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河南省商丘市柘城县2021-2022学年八年级下学期期末质量检测数学试题(word版含答案)
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这是一份河南省商丘市柘城县2021-2022学年八年级下学期期末质量检测数学试题(word版含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河南省商丘市柘城县2021-2022学年八年级下学期期末质量检测数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）若式子有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x＞4 B．x＜4 C．x≥4 D．x≤4
2．（3分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
183
183
182
182
方差
5.7
3.5
6.7
8.6
要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．（3分）在二次根式：、、、中，与是同类二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）某组数据的方差的计算公式是，则该组数据的总和为（ ）
A．4 B．36 C．13 D．9
5．（3分）一组数据6，8，x、y，14的平均数为12，且y﹣x＝4，则这组数据的中位数为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
6．（3分）已知直线y＝kx+b经过点（10，﹣1），则方程kx+b＝﹣1的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝10 D．x＝﹣10
7．（3分）如图，在▱ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件是（ ）
A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝24，BC＝7．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
9．（3分）已知一次函数y＝ax+5和y＝bx+3，假设a＞0且b＜0，则这两个一次函数的图象的交点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝4，EC＝8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG，FC，现在有如下4个结论：
①∠EAG＝45°；②FG＝FC；③FC∥AG；④S△GFC＝14．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知函数y＝7x﹣m+5是正比例函数，则m＝ ．
12．（3分）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算*如下：，如，那么3*（﹣5）＝ ．
13．（3分）已知点P在直线y＝x﹣3上，且点P到x轴的距离为2，则点P坐标为 ．
14．（3分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ABD＝50°，则∠E＝ ．
15．（3分）如图，将直线y＝﹣x沿y轴向下平移后的直线恰好经过点A（2，﹣4），且与y轴交于点B，在x轴上存在一点P使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为 ．
三、解答题（本大题共75分）
16．（8分）计算：
（1）；
（2）．
17．（9分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AC＝6，BD＝5，求AE的长．
18．（9分）已知第一象限点P（x，y）在直线y＝﹣x+5上，点A的坐标为（4，0），设△AOP的面积为S．
（1）当点P的横坐标为2时，求△AOP的面积；
（2）当S＝4时，求点P的坐标；
（3）求S关于x的函数解析式，写出x的取值范围，并在图中画出函数S的图象．
19．（9分）育才中学开展了“孝敬父母，从家务事做起”活动，活动后期随机调查了八年级部分学生一周在家做家务的时间，并将结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图
请你根据统计图提供的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生总数为 人，被调查学生做家务时间的中位数是 小时，众数是 小时；
（2）请你补全条形统计图；
（3）若全校八年级共有学生1500人，估计八年级一周做家务的时间为4小时的学生有多少人？
20．（9分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．
（1）求证：AP＝BQ；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．
21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝13，AC⊥AB，点E，F分别是BC、AD上的点，且BE＝DF
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形时，请求出AE的长度；
（3）若四边形AECF是矩形时，请直接写出BE的长度．
22．（10分）为了贯彻落实市委政府提出的“精准扶贫”精神，某校特制定了一系列帮扶A、B两贫困村的计划，现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如表：
车型
目的地
A村（元/辆）
B村（元/辆）
大货车
800
900
小货车
400
600
（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？
（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式．
（3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．
23．（11分）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．
（1）AE＝ ，EF＝
（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．
（3）在（2）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．
河南省商丘市柘城县2021-2022学年八年级下学期期末质量检测数学试题
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）若式子有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x＞4 B．x＜4 C．x≥4 D．x≤4
【分析】二次根式中的被开方数是非负数．依据二次根式有意义的条件，即可得到x的取值范围．
【解答】解：∵式子有意义，
∴x﹣4＞0，
解得x＞4，
即x的取值范围为x＞4，
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
2．（3分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
183
183
182
182
方差
5.7
3.5
6.7
8.6
