新高考数学一轮复习讲练测专题4.2应用导数研究函数的单调性（练）（含解析）

专题4.2 应用导数研究函数的单调性

1．（浙江高考真题）函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（    ）

A．    B．

C．    D．

【答案】D

【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．

2．（2020·重庆市第七中学校高三期中）设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

先求出的减区间，只需，，解不等式求出a的范围.

【详解】

解：，当，即时，有，

即在上函数是减函数，从而，，即且，解得．

所以实数a的取值范围是．

故选：A.

3．（2021·广东高三其他模拟）已知函数，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

根据题意画出函数大致图象，然后根据图象得出，再用表示出，根据所得关于的函数单调性可得结果．

【详解】

函数大致图象如下：

则由图可得，

而，故．

，

令，，．

则

在，上为单调增函数．

，

．

故选：D

4．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

利用导数求出函数的单调递增区间为，进而可得出，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】

因为的定义域为，，

由，得，解得，所以的递增区间为．

由于在区间上单调递增，则，

所以，解得.

因此，实数的取值范围是．

故选：A.

5．（2021·福建高三三模）已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

根据条件判断函数关于对称，求导，可得函数的单调性，利用函数的对称性和单调性将不等式进行转化求解即可.

【详解】

解：∵，

∴，

∴函数关于对称，

又，

∵，

∴，

∴恒成立，则是增函数，

∵，

∴，

∴，得，

故选：A.

6．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）如图是函数的部分图像，则的解析式可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】

由函数为偶函数，得到必为奇函数，排除B选项；根据时，，可排除D选项，对于A、C项，得出函数的解析式，结合三角函数的性质和导数，逐项判定，即可求解.

【详解】

由函数的图像关于轴对称，所以函数为偶函数，

又由为奇函数，则函数必为奇函数，排除B选项；

当时，，可得，排除D选项.

对于A中，函数为偶函数，且当时，，

当或时，可得，

又由，

当时，，所以函数在轴右侧先单调递增，且，

所以函数在附近存在单调递减区间，选项A符合；

对于C中，函数为偶函数，

当时，，当或时，可得，

又由，

当时，，所以函数在轴右侧先单调递增，且，

所以函数在附近存在单调递减区间，选项C符合.

故选：AC.

7．【多选题】（2021·全国高三专题练习）函数的图象如图所示，且在与处取得极值，则下列结论正确的有（    ）

A． B．

C． D．函数在上是减函数

【答案】BC

【解析】

求出函数的导数，根据在与处取得极值以及函数的单调区间，结合韦达定理求出，，之间的关系，判断其符号，进而可得到结论．

【详解】

因为，所以，

由图知的增区间是，，减区间是，

所以的解集为，

的解集为，所以，A错误；

因为在与处取得极值，则，是方程的根，

由韦达定理可知，B正确；

由图可知，

由韦达定理可知，故，故，C正确；

因为的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为，

所以在上递减，在上递增，D错误，

故选：BC．

8．（2021·山东省济南市莱芜第一中学高三月考）已知在上单调递增，.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为____________.

【答案】

【解析】

先解出.再由是的充分不必要条件即可得出答案.

【详解】

在上单调递增

在上恒成立.

即在上恒成立，

所以：.

又是的充分不必要条件，

即.

故答案为：.

9. (2019年高考北京理)设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．

【答案】

【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.

若函数为奇函数，则即，

即对任意的恒成立，

则，得.

若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，

即在R上恒成立，

又，则，

即实数的取值范围是.

10．（2020·四川省内江市第六中学高三月考）已知，函数．

（1）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直，求a，b的值；

（2）设，若在上为增函数，求a的取值范围．

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

（1）求出的导数，由题可得，，列出式子即可求出；

（2）可得，求出导数，可得对任意，有恒成立，由此可求出a的取值范围.

【详解】

（1），

，

依题意有，且，

可得，解得,或.

（2）在上是增函数.

可得，

依题意有, 对任意，有恒成立.

由，则，

可得.

1．（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）已知实数，，满足且，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

首先根据题中的条件得到，从而得到；再根据时得到，结合函数的单调性得到，从而得到.

【详解】

由得，————①

由得，————②

两式相加得，因为，，所以，又因为 ，所以；

因为，，所以，即，所以；

令，则，当时，，

所以在内单调递增，即，

所以，即，

又令，则，

当时，，所以在内单调递增，所以由，得到.

