人教版 (2019)选择性必修 第一册5 实验：用单摆测量重力加速度导学案

实验：用单摆测量重力加速度

一、实验目的

用单摆测定当地的重力加速度。

二、实验器材

长约1 m的细线、有小孔的摆球、带铁夹的铁架台、游标卡尺、毫米刻度尺、停表。

如图所示为用单摆测量重力加速度的装置，如何测量摆长？

提示：先用游标卡尺测出小球直径，再用毫米刻度尺测出摆线长，然后根据公式l＝l′＋算出摆长。

三、实验原理与设计

1．实验的基本思想——理想化模型。

单摆在偏角很小(不大于5°)时的运动，可以看成简谐运动。

2．实验原理：由单摆的周期公式T＝2π，可得g＝，据此通过实验测出摆长l和周期T，即可计算得到当地的重力加速度。

3．实验设计——两个物理量的测量方法。

(1)单摆长度的测量：用刻度尺测量单摆的线长，用游标卡尺测量摆球的直径。摆长即摆线静止时从悬点到球心间的距离。

(2)单摆周期的测量：测出单摆n次全振动的总时间t，单摆周期为T＝。

实验步骤

1．做单摆：让细线穿过球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆。

2．记录平衡位置：将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面之外，然后把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂。在单摆平衡位置处做上标记。

3．测摆长：用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d(准确到mm)，然后计算出悬点到球心的距离l＝l′＋，即为摆长。

4．测周期：把此单摆从平衡位置拉开一个很小的角度(这个角度最好不大于5°)，再释放小球。当摆球摆动稳定以后，经过最低位置时，用停表开始计时，测量单摆全振动30次(或50次)的时间，求出一次全振动的时间，即单摆的振动周期。

5．变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复步骤3、4，将数据填入表格。

6．根据单摆的周期公式，计算出每次实验的重力加速度；求出几次实验得到的重力加速度的平均值，即本地区的重力加速度的值。

7．将测得的重力加速度数值与当地重力加速度数值加以比较，如有误差，分析产生误差的原因。

(1)用刻度尺测摆线长时应不应该挂上摆球？为什么？

提示：由于运动过程中摆球是挂在摆线下端的，因此测摆线长时应挂上摆球且在其保持静止时测量。

(2)用秒表测时间时将摆球摆至平衡位置时开始计时好还是在其摆至最大位移处时开始计时好？为什么？

提示：由于摆球在平衡位置时速度最大，发生相同位移所用时间最短，而人的反应时间是一定的，故应在摆球运动至平衡位置时开始计时，此时误差最小。

数据收集与分析

1．公式法：根据公式g＝，将每次实验的l、n、t数值代入，计算重力加速度g，然后取平均值。设计如表所示实验表格：

2.图像法：作出T2­l图像，由T2＝可知T2­l图线是一条过原点的直线，其斜率k＝，求出k，可得g＝。

从减小实验误差的角度分析，哪一种方法更好？

提示：由于图像法通常选取更多组数据且描点作图能去掉某些误差较大的点，故图像法更有利于减小误差。

误差分析

1．系统误差：主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，球、线是否符合要求，摆角是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等。

2．偶然误差：主要来自时间(即单摆周期)的测量上。因此，要注意测准时间(周期)，要从摆球通过平衡位置开始计时，并最好采用倒计时计数的方法，即4，3，2，1，0，1，2，…在数“零”的同时按下停表开始计时，不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然误差，应多次测量后取平均值。

如何减小实验误差？

提示：两个方面。一、系统误差：选择合适的材料做摆线和摆球以尽量符合单摆的要求；摆线上端要系牢固，不可松动；控制摆角及摆动方向，不可成为圆锥摆；二、偶然误差：准确测量摆长及周期，用多次测量求平均值或作图法减小误差。

注意事项

1．构成单摆的条件：摆线应选择细且不易伸长的线(长度1 m左右)，小球应选用密度较大、体积较小的金属球(直径最好不超过2 cm)，摆角要小，最好不超过5°。可通过估算振幅的办法掌握。

2．固定悬点：单摆悬线的上端不可随意卷在杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑，摆长改变。

3．摆动方法：要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放。

4．测摆长：摆长应是悬点到球心的距离，等于摆线长加上小球半径。

5．测周期：

(1)要从摆球经过平衡位置时开始计时。

(2)要测多次全振动的时间来计算周期，如在摆球过平衡位置时开始计时并数零，以后摆球每过一次平衡位置数一个数，最后总计时为t，总数为n，则周期T＝＝。

　教材原型实验

角度1实验原理和实验操作

【典例1】某实验小组在利用如图装置测定当地重力加速度的实验中：

(1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图所示，则该摆球的直径为________cm。

(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是____________________

___________________________________________________________________。

(填选项前的字母)