要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：由表格知，乙的方差最小，
所以乙运动员发挥最稳定，
故选：B．
【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
3．（3分）在二次根式：、、、中，与是同类二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】先把每个选项中的二次根式化成最简二次根式，再进行选择即可．
【解答】解：A、＝2，与被开方数不相同，故不是同类二次根式；
B、＝2与 被开方数不相同，故不是同类二次根式；
C、＝4与 被开方数相同，故是同类二次根式；
D、＝2与 被开方数相同，故是同类二次根式．
∴与是同类二次根式的有2个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
4．（3分）某组数据的方差的计算公式是，则该组数据的总和为（ ）
A．4 B．36 C．13 D．9
【分析】方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，其中n是这个样本的容量，是样本的平均数．利用此公式直接求解．
【解答】解：由S2＝×[（x1﹣4）2+（x2﹣4）2+…+（x9﹣4）2]知共有9个数据，这9个数据的平均数为4，
则该组数据的总和为：9×4＝36，
故选：B．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式及公式中的字母所表示的意义．
5．（3分）一组数据6，8，x、y，14的平均数为12，且y﹣x＝4，则这组数据的中位数为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】先由平均数为12，求出x+y，再根据y﹣x＝4求出x，y，再确定这一组数据的中位数．
【解答】解：依题意有：（6+8+x+y+14）÷5＝12，
解得x+y＝32，
联立，
解得，
将该组数据按从小到大的顺序排列为6，8，14，14，18，中间的一个数是14，这组数据的中位数为14．
故选：B．
【点评】本题考查了算术平均数、中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
6．（3分）已知直线y＝kx+b经过点（10，﹣1），则方程kx+b＝﹣1的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝10 D．x＝﹣10
【分析】根据直线y＝kx+b经过点（10，﹣1），即可确定方程的解．
【解答】解：∵直线y＝kx+b经过点（10，﹣1），
∴当x＝10时，kx+b＝﹣1，
∴方程kx+b＝﹣1的解为x＝10，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．
7．（3分）如图，在▱ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件是（ ）
A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
【分析】由平行四边形的性质可知：OA＝OC，OB＝OD，再证明OM＝ON即可证明四边形AMCN是平行四边形，由对角线互相垂直的平行四边形可得到菱形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴MN⊥AC，
∴四边形AMCN是菱形．
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝24，BC＝7．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】根据勾股定理求出AC，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，根据平行线的性质、角平分线的定义得到∠EFC＝∠FCE，进而得到EF＝EC，计算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝24，BC＝7，
则AC＝＝＝25，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC＝×7＝3.5，EC＝AC＝×25＝12.5，
∴∠EFC＝∠FCM，
∵CF平分∠ACM，
∴∠FCE＝∠FCM，
∴∠EFC＝∠FCE，
∴EF＝EC＝12.5，
∴DF＝DE+EF＝16，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
9．（3分）已知一次函数y＝ax+5和y＝bx+3，假设a＞0且b＜0，则这两个一次函数的图象的交点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据k的符号来确定一次函数y＝kx+b的图象所经过的象限，然后根据a、b的情况即可求得交点的位置．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+5中a＞0，
∴一次函数y＝ax+5的图象经过第一、二、三象限．
又∵一次函数y＝bx+3中b＜0，
∴一次函数y＝bx+3的图象经过第一、二、四象限．
∵3＜5，
∴这两个一次函数的图象的交点在第二象限，
故选：B．
【点评】本题主要考查两直线相交问题．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝4，EC＝8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG，FC，现在有如下4个结论：
①∠EAG＝45°；②FG＝FC；③FC∥AG；④S△GFC＝14．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①正确．证明∠GAF＝∠GAD，∠EAB＝∠EAF即可．
②错误．可以证明DG＝GC＝FG，显然△GFC不是等边三角形，可得结论．
③正确．证明CF⊥DF，AG⊥DF即可．
④错误．证明FG：EG＝3：5，求出△ECG的面积即可．
【解答】解：如图，连接DF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝∠ECG＝90°，
由翻折可知：AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°，BE＝EF＝4，∠BAE＝∠EAF，
∵∠AFG＝∠ADG＝90°，AG＝AG，AD＝AF，
∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），
∴DG＝FG，∠GAF＝∠GAD，设GD＝GF＝x，
∴∠EAG＝∠EAF+∠GAF＝（∠BAF+∠DAF）＝45°，故①正确，
在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2+CG2，
∴（4+x）2＝82+（12﹣x）2，
∴x＝6，
∵CD＝BC＝BE+EC＝12，
∴DG＝CG＝6，
∴FG＝GC，
易知△GFC不是等边三角形，显然FG≠FC，故②错误，
∵GF＝GD＝GC，
∴∠DFC＝90°，
∴CF⊥DF，
∵AD＝AF，GD＝GF，
∴AG⊥DF，
∴CF∥AG，故③正确，
∵S△ECG＝×6×8＝24，FG：FE＝6：4＝3：2，
∴FG：EG＝3：5，
∴S△GFC＝×24＝，故④错误，
故选：B．
【点评】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知函数y＝7x﹣m+5是正比例函数，则m＝ 5 ．
【分析】一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数．依据正比例函数的定义可知，﹣m+5＝0，进而得到m的值．
