(新高考)高考数学一轮复习过关练考点08 利用导数研究函数的性质（含解析）

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考点08 利用导数研究函数的性质
考纲要求



1、 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次函数的多项式函数的单调性。
2、 了解函数极大（小）值、最大（小）值与导数的关系，会求不超过三次函数的多项式函数的极大（小）值、最大（小）值。
近三年高考情况分析



利用导数研究函数的单调性、奇偶性、极值和最值是近几年高考的热点和难点，在考查中主要以压轴题的方式出现，难度较大。纵观这几年江苏高考不难发现主要利用导数研究函数的单调性以及零点和不等式等知识点的结合。因此在复习中要注意加强函数的性质的研究和学习。

考点总结




1、利用导数研究函数的单调性要注意一下两点：（1）求函数的单调性不要忘记求函数的定义域。（2）给定区间的单调性不要忽略等号；
2、利用导数求函数的单调区间，这类问题常于含参的不等式结合，要重视分类讨论的思想和数形结合的思想的应用。
3、求参数的取值范围，这类问题可以转化为研究函数的极值或者最值问题；

三年高考真题





1、【2020年江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________．
【答案】
【解析】
设圆心到直线距离为，则
所以
令（负值舍去）
当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为，
故答案为：
2、【2019年高考天津理数】已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，恒成立；
当时，恒成立，
令，
则
，
当，即时取等号，
∴，则.
当时，，即恒成立，
令，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
则时，取得最小值，
∴，
综上可知，的取值范围是.
故选C.
3、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，则的最小值是_____________．
【答案】
【解析】，
所以当时函数单调递减，当时函数单调递增，
从而得到函数的递减区间为，
函数的递增区间为，
所以当时，函数取得最小值，
此时，
所以，
故答案是.
4、【2019年高考北京理数】设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
【答案】
【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.
若函数为奇函数，则即，
即对任意的恒成立，
则，得.
若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，
即在R上恒成立，
又，则，
即实数的取值范围是.
5、【2018年高考江苏】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．
【答案】–3
【解析】由得或，
因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，
因此解得.
从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以 ，
则
故答案为.
6、【2020年全国1卷】.已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
【解析】(1)当时，，，
由于，故单调递增，注意到，故：
当时，单调递减，
当时，单调递增.
(2)由得，，其中，
①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；
②.当时，分离参数a得，，
记，，
令，
则，，
故单调递增，，
故函数单调递增，，
由可得：恒成立，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因此，,
综上可得，实数a的取值范围是.
7、【2020年天津卷】.已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．
【解析】(Ⅰ) (i) 当k=6时，，.可得，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
(ii) 依题意，.
从而可得，
整理可得：，
令，解得.
当x变化时，的变化情况如下表：









单调递减
极小值
单调递增
所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；
g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值.
（Ⅱ）证明：由，得.
对任意的，且，令，则



. ①
令.
当x>1时，，
由此可得在单调递增，所以当t>1时，，即.
因为，，，
所以
. ②
由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即，
故 ③
由①②③可得.
所以，当时，任意的，且，有
.
8、【2020年山东卷】已知函数．
（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
【解析】（1），，.
，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,
切线与坐标轴交点坐标分别为,
∴所求三角形面积为;
（2）解法一：,
，且.
设,则
∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，
当时，,∴,∴成立.
当时， ，，,
∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，
因此
>1,
∴∴恒成立；
当时， ∴不是恒成立.
综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).
解法二：等价于
,
令,上述不等式等价于,
显然为单调增函数，∴又等价于，即，
令,则
在上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减，
∴,
，∴a的取值范围是[1,+∞).
9、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）．
令，得x=0或.
若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；
若a=0，在单调递增；
若a<0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减.
（2）满足题设条件的a，b存在.
（i）当a≤0时，由（1）知，在[0，1]单调递增，所以在区间[0，l]的最小值为，最大值为.此时a，b满足题设条件当且仅当，，即a=0，．
（ii）当a≥3时，由（1）知，在[0，1]单调递减，所以在区间[0，1]的最大值为，最小值为．此时a，b满足题设条件当且仅当，b=1，即a=4，b=1．
（iii）当0 若，b=1，则，与0 若，，则或或a=0，与0 综上，当且仅当a=0，或a=4，b=1时，在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．
10、【2019年高考北京理数】已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．
【解析】（Ⅰ）由得.
令，即，得或.
又，，
所以曲线的斜率为1的切线方程是与，
即与.
（Ⅱ）令.
由得.
令得或.
的情况如下：
