所以.

故选：D.

2.【多选题】（2021·山东济南市·高三其他模拟）数列{an}满足a1＝1，an＝an+1+ln（1+an+1）（），则（    ）

A．存在n使an0 B．任意n使an0

C．anan+1 D．anan+1

【答案】BD

【解析】

构造函数，研究其单调性，然后根据单调性判断每一个选项.

【详解】

解：设f(x)＝x+ln（1+x），其定义域为（﹣1，+∞），

则f′(x)＝1+＝在（﹣1，+∞）上大于0恒成立，

故f(x)在（﹣1，+∞）上单调递增，且f（0）＝0，

若an0，则an+1+ln（1+an+1）0，即f（an+1）0，即f（an+1）f（0），

则由f(x)的单调性可得an+10，

即an0可得an+10，

又由a1＝10可得：任意，使an0，故A错，B对，

又由an﹣an+1＝ln（1+an+1）且an+10，故ln（1+an+1）0，

∴an﹣an+10⇒anan+1，故C错，D对，

故选：BD．

3．（2021·辽宁高三其他模拟）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是____________________

【答案】

【解析】

先对函数进行求导，由导数在上恒成立即可求出实数的取值范围.

【详解】

，

由题意知在上恒成立且不恒为0，

显然时，恒成立，

所以只需在 上恒成立且不恒为0，

即在 上恒成立且不恒为0，

所以只需当时，

又当时，有，所以，即有最大值，

所以，即.

故答案为：.

4．（2021·陕西宝鸡市·高三月考（文））若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．

【答案】

【解析】

先求导，根据题意在上恒成立，整理即得在上恒成立，再求的值域即得结果.

【详解】

由知，,

时，是增函数，，

又，∴在上恒成立，

而，．

故答案为：．

5．（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）已知函数，则不等式的解集为___________.

【答案】

【解析】

根据函数奇偶性的定义，得到为奇函数，再根据导数求得函数为上单调递减函数，把不等式，转化为，即可求解.

【详解】

由题意，函数的定义域为，

且满足，即，

所以函数为奇函数，

又由，

因为，当且仅当时，即时，等号成立，

所以，所以函数为上单调递减函数，

又因为，即，

即，所以，即，

解得，即不等式的解集为.

故答案为：.

6．（2020·重庆市云阳江口中学校高三月考）已知函数，，，且对于任意实数x，恒有.

（1）求函数的解析式；

（2）已知函数在区间上单调，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）由偶函数定义待定系数b即可；

（2）函数在区间上单调转化为“在上恒成立”和“在上恒成立”两个问题分别求解.

【详解】

（1）由题设得：，

，则，

对于任意实数x都成立，，.

（2），

.

要使在上单调，只需在上恒成立，或在上恒成立．

则在上恒成立，或在上恒成立．

即在上恒成立，或在上恒成立.

设，则.

要使在上恒成立，则，

要使 在上恒成立，则.

或.

7．（2021·全国高三专题练习（理））设函数.

（Ⅰ）设是图象的一条切线，求证：当时，与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关；

（Ⅱ）若函数在定义域上单调递减，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）设切点为，求出切线方程并计算与坐标轴围成的三角形的面积为2，故可得相应的结论.

（Ⅱ）由题设可得，利用参变分离可得的取值范围.

【详解】

（Ⅰ）当时，，，

设图象上任意一点，切线斜率为.    

过点的切线方程为.

令，解得；令，解得.        

切线与坐标轴围成的三角形面积为.

所以与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关.  

（Ⅱ）由题意，函数的定义域为.

因为在上单调递减，

所以在上恒成立，

即当，恒成立，

所以

因为当，，当且仅当时取等号.

所以当时，

所以.   

 所以的取值范围为.

8．（2021·河南商丘市·高三月考（理））已知函数.

（1）求的最大值；

（2）若，分析在上的单调性.

【答案】（1）最大值为；（2）在上单调递减.

【解析】

(1)求导后，判断单调性进而求出最大值即可；

(2)由题意可知，求导后表达式比较复杂，故因式分解后构造新的函数，通过二次求导来判断的正负号，进而判断出在上的单调性.

【详解】

(1)由条件知，

令，得，

由，得，由，得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以的最大值为.

(2)由已知得，

所以，

当时，.