【解答】解：由题可得，﹣m+5＝0，
解得m＝5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数和常数项的要求．
12．（3分）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算*如下：，如，那么3*（﹣5）＝ ﹣ ．
【分析】根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：3*（﹣5）＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题考查了二次根式的化简求值，弄清题中的新定义是解本题的关键．
13．（3分）已知点P在直线y＝x﹣3上，且点P到x轴的距离为2，则点P坐标为 （5，2）或（1，﹣2） ．
【分析】让纵坐标等于2或﹣2可得到相对应的x的值可得所求坐标．
【解答】解：设P点的坐标为（x，y）．
∵点P到x轴的距离是2，
∴|y|＝2，
∴y＝±2，
当y＝2时，x＝5，
当y＝﹣2时，x＝1，
∴点P的坐标为（5，2）或（1，﹣2）．
故答案为：（5，2）或（1，﹣2）．
【点评】考查一次函数图象上点的坐标特征．得到该点的纵坐标的可能的值是解决本题的关键；用到的知识点为：点到x轴的距离为该点的纵坐标的绝对值．
14．（3分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ABD＝50°，则∠E＝ 20° ．
【分析】连接AC，由矩形性质可得AD∥BE，AC＝BD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠BAC，又可得2∠E＝∠DAC，便可得∠E度数．
【解答】解：连接AC交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90°，
∴∠E＝∠DAE，OA＝OB，∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝90°﹣∠ABD，
∴∠ABD＝∠BAC＝50°，
又∵BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，
∴∠CAD＝2∠E＝90°﹣50°＝40°，
∴∠E＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题关键．
15．（3分）如图，将直线y＝﹣x沿y轴向下平移后的直线恰好经过点A（2，﹣4），且与y轴交于点B，在x轴上存在一点P使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为 （，0） ．
【分析】先作点B关于x轴对称的点B'，连接AB'，交x轴于P，则点P即为所求，根据待定系数法求得平移后的直线为y＝﹣x﹣2，进而得到点B的坐标以及点B'的坐标，再根据待定系数法求得直线AB'的解析式，即可得到点P的坐标．
【解答】解：如图所示，作点B关于x轴对称的点B'，连接AB'，交x轴于P，则点P即为所求，
设直线y＝﹣x沿y轴向下平移后的直线解析式为y＝﹣x+a，
把A（2，﹣4）代入可得，a＝﹣2，
∴平移后的直线为y＝﹣x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，即B（0，﹣2）
∴B'（0，2），
设直线AB'的解析式为y＝kx+b，
把A（2，﹣4），B'（0，2）代入可得，
，解得，
∴直线AB'的解析式为y＝﹣3x+2，
令y＝0，则x＝，
∴P（，0），
故答案为：（，0）．
【点评】本题属于最短路线问题，主要考查了一次函数图象与几何变换的运用，解决问题的关键是掌握：在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
三、解答题（本大题共75分）
16．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先进行二次根式的乘法运算，再进行加减运算即可；
（2）利用积的乘方的法则进行运算，同时算绝对值，零指数幂，最后算加减即可．
【解答】解：（1）
＝
＝3﹣2
＝1；
（2）
＝[（）×（）]2022﹣
＝
＝1﹣﹣1
＝．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17．（9分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AC＝6，BD＝5，求AE的长．
【分析】（1）连接CE，由线段垂直平分线的性质可求得BE＝CE，再结合BE2﹣EA2＝AC2可求得EA2+AC2＝CE2，可证得结论；
（2）由D是BC的中点可求得BC＝10，在Rt△AEC中，利用勾股定理结合已知条件可得到关于AE的方程，可求得AE．
【解答】（1）证明：连接CE，如图，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴CE＝BE，
∵BE2﹣EA2＝AC2，
∴CE2﹣EA2＝AC2，
∴EA2+AC2＝CE2，
∴△ACE是直角三角形，即∠A＝90°；
（2）解：∵D是BC的中点，BD＝5，
∴BC＝2BD＝10，
∵∠A＝90°，AC＝6，
∴AB＝＝＝8，
在Rt△AEC中，EA2+AC2＝CE2，
∵CE＝BE，
∴62+AE2＝（8﹣AE）2，
解得：AE＝，
∴AE的长为．
【点评】本题主要考查勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用．
18．（9分）已知第一象限点P（x，y）在直线y＝﹣x+5上，点A的坐标为（4，0），设△AOP的面积为S．
（1）当点P的横坐标为2时，求△AOP的面积；
（2）当S＝4时，求点P的坐标；
（3）求S关于x的函数解析式，写出x的取值范围，并在图中画出函数S的图象．
【分析】（1）求出点P坐标，再根据三角形面积公式进行计算即可；
（2）当S＝4时求出点P的纵坐标，进而确定其横坐标；
（3）根据三角形的面积计算方法以及一次函数关系式得出答案．
【解答】解：（1）把点P的横坐标为2代入得，y＝﹣2+5＝3，
∴点P（2，3），
∴S△AOP＝×4×3＝6；
（2）当S＝4时，即×4×|y|＝4，
∴y＝2或y＝﹣2（舍去），
当y＝2时，即2＝﹣x+5，
解得x＝3，
∴点P（3，2），
∴点P的坐标为（3，2）；
（3）由题意得，
S＝OA•|y|＝2y（y＞0），
当y＞0时，即0＜x＜5时，S＝2（﹣x+5）＝﹣2x+10，
∴S关于x的函数解析式为S＝﹣2x+10（0＜x＜5），画出的图象如图所示．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，将坐标转化为线段的长，利用三角形的面积公式得出关系式是解决问题的关键．
19．（9分）育才中学开展了“孝敬父母，从家务事做起”活动，活动后期随机调查了八年级部分学生一周在家做家务的时间，并将结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图
请你根据统计图提供的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生总数为 50 人，被调查学生做家务时间的中位数是 4 小时，众数是 5 小时；
（2）请你补全条形统计图；
（3）若全校八年级共有学生1500人，估计八年级一周做家务的时间为4小时的学生有多少人？
【分析】（1）根据统计图可知，做家务达3小时的共10人，占总人数的20%，由此可得出总人数；求出做家务时间4小时与6小时男生的人数，再根据中位数与众数的定义即可得出结论；根据所求结果补全条形统计图即可；
（2）求出做家务时间为4、6小时的人数；
（3）求出总人数与做家务时间为4小时的学生人数的百分比的积即可．
【解答】解：（1）∵做家务达3小时的共10人，占总人数的20%，
