2023年高考数学一轮复习课时规范练13函数模型及其应用含解析北师大版文

课时规范练13　函数模型及其应用

基础巩固组

1.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.

注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.

在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为(　　)

A.6升 B.8升 C.10升 D.12升

答案:B

解析:5月1日到5月15日,汽车行驶了35600-35000=600(千米),实际耗油48升,所以该车每100千米平均耗油量为=8(升).

2.(2021四川成都诊断测试)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”,与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N=,其中d0为安全距离(单位:m),v为车速(单位:m/s).当安全距离d0取30 m时,该道路一小时“道路容量”的最大值约为(　　)

A.135 B.149 C.165 D.195

答案:B

解析:由题意得,N=≈149,当且仅当0.3v=,即v=10时,等号成立,所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.

3.(2021西藏拉萨二模)某大型建筑工地因施工噪音过大,被周围居民投诉.现环保局要求其整改,降低声强.已知声强I(单位:W/m2)表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度,声强级L(单位:dB)与声强I的函数关系式为L=10lg(aI),其中a为正实数.已知I=1013 W/m2时,L=10 dB.若整改后的施工噪音的声强为原声强的10-2,则整改后的施工噪音的声强级降低了(　　)

A.50 dB B.40 dB C.30 dB D.20 dB

答案:D

解析:由已知得10=10·lg(a×1013),解得a=10-12,故L=10·lg(10-12×I)=10(-12+lgI).

设施工噪音原来的声强为I1,声强级为L1,整改后的声强为I2,声强级为L2,则L1-L2=10(-12+lgI1)-10(-12+lgI2)=10(lgI1-lgI2)=10·lg=20.

4.(2021江西吉安模拟)根据《道路交通安全法》规定:驾驶员在血液中的酒精含量大于或等于20 mg/100 mL,小于80 mg/100 mL时的驾驶行为视为饮酒驾驶.某人喝了酒后,血液中的酒精含量升到60 mg/100 mL.在停止喝酒后,若血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少,为了保障交通安全,这人至少经过几小时才能开车(　　)(精确到1小时,参考数据:lg 3≈0.48,lg 2≈0.3)

A.7 B.6 C.5 D.4

答案:C

解析:设这人至少经过x小时才能开车,由题意得60(1-20%)x<20,即0.8x<,所以x>log0.8=4.8,所以这人至少经过5小时才能开车.

5.(2021广东深圳一模)冈珀茨模型(y=k)是由冈珀茨(Gompertz)提出,可作为动物种群数量变化的模型,并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型:y=k0(当t=0时,表示2020年初的种群数量),若m(m∈N+)年后,该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半,则m的最小值为　　　　　.(ln 2≈0.7) 

答案:6

解析:令t=m,由题意知,k0k0k0·e1.4,所以2<得1.4(1-e-0.125m)>ln2≈0.7,则1-e-0.125m>,所以e-0.125m<,解得m>=5.6,所以m的最小值为6.

综合提升组

6.(2021福建厦门一模)某医药研究机构开发了一种新药,据监测,如果患者每次按规定的剂量注射该药物,注射后每毫升血液中的含药量y(单位:微克)与时间t(单位:小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进一步测定,当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时,治疗该病有效,有下列说法:

①a=3;②注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时;③注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克;④注射一次治疗该病的有效时间长度为5小时.

其中说法正确的序号有　　　　　. 

答案:①④

解析:由函数图像可知y=

当t=1时,y=4,即=4,解得a=3,∴y=故①正确;

药物刚好起效的时间,4t=0.125,解得t=,药物刚好失效的时间,=0.125,解得t=6,

故药物有效时长为6-=5小时,药物的有效时间不到6个小时,故②错误,④正确;

注射该药物小时后每毫升血液含药量为4=0.5微克,故③错误.

7.(2021云南昆明一中高三月考)科学家在研究物体的热辐射能力时定义了一个理想模型叫“黑体”,即一种能完全吸收照在其表面的电磁波(光)的物体.然后,黑体根据其本身特性再向周边辐射电磁波,科学研究发现单位面积的黑体向空间辐射的电磁波的功率B与该黑体的绝对温度T的4次方成正比,即B=σT4,σ为玻尔兹曼常数.而我们在做实验数据处理的过程中,往往不用基础变量作为横纵坐标,以本实验结果为例,B为纵坐标,以T4为横坐标,则能够近似得到　　　　　(曲线形状). 

答案:射线

解析:因为B=σT4,σ为玻尔兹曼常数.以B为纵坐标,以T4为横坐标,因为x=T4≥0,所以B=σx(x≥0),所以曲线是一条射线.

创新应用组

8.(2021山东菏泽高三期中)某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案,要求奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,奖金不超过90万元,同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为y=f(x)时,在估计能获得[25,1 600]万元的投资收益时,该公司对函数模型的基本要求是:当x∈[25,1 600]时,①f(x)是递增的;②f(x)≤90恒成立;③f(x)恒成立.

(1)现有两个奖励函数模型:①f(x)=x+10;②f(x)=2-6.试分析这两个函数模型是否符合公司要求?

(2)已知函数f(x)=a-10(a≥2)符合公司奖励方案函数模型要求,求实数a的取值范围.

解:(1)对于函数模型:f(x)=x+10,验证条件③:当x=30时f(x)=12,而=6,

即f(x)不成立,故该函数模型不符合公司要求;

对于函数模型:f(x)=2-6,当x∈[25,1600]时,条件①f(x)是增函数满足;

∴f(x)max=2-6=2×40-6=74<90,满足条件②;

对于条件③:记g(x)=2-6-(25≤x≤1600),

则g(x)=--5)2-1,[5,40],∴当=5时,g(x)max=-(5-5)2-1=-1<0,∴f(x)恒成立,即条件③也成立.

故函数模型f(x)=2-6符合公司要求.

(2)∵a≥2,∴函数f(x)=a-10符合条件①;

由函数f(x)=a-10符合条件②,得a-10=a×40-10≤90,解得a;

由函数f(x)=a-10符合条件③,得a-10对x∈[25,1600]恒成立,即a对x∈[25,1600]恒成立.

2,当且仅当,即x=50时等号成立,

∴a≤2

综上所述,实数a的取值范围是