所以的最小值为，最大值为.
故，即.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
当时，；
当时，；
当时，.
综上，当最小时，.
11、【2019年高考浙江】已知实数，设函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）对任意均有 求的取值范围．
注：e=2.71828…为自然对数的底数．
【解析】（1）当时，．
，
所以，函数的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）．
（2）由，得．
当时，等价于．
令，则．
设，
则．
（i）当 时，，则
．
记，则

.
故



1




0
+


单调递减
极小值
单调递增
所以，．
因此，．
（ii）当时，．
令 ，
则，
故在上单调递增，所以．
由（i）得，．
所以，．
因此．
由（i）（ii）知对任意，，
即对任意，均有．
综上所述，所求a的取值范围是．

二年模拟试题




题型一 函数的单调性
1、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知函数,若有且只有两个整数使得,且,则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
当时，函数单调递增，不成立；
当时，函数在上单调递增，在上单调递增；
有且只有两个整数使得,且，故且
即；
故选：.
2、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意设，则，又当时，，则有，所以在上单调递减，又在上是偶函数，所以，所以是偶函数，所以，又为偶函数，且在上为减函数，且定义域为，则有，解得
或，即不等式的解集为，
故选：B.
3、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）设函数，则不等式的解集为_____________.
【答案】
【解析】因为,所以,
所以函数为奇函数,
因为(当且仅当时,等号成立)
所以函数为上的递增函数,
所以不等式可化为,
所以根据函数为奇函数可化为,
所以根据函数为增函数可化为,
可化为,
可化为,
解得:,
所以不等式的解集为:.
故答案为
4、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数，函数（）.
（1）讨论的单调性；
【解析】（1）解：的定义域为，，
当，时，，则在上单调递增；
当，时，令，得，令，得，则在上单调递减，在上单调递增；
当，时，，则在上单调递减；
当，时，令，得，令，得，则在上单调递增，在上单调递减；
（2）证明：设函数，则.
因为，所以，，
则，从而在上单调递减，
所以，即.
5、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）已知实数，设函数．
（1）求函数的单调区间；
【解析】
(1)由,解得．
①若,则当时,,故在内单调递增；
当时,,故在内单调递减．
②若,则当时,,故在内单调递增；
当时,,故在内单调递减．
综上所述,在内单调递减,在内单调递增．
6、（2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）设，函数，为函数的导函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数与函数存在相同的零点，求实数a的值；
（3）求函数在区间上的最小值.
【解析】（1）因为
所以，
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，当或时，，当时，，
所以函数在和在上单调递增，在上单调递减；
同理当时，函数在和在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，函数的零点是0，而，所以不合题意，舍去；
当时，函数的零点是和，
因为，
所以由函数与函数存在相同的零点，
得，即，解得.
（3）由（1）得，
当时，函数在上单调递增，此时函数在区间上的最小值为；
当，即时，
函数在区间上的最小值为；
当，即时，
因为，，
所以，此时函数的最小值为.
所以函数在区间上的最小值为
题型二 利用导数研究函数的极值与最值
1、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知在区间上有极值点，实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】,由于函数在上有极值点，所以在上有零点.所以，解得.
故选：D.
2、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）若函数的极大值是，极小值是，则( )
A．与有关，且与有关 B．与有关，且与无关
C．与无关，且与无关 D．与无关，且与有关
【答案】C
【解析】
∵，
∴，
令，得，或，
当变化时，、的变化如下表：