∴＝50（人）．
∵做家务4小时的人数是32%，
∴50×32%＝16（人），
∴男生人数＝16﹣8＝8（人）；
∴做家务6小时的人数＝50﹣6﹣4﹣8﹣8﹣8﹣12﹣3＝1（人），
∴做家务3小时的是10人，4小时的是16人，5小时的是20人，6小时的是4人，
∴中位数是4小时，众数是5小时．
故答案为：50，4，5；
（2）补全图形如图所示．
（3）∵做家务4小时的人数是32%，
∴1500×32%＝480（人）．
答：八年级一周做家务时间为4小时的学生大约有480人
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（9分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．
（1）求证：AP＝BQ；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．
【分析】（1）根据正方形的性质得出AD＝BA，∠BAQ＝∠ADP，再根据已知条件得到∠AQB＝∠DPA，判定△AQB≌△DPA并得出结论；（2）根据AQ﹣AP＝PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD
∴AD＝BA，∠BAD＝90°，即∠BAQ+∠DAP＝90°
∵DP⊥AQ
∴∠ADP+∠DAP＝90°
∴∠BAQ＝∠ADP
∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P
∴∠AQB＝∠DPA＝90°
∴△AQB≌△DPA（AAS）
∴AP＝BQ
（2）①AQ﹣AP＝PQ
②AQ﹣BQ＝PQ
③DP﹣AP＝PQ
④DP﹣BQ＝PQ
【点评】本题主要考查了正方形以及全等三角形，解决问题的关键是掌握：正方形的四条边相等，四个角都是直角．解题时需要运用：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，以及全等三角形的对应边相等．
21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝13，AC⊥AB，点E，F分别是BC、AD上的点，且BE＝DF
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形时，请求出AE的长度；
（3）若四边形AECF是矩形时，请直接写出BE的长度．
【分析】（1）由平行四边形的判定可得结论；
（2）先证AE＝BE，由直角三角形的性质可求解；
（3）由勾股定理可求AC的长，由面积法可求AE的长，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵四边形AECF是菱形，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∴∠B+∠ECA＝90°，∠BAE+∠EAC＝90°，
∴∠B＝∠BAE，
∴AE＝BE，
∴AE＝BE＝CE＝BC＝；
（3）解：∵AC⊥AB，
∴，
∵四边形AECF是矩形，
∴AE⊥BC，
∴，
∴．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
22．（10分）为了贯彻落实市委政府提出的“精准扶贫”精神，某校特制定了一系列帮扶A、B两贫困村的计划，现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如表：
车型
目的地
A村（元/辆）
B村（元/辆）
大货车
800
900
小货车
400
600
（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？
（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式．
（3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．
【分析】（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据大、小两种货车共15辆，运输152箱鱼苗，列方程组求解；
（2）设前往A村的大货车为x辆，则前往B村的大货车为（8﹣x）辆，前往A村的小货车为（10﹣x）辆，前往B村的小货车为[7﹣（10﹣x）]辆，根据表格所给运费，求出y与x的函数关系式；
（3）结合已知条件，求x的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案．
【解答】解：（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得：
，
解得：．
∴大货车用8辆，小货车用7辆．
（2）y＝800x+900（8﹣x）+400（10﹣x）+600[7﹣（10﹣x）]＝100x+9400．（3≤x≤8，且x为整数）．
（3）由题意得：12x+8（10﹣x）≥100，
解得：x≥5，
又∵3≤x≤8，
∴5≤x≤8且为整数，
∵y＝100x+9400，
k＝100＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝5时，y最小，
最小值为y＝100×5+9400＝9900（元）．
答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；3辆大货车、2辆小货车前往B村．最少运费为9900元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用．关键是根据题意，得出安排各地的大、小货车数与前往B村的大货车数x的关系．
23．（11分）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．
（1）AE＝ t ，EF＝ 5﹣2t或2t﹣5
（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．
（3）在（2）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．
【分析】（1）由勾股定理求出AC＝5，由题意得出AE＝CF＝t，即可得出EF＝5﹣2t或2t﹣5，
（2）由“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来判定；
（3）由“对角线相等的平行四边形是矩形”判定四边形EGFH为矩形时t的取值．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC＝＝＝5，
由题意得：AE＝CF＝t，
∴EF相遇前为：EF＝AC﹣AE﹣CF＝5﹣2t；
EF相遇后为：EF＝AE+CF﹣AC＝2t﹣5；
故答案为：t，5﹣2t或2t﹣5；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴AC＝＝＝5，∠GAF＝∠HCE，
∵G、H分别是AB、DC的中点，
∴AG＝BG，CH＝DH，
∴AG＝CH，
∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
在△AFG与△CEH中，，
∴△AFG≌△CEH（SAS），
∴GF＝HE，
同理：GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形．
（3）解：如图所示，连接GH，
由（2）可知四边形EGFH是平行四边形
∵点G、H分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点，
∴GH＝BC＝4，
∴当EF＝GH＝4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：
①AE＝CF＝t，EF＝5﹣2t＝4，
解得：t＝0.5．
②AE＝CF＝t，EF＝5﹣2（5﹣t）＝4，
