人教版高考数学一轮复习考点规范练15利用导数研究函数的单调性含答案

考点规范练15　利用导数研究函数的单调性

1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(　　)

A.(-∞,2) B.(0,3)

C.(1,4) D.(2,+∞)

答案  D

解析  函数f(x)=(x-3)ex的导数为f'(x)=[(x-3)ex]'=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由函数导数与函数单调性的关系,得当f'(x)>0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f'(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.

2.(2021浙江宁波模拟)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且函数f(x)的图象如图所示,则函数y=xf'(x)的图象可能是(　　)

答案  C

解析  由题图可知函数f(x)在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(-1,+∞)上单调递增,

则当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,当x∈(-1,+∞)时,f'(x)>0,且f'(-1)=0.

对于函数y=xf'(x),当x∈(-∞,-1)时,xf'(x)>0,

当x∈(-1,0)时,xf'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,xf'(x)>0,

且当x=-1时,xf'(x)=0,当x=0时,xf'(x)=0,显然选项C符合.

3.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),则f(x)在R上为增函数的充要条件是(　　)

A.b2-4ac≥0 B.b>0,c>0

C.b=0,c>0 D.b2-3ac≤0

答案  D

解析  f'(x)=3ax2+2bx+c,∵a>0,∴3a>0.

又f(x)在R上为增函数,∴f'(x)≥0在R上恒成立,

∴Δ=(2b)2-4×3ac≤0,即b2-3ac≤0.

4.(多选)下列函数中,在区间(-∞,+∞)上为单调递增函数的有(　　)

A.f(x)=x4 

B.f(x)=x-sin x

C.f(x)=xex 

D.f(x)=ex-e-x-2x

答案  BD

解析  A选项,由f(x)=x4,得f'(x)=4x3,当x>0时,f'(x)=4x3>0,f(x)单调递增;当x<0时,f'(x)=4x3<0,f(x)单调递减,故排除A;

B选项,由f(x)=x-sin x,得f'(x)=1-cos x,因为f'(x)≥0恒成立,且不恒为零,所以f(x)=x-sin x在区间(-∞,+∞)上单调递增,故B满足题意;

C选项,由f(x)=xex,得f'(x)=(1+x)ex,当x>-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x<-1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故排除C;

D选项,由f(x)=ex-e-x-2x,得f'(x)=ex+e-x-2,因为f'(x)≥2-2=0恒成立,且不恒为零,所以f(x)=ex-e-x-2x在区间(-∞,+∞)上单调递增,故D满足题意.

5.(2021云南昆明模拟)已知函数f(x)=-log2x,则不等式f(x)>0的解集是(　　)

A.(0,1) B.(-∞,2) 

C.(2,+∞) D.(0,2)

答案  D

解析  f(x)=-log2x的定义域为(0,+∞),因为f'(x)=-<0,

所以f(x)=-log2x在区间(0,+∞)上单调递减,又f(2)=-log22=0,

所以不等式f(x)>0的解集是(0,2).

6.已知函数f(x)=x3+2x2-x在区间内存在单调递增区间,则m的取值范围为(　　)

A.[0,+∞) B.(-4,+∞)

C.[-3,+∞) D.

答案  B

解析  f'(x)=mx2+4x-1,由题意可知mx2+4x-1≥0在区间内有解.

当m>0时,二次函数的图象开口向上,当m=0时,函数为y=4x-1,在区间上为增函数,

即当m≥0时,mx2+4x-1≥0在区间内有解恒成立;

当m<0时,由Δ>0,即16+4m>0,得-4<m<0,又二次函数图象的对称轴为x=-,故当-4<m<0时符合题意.

综上所述,m>-4.

7.(多选)定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)+xf'(x)<xf(x)对x∈R恒成立,则下列选项不正确的是(　　)

A.f(2)>f(1) B.f(2)<f(1)

C.f(1)>0 D.f(-1)>0

答案  ACD

解析  构造函数F(x)=,

因为F'(x)=<0,

所以函数F(x)=在R上为减函数.

