2023年高考数学一轮复习课时规范练15利用导数研究函数的单调性含解析北师大版文

课时规范练15　利用导数研究函数的单调性

基础巩固组

1.(2021河北唐山模拟)若f(x)=-x2+mln x在上是递减的,则m的取值范围是(　　)

A B

C D

答案:B

解析:由题意可得f'(x)=-x+0对于x恒成立,

即m≤x2对于x恒成立,设y=x2,因为y=x2在上是递增的,

所以x2,即x2>,

所以m,m的取值范围是

2.(2021浙江宁波模拟)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且函数f(x)的图像如图所示,则函数y=xf'(x)的图像可能是(　　)

答案:C

解析:由图可知函数f(x)在(-∞,-1)上是递减的,在(-1,+∞)上是递增的,则当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,当x∈(-1,+∞)时,f'(x)>0,且f'(-1)=0.对于函数y=xf'(x),当x∈(-∞,-1)时,xf'(x)>0,

当x∈(-1,0)时,xf'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,xf'(x)>0,

且当x=-1时,xf'(x)=0,当x=0时,xf'(x)=0,显然选项C符合.

3.(2021云南昆明模拟)已知函数f(x)=-log2x,则不等式f(x)>0的解集是(　　)

A.(0,1) B.(-∞,2) C.(2,+∞) D.(0,2)

答案:D

解析:f(x)=-log2x的定义域为(0,+∞),由f'(x)=-<0,可知f(x)=-log2x在(0,+∞)上是递减的,又因为f(2)=-log22=0,所以不等式f(x)>0的解集是(0,2).

4.(2021湖南怀化模拟)已知a=ln 2+,b=,c=,则a,b,c之间的大小关系为(　　)

A.a<b<c B.a<c<b

C.c<a<b D.b<c<a

答案:B

解析:设函数f(x)=,

则f'(x)=,

所以f(x)在(0,1)内是递增的,在(1,+∞)上是递减的,

所以f(4)<f(π)<f(e),即,所以a<c<b.

5.(2021山东潍坊三模)某地区为落实乡村振兴战略,帮助农民致富,引入一种特色农产品种植,该农产品上市时间仅能维持5个月,预测上市初期和后期会因产品供应不足使价格持续上涨,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.经研究其价格模拟函数为f(t)=t(t-3)2+n(0≤t≤5,其中t=0表示5月1日,t=1表示6月1日,以此类推).若f(2)=6,为保护农户的经济效应,当地政府计划在价格下跌时积极拓宽外销,请你预测该农产品价格下跌的月份为(　　)

A.5月和6月 B.6月和7月

C.7月和8月 D.8月和9月

答案:B

解析:∵f(2)=2+n=6,故n=4,f(t)=t(t-3)2+4,t∈[0,5],

∴f'(t)=(t-3)2+2t(t-3)=3(t-1)(t-3),则当t∈(0,1)时,f(t)是递增的;当t∈(1,3)时,f(t)是递减的;当t∈(3,5)时,f(t)是递增的;则当t=1和2时,处在中期,出现价格下跌,即6月和7月.

6.设函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上是递减的,则实数a的取值范围是　　　　　.

答案:(1,2]

解析:∵f(x)=x2-9lnx,定义域为(0,+∞),∴f'(x)=x-,当x-0时,有0<x≤3,即f(x)在(0,3]上是递减的,则[a-1,a+1]⊆(0,3],

∴a-1>0且a+1≤3,解得1<a≤2.

7.(2021广东佛山二模)已知函数f(x)=x(2x-2-x),则不等式2f(x)-3<0的解集为　　　　　.

答案:(-1,1)

解析:根据题意,对于函数f(x)=x(2x-2-x),在定义域R上都有f(-x)=(-x)(2-x-2x)=x(2x-2-x)=f(x),则函数f(x)为偶函数.

函数f(x)=x(2x-2-x),其导数f'(x)=2x-2-x+xln2(2x+2-x),当x>0时,f'(x)>0,则f(x)是递增的.又因为f(1)=2-,由2f(x)-3<0可得f(x)<f(1),所以|x|<1,

解得-1<x<1,即不等式的解集是(-1,1).

8.已知函数y=f(x)(x∈R)的图像如图所示,则不等式xf'(x)≥0的解集为　　　　　　. 

答案:[2,+∞)

解析:由f(x)图像特征可得,在和[2,+∞)上f'(x)≥0,在内f'(x)<0,所以xf'(x)≥0,即解得0≤x或x≥2,

所以xf'(x)≥0的解集为[2,+∞).