解得：t＝4.5
即：当t为0.5秒或4.5时，四边形EGFH为矩形
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
河南省商丘市柘城县2021-2022学年八年级下学期期末质量检测数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）若式子有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x＞4 B．x＜4 C．x≥4 D．x≤4
2．（3分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
183
183
182
182
方差
5.7
3.5
6.7
8.6
要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．（3分）在二次根式：、、、中，与是同类二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）某组数据的方差的计算公式是，则该组数据的总和为（ ）
A．4 B．36 C．13 D．9
5．（3分）一组数据6，8，x、y，14的平均数为12，且y﹣x＝4，则这组数据的中位数为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
6．（3分）已知直线y＝kx+b经过点（10，﹣1），则方程kx+b＝﹣1的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝10 D．x＝﹣10
7．（3分）如图，在▱ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件是（ ）
A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝24，BC＝7．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
9．（3分）已知一次函数y＝ax+5和y＝bx+3，假设a＞0且b＜0，则这两个一次函数的图象的交点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝4，EC＝8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG，FC，现在有如下4个结论：
①∠EAG＝45°；②FG＝FC；③FC∥AG；④S△GFC＝14．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知函数y＝7x﹣m+5是正比例函数，则m＝ ．
12．（3分）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算*如下：，如，那么3*（﹣5）＝ ．
13．（3分）已知点P在直线y＝x﹣3上，且点P到x轴的距离为2，则点P坐标为 ．
14．（3分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ABD＝50°，则∠E＝ ．
15．（3分）如图，将直线y＝﹣x沿y轴向下平移后的直线恰好经过点A（2，﹣4），且与y轴交于点B，在x轴上存在一点P使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为 ．
三、解答题（本大题共75分）
16．（8分）计算：
（1）；
（2）．
17．（9分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AC＝6，BD＝5，求AE的长．
18．（9分）已知第一象限点P（x，y）在直线y＝﹣x+5上，点A的坐标为（4，0），设△AOP的面积为S．
（1）当点P的横坐标为2时，求△AOP的面积；
（2）当S＝4时，求点P的坐标；
（3）求S关于x的函数解析式，写出x的取值范围，并在图中画出函数S的图象．
19．（9分）育才中学开展了“孝敬父母，从家务事做起”活动，活动后期随机调查了八年级部分学生一周在家做家务的时间，并将结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图
请你根据统计图提供的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生总数为 人，被调查学生做家务时间的中位数是 小时，众数是 小时；
（2）请你补全条形统计图；
（3）若全校八年级共有学生1500人，估计八年级一周做家务的时间为4小时的学生有多少人？
20．（9分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．
（1）求证：AP＝BQ；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．
21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝13，AC⊥AB，点E，F分别是BC、AD上的点，且BE＝DF
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形时，请求出AE的长度；
（3）若四边形AECF是矩形时，请直接写出BE的长度．
22．（10分）为了贯彻落实市委政府提出的“精准扶贫”精神，某校特制定了一系列帮扶A、B两贫困村的计划，现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如表：
车型
目的地
A村（元/辆）
B村（元/辆）
大货车
800
900
小货车
400
600
（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？
（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式．
（3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．
23．（11分）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．
（1）AE＝ ，EF＝
（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．
（3）在（2）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．
河南省商丘市柘城县2021-2022学年八年级下学期期末质量检测数学试题
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）若式子有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x＞4 B．x＜4 C．x≥4 D．x≤4
【分析】二次根式中的被开方数是非负数．依据二次根式有意义的条件，即可得到x的取值范围．
【解答】解：∵式子有意义，
∴x﹣4＞0，
解得x＞4，
即x的取值范围为x＞4，
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
2．（3分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
183
183
182
182
方差
5.7
3.5
6.7
8.6
要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：由表格知，乙的方差最小，
所以乙运动员发挥最稳定，
故选：B．
【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
