人教版高考数学一轮复习考点规范练31平面向量基本定理及向量的坐标表示含答案

考点规范练31　平面向量基本定理及向量的坐标表示

1.已知平面向量a=(1,-2),b=(2,m),且a∥b,则3a+2b等于(　　)

A.(7,2) B.(7,-14) 

C.(7,-4) D.(7,-8)

答案  B

解析  因为a∥b,所以m+4=0,所以m=-4.

所以b=(2,-4).

所以3a+2b=(7,-14).

2.若向量=(2,0),=(1,1),则等于(　　)

A.(3,1) B.(4,2) C.(5,3) D.(4,3)

答案  B

解析  =(3,1),又=(-1,1),则=(1,1),故=(4,2).

3.(多选)下列各组向量中,不能作为基底的是(　　)

A.e1=(0,0),e2=(1,1) 

B.e1=(1,2),e2=(-2,1)

C.e1=(-3,4),e2= 

D.e1=(2,6),e2=(-1,-3)

答案  ACD

解析  A,C,D中向量e1与e2共线,不能作为基底;B中e1,e2不共线,故可作为一个基底.

4.在▱ABCD中,=(2,8),=(-3,4),对角线AC与BD相交于点M,则等于(　　)

A. B. 

C. D.

答案  B

解析  因为在▱ABCD中,有,

所以)=(-1,12)=,

故选B.

5.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点.若=(4,3),=(1,5),则等于(　　)

A.(-2,7) B.(-6,21)

C.(2,-7) D.(6,-21)

答案  B

解析  如图,取BP的中点M,由题意知M,P均为边BC的三等分点,连接AM,则PQ为△AMC的中位线,=3=3()=3(2)=6-3=(6,30)-(12,9)=(-6,21).

6.已知平面直角坐标系中的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则m的取值范围是(　　)

A.(-∞,2) 

B.(2,+∞)

C.(-∞,+∞) 

D.(-∞,2)∪(2,+∞)

答案  D

解析  因为平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),所以a,b一定不共线,所以3m-2-2m≠0,解得m≠2,所以m的取值范围是(-∞,2)∪(2,+∞),故选D.

7.若平面内两个向量a=(2cos θ,1)与b=(1,cos θ)共线,则cos 2θ等于(　　)

A. B.1 

C.-1 D.0

答案  D

解析  因为向量a=(2cos θ,1)与b=(1,cos θ)共线,知2cos θcos θ-1×1=0,所以2cos2θ-1=0,所以cos 2θ=0,故选D.

8.(2021安徽淮南二模)在△ABC中,D是BC的中点,点E在边AC上,且满足3,BE交AD于点F,则=(　　)

A.- 

B.

C.- 

D.-

答案  A

解析  由题设可得示意图如图所示.

设=λ=μ(λ,μ∈R).

∵,

∴=λ-λ.

∵,∴=μ.

由,得(1-λ),

∴

解得

∴.

9.在Rt△ABC中,∠A=90°,点D是边BC上的动点,且||=3,||=4,=λ+μ(λ>0,μ>0),则当λμ取得最大值时,||的值为              (　　)

A. B.3 

C. D.

答案  C

解析  因为=λ+μ,且D,B,C三点共线,

所以λ+μ=1,又λ>0,μ>0,所以λμ≤,

当且仅当λ=μ=时,取等号,此时,即D是线段BC的中点,

所以||=|=.故选C.

10.若{α,β}是一个基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底{α,β}下的坐标.现已知向量a在p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为(　　)

A.(2,0) B.(0,-2) 

C.(-2,0) D.(0,2)

答案  D

解析  ∵a在基底p,q下的坐标为(-2,2),

∴a=-2p+2q=(2,4).

设a=xm+yn=(-x+y,x+2y),

则解得

11.已知线段AB的端点为A(x,5),B(-2,y),直线AB上的点C(1,1),使||=2||,则x+y=　　　　　. 

答案  -2或6

解析  由已知得=(1-x,-4),2=2(3,1-y)=(6,2-2y).

由||=2||,可得=±2,

则当=2时,有

解得此时x+y=-2;

当=-2时,有

解得此时x+y=6.

综上可知,x+y=-2或6.

12.已知向量=(3,-4),=(0,-3),=(5-m,-3-m),若点A,B,C能构成三角形,则实数m满足的条件是　　　　　. 

答案  m≠

解析  由题意得=(-3,1),=(2-m,1-m).

若点A,B,C能构成三角形,则不共线,即-3×(1-m)≠1×(2-m),解得m≠.