9.已知函数f(x)=x+-m(m∈R).当m>1时,讨论f(x)的单调性.

解:函数f(x)的定义域为(0,+∞).

f'(x)=1-=1+,

因为m>1,所以m-1>0.

①当0<m-1<1,即1<m<2时,由f'(x)>0可得x>1或0<x<m-1,

由f'(x)<0得m-1<x<1,

所以f(x)在(0,m-1),(1,+∞)上是递增的,在(m-1,1)内是递减的;

②当m-1=1,即m=2时,f'(x)≥0,所以f(x)在(0,+∞)上是递增的;

③当m-1>1,即m>2时,由f'(x)>0得x>m-1或0<x<1,由f'(x)<0得1<x<m-1,

所以f(x)在(0,1),(m-1,+∞)上是递增的,在(1,m-1)内是递减的.

综上可知,当1<m<2时,f(x)在(0,m-1),(1,+∞)上是递增的,在(m-1,1)内是递减的;

当m=2时,f(x)在(0,+∞)上是递增的;

当m>2时,f(x)在(0,1),(m-1,+∞)上是递增的,在(1,m-1)内是递减的.

综合提升组

10.(2021山东青岛三模)定义在R上的奇函数f(x)的图像连续不断,其导函数为f'(x),对任意正实数x恒有xf'(x)>2f(-x),若g(x)=x2f(x),则不等式g(log3(x2-1))+g(-1)<0的解集是(　　)

A.(0,2) B.(-2,2)

C.(-,2) D.(-2,-1)∪(1,2)

答案:D

解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以当x∈R时,有g(-x)=x2f(-x)=-x2f(x)=-g(x),所以g(x)为奇函数.且对于任意正实数x,有xf'(x)>2f(-x)=-2f(x),即xf'(x)+2f(x)>0,因为g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]>0,

所以g(x)=x2f(x)在(0,+∞)上是递增的,又因为g(x)为奇函数,

所以g(x)为R上的增函数,

由g(log3(x2-1))+g(-1)<0得g(log3(x2-1))<-g(-1)=g(1),

所以log3(x2-1)<1,即0<x2-1<3,解得-2<x<-1或1<x<2.

11.(2021江西九江三模)已知f(x)是定义在R上的可导函数,f'(x)是f(x)的导函数,若f(x)+1+x[f'(x)+1]=ex,则f(x)在(0,+∞)上(　　)

A.恒为正值 B.恒为负值

C.是递增的 D.是递减的

答案:A

解析:由f(x)+1+x[f'(x)+1]=ex可得f(x)+xf'(x)=ex-x-1,设g(x)=xf(x),则g'(x)=ex-x-1.

设h(x)=ex-x-1,h'(x)=ex-1,当x>0时,h'(x)>0,h(x)是递增的,

当x<0时,h'(x)<0,h(x)是递减的,

所以h(x)min=h(0)=0,所以h(x)≥h(0)=0,即g'(x)≥0恒成立,

所以g(x)是R上的增函数,又因为g(0)=0,所以当x>0时,g(x)=xf(x)>0,f(x)>0.

12.(2021四川成都七中月考)若0<x1<x2<1,有下列不等式:

①x2>x1;②x2<x1;>ln x2-ln x1;<ln x2-ln x1.

其中正确的序号有　　　　　. 

答案:①④

解析:构造函数f(x)=(0<x<1),因为f'(x)=<0,所以f(x)在(0,1)内是递减的.

因为0<x1<x2<1,所以,即x2>x1,所以选项①正确,选项②错误.

构造函数h(x)=ex-lnx(0<x<1),h'(x)=ex-,

易知h'(x)在(0,1)内是递增的,而h'(1)=e-1>0,h'-2<0,

所以存在x0∈(0,1),使h'(x0)=0,所以h(x)在(0,x0)内是递减的,在(x0,1)内是递增的,

所以无法判断③选项的正确性.

构造函数g(x)=ex+lnx(0<x<1),易知g(x)在(0,1)内是递增的,

因为0<x1<x2<1,所以+ln x1<+ln x2,即<ln x2-ln x1,所以选项④正确.

13.(2021安徽芜湖质检)已知函数f(x)=ex-1-axln x+(a-1)x(x>0).

(1)若a=0,求函数f(x)的单调区间;

(2)若函数y=f(x)为定义域内的增函数,求实数a的取值范围.