3．（3分）在二次根式：、、、中，与是同类二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】先把每个选项中的二次根式化成最简二次根式，再进行选择即可．
【解答】解：A、＝2，与被开方数不相同，故不是同类二次根式；
B、＝2与 被开方数不相同，故不是同类二次根式；
C、＝4与 被开方数相同，故是同类二次根式；
D、＝2与 被开方数相同，故是同类二次根式．
∴与是同类二次根式的有2个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
4．（3分）某组数据的方差的计算公式是，则该组数据的总和为（ ）
A．4 B．36 C．13 D．9
【分析】方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，其中n是这个样本的容量，是样本的平均数．利用此公式直接求解．
【解答】解：由S2＝×[（x1﹣4）2+（x2﹣4）2+…+（x9﹣4）2]知共有9个数据，这9个数据的平均数为4，
则该组数据的总和为：9×4＝36，
故选：B．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式及公式中的字母所表示的意义．
5．（3分）一组数据6，8，x、y，14的平均数为12，且y﹣x＝4，则这组数据的中位数为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】先由平均数为12，求出x+y，再根据y﹣x＝4求出x，y，再确定这一组数据的中位数．
【解答】解：依题意有：（6+8+x+y+14）÷5＝12，
解得x+y＝32，
联立，
解得，
将该组数据按从小到大的顺序排列为6，8，14，14，18，中间的一个数是14，这组数据的中位数为14．
故选：B．
【点评】本题考查了算术平均数、中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
6．（3分）已知直线y＝kx+b经过点（10，﹣1），则方程kx+b＝﹣1的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝10 D．x＝﹣10
【分析】根据直线y＝kx+b经过点（10，﹣1），即可确定方程的解．
【解答】解：∵直线y＝kx+b经过点（10，﹣1），
∴当x＝10时，kx+b＝﹣1，
∴方程kx+b＝﹣1的解为x＝10，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．
7．（3分）如图，在▱ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件是（ ）
A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
【分析】由平行四边形的性质可知：OA＝OC，OB＝OD，再证明OM＝ON即可证明四边形AMCN是平行四边形，由对角线互相垂直的平行四边形可得到菱形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴MN⊥AC，
∴四边形AMCN是菱形．
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝24，BC＝7．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】根据勾股定理求出AC，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，根据平行线的性质、角平分线的定义得到∠EFC＝∠FCE，进而得到EF＝EC，计算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝24，BC＝7，
则AC＝＝＝25，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC＝×7＝3.5，EC＝AC＝×25＝12.5，
∴∠EFC＝∠FCM，
∵CF平分∠ACM，
∴∠FCE＝∠FCM，
∴∠EFC＝∠FCE，
∴EF＝EC＝12.5，
∴DF＝DE+EF＝16，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
9．（3分）已知一次函数y＝ax+5和y＝bx+3，假设a＞0且b＜0，则这两个一次函数的图象的交点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据k的符号来确定一次函数y＝kx+b的图象所经过的象限，然后根据a、b的情况即可求得交点的位置．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+5中a＞0，
∴一次函数y＝ax+5的图象经过第一、二、三象限．
又∵一次函数y＝bx+3中b＜0，
∴一次函数y＝bx+3的图象经过第一、二、四象限．
∵3＜5，
∴这两个一次函数的图象的交点在第二象限，
故选：B．
【点评】本题主要考查两直线相交问题．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝4，EC＝8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG，FC，现在有如下4个结论：
①∠EAG＝45°；②FG＝FC；③FC∥AG；④S△GFC＝14．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①正确．证明∠GAF＝∠GAD，∠EAB＝∠EAF即可．
②错误．可以证明DG＝GC＝FG，显然△GFC不是等边三角形，可得结论．
③正确．证明CF⊥DF，AG⊥DF即可．
④错误．证明FG：EG＝3：5，求出△ECG的面积即可．
【解答】解：如图，连接DF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝∠ECG＝90°，
由翻折可知：AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°，BE＝EF＝4，∠BAE＝∠EAF，
∵∠AFG＝∠ADG＝90°，AG＝AG，AD＝AF，
∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），
∴DG＝FG，∠GAF＝∠GAD，设GD＝GF＝x，
∴∠EAG＝∠EAF+∠GAF＝（∠BAF+∠DAF）＝45°，故①正确，
在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2+CG2，
∴（4+x）2＝82+（12﹣x）2，
∴x＝6，
∵CD＝BC＝BE+EC＝12，
∴DG＝CG＝6，
∴FG＝GC，
易知△GFC不是等边三角形，显然FG≠FC，故②错误，
∵GF＝GD＝GC，
∴∠DFC＝90°，
∴CF⊥DF，
∵AD＝AF，GD＝GF，
∴AG⊥DF，
∴CF∥AG，故③正确，
∵S△ECG＝×6×8＝24，FG：FE＝6：4＝3：2，
∴FG：EG＝3：5，
∴S△GFC＝×24＝，故④错误，
故选：B．
【点评】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知函数y＝7x﹣m+5是正比例函数，则m＝ 5 ．
【分析】一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数．依据正比例函数的定义可知，﹣m+5＝0，进而得到m的值．
【解答】解：由题可得，﹣m+5＝0，
解得m＝5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数和常数项的要求．
12．（3分）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算*如下：，如，那么3*（﹣5）＝ ﹣ ．
