若将频率视为概率,回答下列问题:①估计这100天中的派送量指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
②根据以上数据,设每名派送员的日薪为X(单位:元),试分别求出甲、乙两种方案的日薪X的分布列及数学期望. 请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合适?并说明你的理由.
【解析】(1)甲:y=n+100,乙:y= (2)①由题图可知,20个0.1,30个0.3,20个0.5,20个0.7,10个0.9,故平均数 =②甲:E(X)=0.2×152+0.3×154+0.2×156+0.2×158+0.1×160=155.4.
乙:E(X)=0.2×140+0.3×140+0.2×180+0.2×220+0.1×260=176,乙的期望更高,故选择乙方案.
5.已知O为坐标原点,圆M:x2+y2-2x-15=0,定点F(-1,0),点N是圆M上一动点,线段NF的垂直平分线交圆M的半径MN于点Q,点Q的轨迹为C.(1)求曲线C的方程;(2)不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线C相交于A,B两点,若直线FA,FB 的斜率之和为0,则动直线l是否一定经过一定点?若过一定点,则求出该定 点的坐标;若不过定点,请说明理由.
【解析】(1)由题意可知|MQ|+|FQ|=4,又|MF|=2<4,由椭圆的定义知动点Q的轨迹是以M,F为焦点的椭圆,故2a=4,2c=2,即所求椭圆的方程为 =1.(2)设直线l的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),联立曲线C与直线l的方程得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,x1+x2= .
由已知,直线FA,FB的斜率之和为0,即 ,则2kx1x2+(k+m)(x1+x2)+2m=0,即有: ,化简得:m=4k,所以直线l的方程为y=k(x+4),所以直线l过定点(-4,0).
6.已知函数f(x)=aln x(a≠0)与y= 的图象在它们的交点P(s,t)处具有相同的切线.(1)求f(x)的解析式;(2)若函数g(x)=(x-1)2+mf(x)有两个极值点x1,x2,且x1
(2)函数g(x)=(x-1)2+mf(x)=(x-1)2+mln x,定义域为(0,+∞),g′(x)=2(x-1)+ = ,因为x1,x2为函数g(x)的两个极值点,所以x1,x2是方程2x2-2x+m=0的两个不等实根,由根与系数的关系知x1+x2=1,x1x2= ,(*)又已知x1
1.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,________,求△ABC的周长L和面积S. 在①cs A= ,cs C= ,②csin C=sin A+bsin B,B=60°,③c=2,cs A=- 这三个条件中,任选一个补充在上面问题中的横线处,并加以解答.
【解析】选①.因为cs A= ,cs C= ,且0
所以△ABC的周长L=a+b+c=4+ +5=9+ .△ABC的面积S= acsin B= ×4×5× =5 .选③,因为c=2,cs A=- ,所以由余弦定理得,16=b2+4+2×b×2× .即b2+b-12=0,解得b=3或b=-4(舍去).所以△ABC的周长L=a+b+c=4+3+2=9,因为A∈(0,π),所以sin A= ,所以△ABC的面积S= bcsin A= ×3×2× = .综上,选①△ABC的周长L为4+4 ,面积S为8;
选②△ABC的周长L为9+ ,面积S为5 ;选③△ABC的周长L为9,面积S为 .
2.在数列{an}中,a1=4,nan+1-(n+1)an=2n2+2n.(1)求证:数列 是等差数列; (2)求数列 的前n项和Sn.
【解析】(1)nan+1-(n+1)an=2n2+2n的两边同除以n(n+1),得 =2,又 =4, 所以数列 是首项为4,公差为2的等差数列.(2)由(1)得 =2n+2,所以an=2n2+2n,故 = ,所以Sn= .
3.已知长方形ABCD中,AB=1,AD= ,现将长方形沿对角线BD折起,使AC=a,得到一个四面体A-BCD,如图所示. (1)试问:在折叠的过程中,异面直线AB与CD能否垂直?若能垂直,求出相应的a的值;若不垂直,请说明理由;(2)当四面体A-BCD体积最大时,求二面角A-CD-B的余弦值.
【解析】(1)若AB⊥CD,因为AB⊥AD,AD∩CD=D,AD,CD⊂平面ACD,所以AB⊥平面ACD,因为AC⊂平面ACD,所以AB⊥AC.由于AB=1,AD=BC= ,AC=a,由于AB⊥AC,所以AB2+AC2=BC2,所以12+a2=( )2,所以a=1,所以在折叠的过程中,异面直线AB与CD可以垂直,此时a的值为1.
(2)因为△BCD的面积为定值 ,所以要使四面体A-BCD体积最大,只需A到平面BCD的距离最大即可,此时平面ABD⊥平面BCD.过A作AO⊥BD于O,则AO⊥平面BCD,以O为原点建立空间直角坐标系 (如图), 则易知
显然,平面BCD的法向量为 ,设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),因为 = , = ,所以 令y= ,得n=(1, ,2), 所以cs
4.小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作,该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案:底薪100元,每派送一单奖励1元;乙方案:底薪140元,每日前54单没有奖励,超过54单的部分每单奖励20元.
(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y(单位:元)与送货单数n的函数关系式;(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录,发现派送员的日平均派送单数满足以下条件:在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图,其中当某天的派送量指标在 (m=1,2,3,4,5)时,日平均派送量为50+2m单.若将频率视为概率,回答下列问题:①估计这100天中的派送量指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
②根据以上数据,设每名派送员的日薪为X(单位:元),试分别求出甲、乙两种方案的日薪X的分布列及数学期望. 请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合适?并说明你的理由.
【解析】(1)甲:y=n+100,乙:y= (2)①由题图可知,20个0.1,30个0.3,20个0.5,20个0.7,10个0.9,故平均数 =②甲:E(X)=0.2×152+0.3×154+0.2×156+0.2×158+0.1×160=155.4.
乙:E(X)=0.2×140+0.3×140+0.2×180+0.2×220+0.1×260=176,乙的期望更高,故选择乙方案.
5.已知O为坐标原点,圆M:x2+y2-2x-15=0,定点F(-1,0),点N是圆M上一动点,线段NF的垂直平分线交圆M的半径MN于点Q,点Q的轨迹为C.(1)求曲线C的方程;(2)不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线C相交于A,B两点,若直线FA,FB 的斜率之和为0,则动直线l是否一定经过一定点?若过一定点,则求出该定 点的坐标;若不过定点,请说明理由.
【解析】(1)由题意可知|MQ|+|FQ|=4,又|MF|=2<4,由椭圆的定义知动点Q的轨迹是以M,F为焦点的椭圆,故2a=4,2c=2,即所求椭圆的方程为 =1.(2)设直线l的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),联立曲线C与直线l的方程得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,x1+x2= .
由已知,直线FA,FB的斜率之和为0,即 ,则2kx1x2+(k+m)(x1+x2)+2m=0,即有: ,化简得:m=4k,所以直线l的方程为y=k(x+4),所以直线l过定点(-4,0).
6.已知函数f(x)=aln x(a≠0)与y= 的图象在它们的交点P(s,t)处具有相同的切线.(1)求f(x)的解析式;(2)若函数g(x)=(x-1)2+mf(x)有两个极值点x1,x2,且x1
(2)函数g(x)=(x-1)2+mf(x)=(x-1)2+mln x,定义域为(0,+∞),g′(x)=2(x-1)+ = ,因为x1,x2为函数g(x)的两个极值点,所以x1,x2是方程2x2-2x+m=0的两个不等实根,由根与系数的关系知x1+x2=1,x1x2= ,(*)又已知x1
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