解:(1)当a=0时,f(x)=ex-1-x,定义域为(0,+∞),f'(x)=ex-1-1,

当x>1时,f'(x)=ex-1-1>0,所以f(x)在(1,+∞)上是递增的;

当0<x<1时,f'(x)=ex-1-1<0,所以f(x)在(0,1)内是递减的;

故函数的递增区间为(1,+∞),递减区间为(0,1).

(2)由题知f'(x)=ex-1-a(1+lnx)+(a-1)≥0在(0,+∞)上恒成立,

即ex-1-alnx-1≥0在(0,+∞)上恒成立,令g(x)=ex-1-alnx-1,g'(x)=ex-1-,

①当a≤0时,g'(x)=ex-1->0,所以g(x)在(0,+∞)上是递增的,

又因为g(1)=0,所以当0<x<1时,g(x)<g(1)=0,不符合题意;

②当a>0时,令h(x)=g'(x),h'(x)=ex-1+>0,

所以g'(x)在(0,+∞)上是递增的,而g'(1)=1-a,

(ⅰ)当0<a<1时,g'(a)=ea-1-1<0,g'(1)=1-a>0,

所以存在x0∈(a,1),使得g'(x0)=0,

且当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>0,

因此当x∈(x0,1)时g'(x)>0,此时g(x)<g(1)=0,不符合题意;

(ⅱ)当a=1时,g'(1)=1-a=0,

所以当x∈(0,1)时,g'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,

所以g(x)在(0,1)内是递减的,在(1,+∞)上是递增的,故g(x)≥g(1)=0,符合题意;

(ⅲ)当a>1时,g'(a)=ea-1-1>0,g'(1)=1-a<0,

所以存在x1∈(1,a),使得g'(x1)=0,

且当x∈(0,x1)时,g'(x)<0,当x∈(x1,+∞)时,g'(x)>0,

因此当x∈(1,x1)时,g'(x)<0,此时g(x)<g(1)=0,不符合题意.

综上所述,a的取值范围为{1}.

创新应用组

14.(2021广东广州二模)已知函数f(x)=xex+,且f(1+a)+f(-a2+a+2)>0,则a的取值范围是(　　)

A.(-∞,-1)∪(3,+∞) B.(-1,3)

C.(-∞,-3)∪(1,+∞) D.(-3,1)

答案:B

解析:因为f(x)定义域为R,f(-x)=-xe-x+=-=-f(x),所以f(x)是奇函数,f'(x)=ex+xex+,令g(x)=e2x(1+x)+1-x,则g'(x)=e2x(3+2x)-1,令h(x)=e2x(3+2x)-1,则h'(x)=e2x(8+4x),当x≥0时,h'(x)≥0,所以h(x)是增函数,h(x)≥h(0)=2>0,即g'(x)>0,

所以当x≥0时g(x)是递增的,g(x)≥g(0)=2>0,所以f'(x)>0,

f(x)在[0,+∞)上是递增的,因为f(x)是奇函数,所以f(x)在R上是增函数.

由f(1+a)+f(-a2+a+2)>0,可得f(1+a)>-f(-a2+a+2)=f(a2-a-2),

所以1+a>a2-a-2,解得-1<a<3.

15.(2021安徽黄山二模)已知f(x)是奇函数,当x>0时,f'(x)-f(x)>1,f(1)=3,则下列结论中不正确的是(　　)

A.f(4)>ef(3) B.f(4)>4e3-1

C.f(-4)>e2f(-2) D.f(-4)<-4e2-1

答案:C

解析:设g(x)=,其导数g'(x)=,又因为当x>0时,f'(x)-f(x)>1,即f'(x)-f(x)-1>0,则当x>0时,有g'(x)>0,即g(x)在区间(0,+∞)上是递增的.

依次分析选项:

对于选项A,g(x)在区间(0,+∞)上是递增的,有g(4)>g(3),即,

变形可得f(4)+1>ef(3)+e,则有f(4)>ef(3)+e-1>ef(3),A正确;

对于选项B,g(x)在区间(0,+∞)上为增函数,有g(4)>g(1),即,

变形可得f(4)>4e3-1,B正确;

对于选项C,g(x)在区间(0,+∞)上为增函数,有g(4)>g(2),即,

变形可得f(4)+1>e2f(2)+e2,即-f(-4)+1>-e2f(-2)+e2,

则有f(-4)<e2f(-2)+1-e2<e2f(-2),C错误;

对于选项D,由B的结论,f(4)>4e3-1,即-f(-4)>4e3-1,变形可得f(-4)<1-4e3,

而1-4e3-(-4e2-1)=2-4e3+4e2=2-4e2(e-1)<0,

则有f(-4)<1-4e3<-4e2-1,D正确.