递增
极大值
递减
极小值
递增
∴，
，
∴，
故选：C．
3、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知、、、，从这四个数中任取一个数，使函数有极值点的概率为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】f′（x）＝x2+2mx+1，
若函数f（x）有极值点，则f′（x）有2个不相等的实数根，
故△＝4m2﹣4＞0，解得：m＞1或m＜﹣1，
而a＝log0.55＜﹣2，0＜b＝log32＜1、c＝20.3＞1，0＜d＝（）2＜1，
满足条件的有2个，分别是a，c，
故满足条件的概率p，
故选：B．
4、（2019年北京101中学月考）如图，已知直线与曲线相切于两点，函数 ，则函数（ ）

A．有极小值，没有极大值 B．有极大值，没有极小值
C．至少有两个极小值和一个极大值 D．至少有一个极小值和两个极大值
【答案】C
【解析】

如图，由图像可知，直线与曲线切于a，b，
将直线向下平移到与曲线相切，设切点为c，
当时，单调递增，所以有且．
对于=，
有，所以在时单调递减；
当时，单调递减，所以有且．
有，所以在时单调递增；
所以是的极小值点．
同样的方法可以得到是的极小值点，是的极大值点．
故选C．
5、（2019年北京人民大学附属中学月考）已知且，函数在上的最大值为3，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，
，
由得（舍）或，此时为增函数，
由得，此时为减函数，
则当时，取得极大值，极大值为，
当时，取得最小值，最小值为，
∵在上的最大值为3，
∴当时，函数的最大值不能超过3即可，
当时，为增函数，则当时，函数的最大值为，即，得，
当时，为减函数，则，此时满足条件．
综上实数的取值范围是或，
故选A．
6、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】函数,,
∵是函数的极值点，∴，即，
,
,
,即A选项正确,B选项不正确;
,即C正确,D不正确.
故答案为:AC.
7、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）已知函数，其中，，记为的最小值，则当时，的取值范围为___________.
【答案】
【解析】函数，
导数，
当时，，在递增，可得取得最小值，
且为，由题意可得方程有解；
当时，由，可得(负的舍去)，
当时，，在递增，可得为最小值，
且有，方程有解；
当时，在递减，在递增，
可得为最小值，且有，即，解得.
综上可得的取值范围是.
故答案为：.
8、（江苏省如皋市2019-2020学年度高三年级第一学期教学质量调研（三)）已知，实数，满足方程，则的最小值为______.
【答案】0
【解析】设，，则
在直线上，在曲线，
∴求的最小值，即为求曲线上的点到直线上的点的距离的最小值。
又与都过点
∴曲线上的点到直线上的点的距离的最小值为0。
即的最小值为。
故答案为0。
9、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数（是自然对数的底数），则函数的最大值为______；若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】（1）的定义域为，，故在上递增，在上递减，所以是的极大值也即是最大值.
（2）由（1）知在上递增，在上递减，最大值为.
当时，当时，，当时，.
由，即.
由上述分析可知有一个解.故需有两个不同的解，由上述分析可知，解得.所以实数的取值范围是.
故答案为：（1）；（2）.
10、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数处有极小值，求函数在区间上的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）当时，，，
所以，又，所以曲线在点处切线方程为，即.
（2）因为，
因为函数处有极小值，所以，
所以
由，得或，
当或时，，
当时，，
所以在，上是增函数，在上是减函数，
因为，，
所以的最大值为.
11、（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知正实数，设函数．
（1）若时，求函数在的值域；
（2）对任意实数均有恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，
得，，
所以在单调递增，
所以在单调递增，所以．
所以的值域为.
（2）由题意可得：，即．
事实上，当时

记，设，则为关于的二次函数，
定义域为，其对称轴为．
∵．∴
∴
设

当，，递增；当，，递减，
所以，
即，于是有：.
所以：．