因为2>1,所以F(2)<F(1),即,即<f(1),故A符合题意,B不符合题意;

因为F(1)<F(0),即<0,所以f(1)<0,故C符合题意;

因为F(-1)>F(0),即>0,所以f(-1)<0,故D符合题意.

8.已知函数f(x)=-x2+4x-3ln x在区间[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是　　　　　. 

答案  (0,1)∪(2,3)

解析  由题意知f'(x)=-x+4-=-.

由f'(x)=0,得x1=1,x2=3,可知1,3是函数f(x)的两个极值点.

则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间[t,t+1]上就不单调,

由t<1<t+1或t<3<t+1,

得0<t<1或2<t<3.

9.(2021广东广州二模改编)已知函数f(x)=xex+,且f(1+a)+f(-a2+a+2)>0,则实数a的取值范围是　　　　　. 

答案  (-1,3)

解析  因为x∈R,f(-x)=-xe-x+=-=-f(x),所以f(x)是奇函数.

f'(x)=ex+xex+,x∈R,令g(x)=e2x(1+x)+1-x,

则g'(x)=e2x(3+2x)-1,令h(x)=e2x(3+2x)-1,则h'(x)=e2x(8+4x).

当x≥0时,h'(x)>0,所以h(x)在区间[0,+∞)上单调递增,h(x)≥h(0)=2>0,即g'(x)>0,

所以当x≥0时,g(x)单调递增,g(x)≥g(0)=2>0,所以f'(x)>0,f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.

因为f(x)是奇函数,所以f(x)在x∈R上是增函数.

由f(1+a)+f(-a2+a+2)>0,得f(1+a)>-f(-a2+a+2)=f(a2-a-2),

所以1+a>a2-a-2,解得-1<a<3.

10.设函数f(x)=(a∈R).

(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)若f(x)在区间[3,+∞)内单调递减,求a的取值范围.

解(1)对f(x)求导得

f'(x)==.

因为f(x)在x=0处取得极值,所以f'(0)=0,即a=0.

当a=0时,f(x)=,f'(x)=,

故f(1)=,f'(1)=,

从而f(x)图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-(x-1),化简得3x-ey=0.

(2)由(1)知f'(x)=.

令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,

由g(x)=0,解得x1=,

x2=.

当x>x2时,g(x)<0,即f'(x)<0,

故f(x)单调递减.

由f(x)在区间[3,+∞)内单调递减,

知x2=≤3,解得a≥-,故a的取值范围为.

11.若函数g(x)=ln x+ax2+bx,且g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线与x轴平行.

(1)确定a与b的关系;

(2)若a≥0,试讨论函数g(x)的单调性.

解(1)因为g(x)=ln x+ax2+bx,

所以g'(x)=+2ax+b.

由题意,得g'(1)=1+2a+b=0,所以2a+b=-1.

(2)由(1)知g'(x)=(x>0).

当a=0时,g'(x)=-.

由g'(x)>0,解得0<x<1,

由g'(x)<0,解得x>1,

即函数g(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减;

当a>0时,令g'(x)=0,得x=1或x=,若<1,即a>,则由g'(x)>0,解得x>1或0<x<,

由g'(x)<0,解得<x<1,

即函数g(x)在区间,(1,+∞)内单调递增,在区间内单调递减;

若>1,即0<a<,则由g'(x)>0,解得x>或0<x<1,

由g'(x)<0,解得1<x<,

即函数g(x)在区间(0,1),内单调递增,在区间内单调递减;

若=1,即a=,则在区间(0,+∞)内恒有g'(x)≥0,即函数g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.

综上可得,当a=0时,函数g(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减;

当0<a<时,函数g(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间内单调递减,在区间内单调递增;

当a=时,函数g(x)在区间(0,+∞)内单调递增;

当a>时,函数g(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.