令，则，

当时，，所以，

所以在上单调递减，

所以，

所以，

从而，所以在上单调递减.

9．（2021·全国高三专题练习）已知函数.

（1）讨论函数的单调区间；

（2）若函数对都有恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【解析】

（1）求出函数导数，分,讨论，当时，根据两根关系讨论，即可求出函数的单调区间；

（2）不妨令，由恒成立可得在上为减函数，利用导数恒成立求解即可.

【详解】

（1）依题意有定义域为，

当时，，，

∴当时，为增函数，

当时，，为减函数；

当时，令，得，

（i）当，，即当时，，则时，在，上均为增函数；在上为减函数；

（ii）当，，即时，，上为增函数；

(iii)当，，即时，则时，在，上均为增函数；在上为减函数.

综上：当时，增区间为，，减区间为；

当时，增区间为；

当时，增区间为和，减区间为；

当时，增区间为，减区间为.

（2）不妨令，则，即

，令，则在上为减函数.

即对恒成立.

令，

当时，所以当时，

∴

故的取值范围为.

10．（2020·四川成都市·北大附中成都为明学校高三月考（文））已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由，得到，求导，分别求得，写出切线方程； 

（2）设，易知在上单调递减，则，  然后分，，讨论求解.

【详解】

（1）当时，，

则，

所以，

所以，所求切线方程为，

即. 

（2）设，

则，

所以在上单调递减，

从而，

即. 

（i）当时，，

则，

则，

若在上单调递增，

则对于任意的恒成立，

即.

因为，

所以当时，，

所以，又，

此时的取值范围为

（ii）当时，，

则，

则，

若在上单调递增，

则对于任意的恒成立，

即.

因为，

所以当时，，

所以，

此时的取值范围为. 

（iii）当时，则存在唯一的，

使得.

当时，，

即存在且，

使得，

从而，

即，

这与“在上为增函数”矛盾，

此时不合题意.

综上，实数的取值范围

1．（2021·全国高考真题（理））设，，．则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.

【详解】

,

所以;

下面比较与的大小关系.

记,则,，

由于

所以当0<x<2时，,即,,

所以在上单调递增，

所以,即,即;

令,则,,

由于，在x>0时,,

所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b<c;

综上，,

故选：B.

2.（2018·全国高考真题（文））函数的图像大致为（    ）

A．    B．

C．    D．

【答案】D

【解析】

函数过定点，排除，

求得函数的导数，

由得，

得或，此时函数单调递增，排除，故选D.

3．（2017·江苏高考真题）已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_________。

【答案】

【解析】因为，所以函数是奇函数，

因为，所以数在上单调递增，

又，即，所以，即，

解得，故实数的取值范围为．

4．（2020·全国高考真题（文））已知函数．

（1）讨论的单调性；

【答案】（1）详见解析；(2).

【解析】

（1）由题，，

当时，恒成立，所以在上单调递增；

当时，令，得，令，得，

令，得或，所以在上单调递减，在

，上单调递增.

5.（2019年高考全国Ⅲ卷理）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）或.

【解析】（1）．

令，得x=0或.

若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；

若a=0，在单调递增；

若a<0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减.

（2）满足题设条件的a，b存在.

（i）当a≤0时，由（1）知，在[0，1]单调递增，所以在区间[0，l]的最小值为，最大值为.此时a，b满足题设条件当且仅当，，即a=0，．

（ii）当a≥3时，由（1）知，在[0，1]单调递减，所以在区间[0，1]的最大值为，最小值为．此时a，b满足题设条件当且仅当，b=1，即a=4，b=1．

（iii）当0<a<3时，由（1）知，在[0，1]的最小值为，最大值为b或．

若，b=1，则，与0<a<3矛盾.

若，，则或或a=0，与0<a<3矛盾．

综上，当且仅当a=0，或a=4，b=1时，在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．

6．（2016北京理）设函数，曲线在点处的切线方程为，

（1）求，的值；

（2）求的单调区间.

【答案】（Ⅰ），；（2）的单调递增区间为.

【解析】

（1）因为，所以.

依题设，即

解得；（2）由（Ⅰ）知.

由即知，与同号.

令，则.

所以，当时，，在区间上单调递减；

当时，，在区间上单调递增.

故是在区间上的最小值，

从而.

综上可知，，，故的单调递增区间为.