【分析】根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：3*（﹣5）＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题考查了二次根式的化简求值，弄清题中的新定义是解本题的关键．
13．（3分）已知点P在直线y＝x﹣3上，且点P到x轴的距离为2，则点P坐标为 （5，2）或（1，﹣2） ．
【分析】让纵坐标等于2或﹣2可得到相对应的x的值可得所求坐标．
【解答】解：设P点的坐标为（x，y）．
∵点P到x轴的距离是2，
∴|y|＝2，
∴y＝±2，
当y＝2时，x＝5，
当y＝﹣2时，x＝1，
∴点P的坐标为（5，2）或（1，﹣2）．
故答案为：（5，2）或（1，﹣2）．
【点评】考查一次函数图象上点的坐标特征．得到该点的纵坐标的可能的值是解决本题的关键；用到的知识点为：点到x轴的距离为该点的纵坐标的绝对值．
14．（3分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ABD＝50°，则∠E＝ 20° ．
【分析】连接AC，由矩形性质可得AD∥BE，AC＝BD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠BAC，又可得2∠E＝∠DAC，便可得∠E度数．
【解答】解：连接AC交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90°，
∴∠E＝∠DAE，OA＝OB，∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝90°﹣∠ABD，
∴∠ABD＝∠BAC＝50°，
又∵BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，
∴∠CAD＝2∠E＝90°﹣50°＝40°，
∴∠E＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题关键．
15．（3分）如图，将直线y＝﹣x沿y轴向下平移后的直线恰好经过点A（2，﹣4），且与y轴交于点B，在x轴上存在一点P使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为 （，0） ．
【分析】先作点B关于x轴对称的点B'，连接AB'，交x轴于P，则点P即为所求，根据待定系数法求得平移后的直线为y＝﹣x﹣2，进而得到点B的坐标以及点B'的坐标，再根据待定系数法求得直线AB'的解析式，即可得到点P的坐标．
【解答】解：如图所示，作点B关于x轴对称的点B'，连接AB'，交x轴于P，则点P即为所求，
设直线y＝﹣x沿y轴向下平移后的直线解析式为y＝﹣x+a，
把A（2，﹣4）代入可得，a＝﹣2，
∴平移后的直线为y＝﹣x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，即B（0，﹣2）
∴B'（0，2），
设直线AB'的解析式为y＝kx+b，
把A（2，﹣4），B'（0，2）代入可得，
，解得，
∴直线AB'的解析式为y＝﹣3x+2，
令y＝0，则x＝，
∴P（，0），
故答案为：（，0）．
【点评】本题属于最短路线问题，主要考查了一次函数图象与几何变换的运用，解决问题的关键是掌握：在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
三、解答题（本大题共75分）
16．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先进行二次根式的乘法运算，再进行加减运算即可；
（2）利用积的乘方的法则进行运算，同时算绝对值，零指数幂，最后算加减即可．
【解答】解：（1）
＝
＝3﹣2
＝1；
（2）
＝[（）×（）]2022﹣
＝
＝1﹣﹣1
＝．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17．（9分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AC＝6，BD＝5，求AE的长．
【分析】（1）连接CE，由线段垂直平分线的性质可求得BE＝CE，再结合BE2﹣EA2＝AC2可求得EA2+AC2＝CE2，可证得结论；
（2）由D是BC的中点可求得BC＝10，在Rt△AEC中，利用勾股定理结合已知条件可得到关于AE的方程，可求得AE．
【解答】（1）证明：连接CE，如图，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴CE＝BE，
∵BE2﹣EA2＝AC2，
∴CE2﹣EA2＝AC2，
∴EA2+AC2＝CE2，
∴△ACE是直角三角形，即∠A＝90°；
（2）解：∵D是BC的中点，BD＝5，
∴BC＝2BD＝10，
∵∠A＝90°，AC＝6，
∴AB＝＝＝8，
在Rt△AEC中，EA2+AC2＝CE2，
∵CE＝BE，
∴62+AE2＝（8﹣AE）2，
解得：AE＝，
∴AE的长为．
【点评】本题主要考查勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用．
18．（9分）已知第一象限点P（x，y）在直线y＝﹣x+5上，点A的坐标为（4，0），设△AOP的面积为S．
（1）当点P的横坐标为2时，求△AOP的面积；
（2）当S＝4时，求点P的坐标；
（3）求S关于x的函数解析式，写出x的取值范围，并在图中画出函数S的图象．
【分析】（1）求出点P坐标，再根据三角形面积公式进行计算即可；
（2）当S＝4时求出点P的纵坐标，进而确定其横坐标；
（3）根据三角形的面积计算方法以及一次函数关系式得出答案．
【解答】解：（1）把点P的横坐标为2代入得，y＝﹣2+5＝3，
∴点P（2，3），
∴S△AOP＝×4×3＝6；
（2）当S＝4时，即×4×|y|＝4，
∴y＝2或y＝﹣2（舍去），
当y＝2时，即2＝﹣x+5，
解得x＝3，
∴点P（3，2），
∴点P的坐标为（3，2）；
（3）由题意得，
S＝OA•|y|＝2y（y＞0），
当y＞0时，即0＜x＜5时，S＝2（﹣x+5）＝﹣2x+10，
∴S关于x的函数解析式为S＝﹣2x+10（0＜x＜5），画出的图象如图所示．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，将坐标转化为线段的长，利用三角形的面积公式得出关系式是解决问题的关键．
19．（9分）育才中学开展了“孝敬父母，从家务事做起”活动，活动后期随机调查了八年级部分学生一周在家做家务的时间，并将结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图
请你根据统计图提供的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生总数为 50 人，被调查学生做家务时间的中位数是 4 小时，众数是 5 小时；
（2）请你补全条形统计图；
（3）若全校八年级共有学生1500人，估计八年级一周做家务的时间为4小时的学生有多少人？
【分析】（1）根据统计图可知，做家务达3小时的共10人，占总人数的20%，由此可得出总人数；求出做家务时间4小时与6小时男生的人数，再根据中位数与众数的定义即可得出结论；根据所求结果补全条形统计图即可；
（2）求出做家务时间为4、6小时的人数；
（3）求出总人数与做家务时间为4小时的学生人数的百分比的积即可．
【解答】解：（1）∵做家务达3小时的共10人，占总人数的20%，
∴＝50（人）．
∵做家务4小时的人数是32%，
∴50×32%＝16（人），
∴男生人数＝16﹣8＝8（人）；
∴做家务6小时的人数＝50﹣6﹣4﹣8﹣8﹣8﹣12﹣3＝1（人），
∴做家务3小时的是10人，4小时的是16人，5小时的是20人，6小时的是4人，
∴中位数是4小时，众数是5小时．
故答案为：50，4，5；
（2）补全图形如图所示．
（3）∵做家务4小时的人数是32%，
∴1500×32%＝480（人）．
答：八年级一周做家务时间为4小时的学生大约有480人
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（9分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．
（1）求证：AP＝BQ；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．
【分析】（1）根据正方形的性质得出AD＝BA，∠BAQ＝∠ADP，再根据已知条件得到∠AQB＝∠DPA，判定△AQB≌△DPA并得出结论；（2）根据AQ﹣AP＝PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD
∴AD＝BA，∠BAD＝90°，即∠BAQ+∠DAP＝90°
∵DP⊥AQ
∴∠ADP+∠DAP＝90°
∴∠BAQ＝∠ADP
∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P
∴∠AQB＝∠DPA＝90°
∴△AQB≌△DPA（AAS）
∴AP＝BQ
（2）①AQ﹣AP＝PQ
②AQ﹣BQ＝PQ
③DP﹣AP＝PQ
④DP﹣BQ＝PQ
【点评】本题主要考查了正方形以及全等三角形，解决问题的关键是掌握：正方形的四条边相等，四个角都是直角．解题时需要运用：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，以及全等三角形的对应边相等．
21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝13，AC⊥AB，点E，F分别是BC、AD上的点，且BE＝DF
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形时，请求出AE的长度；
（3）若四边形AECF是矩形时，请直接写出BE的长度．
【分析】（1）由平行四边形的判定可得结论；
（2）先证AE＝BE，由直角三角形的性质可求解；
（3）由勾股定理可求AC的长，由面积法可求AE的长，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵四边形AECF是菱形，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∴∠B+∠ECA＝90°，∠BAE+∠EAC＝90°，
∴∠B＝∠BAE，
∴AE＝BE，
∴AE＝BE＝CE＝BC＝；
（3）解：∵AC⊥AB，
∴，
∵四边形AECF是矩形，
∴AE⊥BC，
∴，
∴．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
22．（10分）为了贯彻落实市委政府提出的“精准扶贫”精神，某校特制定了一系列帮扶A、B两贫困村的计划，现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如表：
车型
目的地
A村（元/辆）
B村（元/辆）
大货车
800
900
小货车
400
600
（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？
（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式．
（3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．
【分析】（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据大、小两种货车共15辆，运输152箱鱼苗，列方程组求解；
（2）设前往A村的大货车为x辆，则前往B村的大货车为（8﹣x）辆，前往A村的小货车为（10﹣x）辆，前往B村的小货车为[7﹣（10﹣x）]辆，根据表格所给运费，求出y与x的函数关系式；
（3）结合已知条件，求x的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案．
【解答】解：（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得：
，
解得：．
∴大货车用8辆，小货车用7辆．
（2）y＝800x+900（8﹣x）+400（10﹣x）+600[7﹣（10﹣x）]＝100x+9400．（3≤x≤8，且x为整数）．
（3）由题意得：12x+8（10﹣x）≥100，
解得：x≥5，
又∵3≤x≤8，
∴5≤x≤8且为整数，
∵y＝100x+9400，
k＝100＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝5时，y最小，
最小值为y＝100×5+9400＝9900（元）．
答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；3辆大货车、2辆小货车前往B村．最少运费为9900元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用．关键是根据题意，得出安排各地的大、小货车数与前往B村的大货车数x的关系．
23．（11分）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．
（1）AE＝ t ，EF＝ 5﹣2t或2t﹣5
（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．
（3）在（2）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．
【分析】（1）由勾股定理求出AC＝5，由题意得出AE＝CF＝t，即可得出EF＝5﹣2t或2t﹣5，
（2）由“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来判定；
（3）由“对角线相等的平行四边形是矩形”判定四边形EGFH为矩形时t的取值．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC＝＝＝5，
由题意得：AE＝CF＝t，
∴EF相遇前为：EF＝AC﹣AE﹣CF＝5﹣2t；
EF相遇后为：EF＝AE+CF﹣AC＝2t﹣5；
故答案为：t，5﹣2t或2t﹣5；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴AC＝＝＝5，∠GAF＝∠HCE，
∵G、H分别是AB、DC的中点，
∴AG＝BG，CH＝DH，
∴AG＝CH，
∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
在△AFG与△CEH中，，
∴△AFG≌△CEH（SAS），
∴GF＝HE，
同理：GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形．
（3）解：如图所示，连接GH，
由（2）可知四边形EGFH是平行四边形
∵点G、H分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点，
∴GH＝BC＝4，
∴当EF＝GH＝4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：
①AE＝CF＝t，EF＝5﹣2t＝4，
解得：t＝0.5．
②AE＝CF＝t，EF＝5﹣2（5﹣t）＝4，
解得：t＝4.5
即：当t为0.5秒或4.5时，四边形EGFH为矩形
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
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