A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时

B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期

C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大

D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小

【解题探究】

(1)单摆的摆长指的是什么？如何测量？

提示：单摆的摆长指的是悬点到摆球球心的距离，应先用游标卡尺测量摆球的直径，再用刻度尺测量摆线长，然后根据公式l＝l′＋计算摆长。

(2)如何选择摆线和小球？

提示：摆线应选择轻且不易伸长的细线，小球应选择密度较大、体积较小的金属球。

【解析】(1)主尺读数加游标尺读数的总和等于最后读数，0.9 cm＋7× mm＝0.97 cm，不需要估读。

(2)单摆符合简谐运动的条件是最大偏角不超过5°，并从平衡位置开始计时，故A错误；若第一次过平衡位置计为“0”则周期T＝，若第一次过平衡位置计为“1”，则周期T＝，B错误；由T＝2π得g＝，其中l为摆长，即悬线长加摆球半径，若为悬线长加摆球直径，由公式知g偏大，故C正确；为了能将摆球视为质点和减少空气阻力引起的相对误差，应选密度较大、体积较小的摆球，故D错误。

答案：(1)0.97　(2)C

【实验改进】

实验小组的同学们用如图1所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。

(1)用l表示单摆的摆长，用T表示单摆的周期，重力加速度g＝__________。

(2)(多选)实验时除用到停表、刻度尺外，还应该用到下列器材中的__________(选填选项前的字母)。

A．长约1 m的细线　　　　   B．长约1 m的橡皮绳

C．直径约1 cm的均匀铁球      D．直径约10 cm的均匀木球

(3)选择好器材，将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，应采用图__________中所示的固定方式。

(4)(多选)将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是__________(选填选项前的字母)。

A．测出摆线长作为单摆的摆长

B．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动

C．在摆球经过平衡位置时开始计时

D．用停表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期

(5)甲同学多次改变单摆的摆长并测得相应的周期，他根据测量数据画出了如图4所示的图像，但忘记在图中标明横坐标所代表的物理量。你认为横坐标所代表的物理量是____________(选填“l2”“l”或“”)，若图线斜率为k，则重力加速度g＝__________(用k表示)。

(6)乙同学测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值，造成这一情况的原因可能是__________(选填选项前的序号)。

A．开始摆动时振幅较小

B．开始计时时，过早按下停表

C．测量周期时，误将摆球(n－1)次全振动的时间记为n次全振动的时间

【解析】(1)由单摆周期公式T＝2π，得g＝。

(2)摆线尽量选长且不易伸缩的细线，摆球尽量选重且直径小的。

(3)摆动过程中摆长应不变。

(4)摆长应为悬线长与摆球半径之和；要测多次全振动所用时间计算周期，可减小误差。

(5)由T＝2π知T­ 图像是一次函数图像，斜率k＝，得g＝。

(6)由T＝2π，得g＝，C项可使T偏小，则g偏大，C正确。过早按下停表，会使T偏大，g偏小。A项对T的测量无影响。

答案：(1)　(2)A、C　(3)3　(4)B、C　(5)　　(6)C

角度2实验数据处理

【典例2】将一单摆装置竖直挂于某一深度h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆振动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离为l，并通过改变l而测出对应的周期T，再以T2为纵轴、l为横轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图像得出小筒的深度h和当地的重力加速度。

(1)利用单摆测重力加速度时，为了减小误差，我们利用停表来测量单摆多次全振动的时间，从而求出振动周期。除了停表之外，还需要的测量工具为__________。

A．天平　　　B．毫米刻度尺　　　C．螺旋测微器

(2)如果实验中所得到的T2­l关系图像如图乙所示，那么真正的图像应是a、b、c中的________。

(3)由图像可知，小筒的深度h＝________m，当地的重力加速度g＝________m/s2。

【解题探究】

(1)如何选择需要的实验仪器？

提示：根据公式T＝及T＝2π，解得g＝，由此可知，该实验除了需要用停表测时间外，只需要刻度尺即可。

(2)图像T2­l的斜率和截距的含义是什么？

提示：由T＝2π得：T2＝l，故图像T2­l的斜率k＝，横截距的大小表示小筒的深度h。

【解析】(1)本实验需要测量时间求出周期，并要测量筒的下端口到摆球球心的距离l，则所需的测量工具是毫米刻度尺，故选B。

(2)由单摆周期公式得：T＝2π得到：T2＝

当l＝0时，T2＝＞0，则真正的图像是a。

(3)当T2＝0时，l＝－h，即图像与l轴交点坐标，故

h＝－l＝30 cm＝0.30 m，图线的斜率大小k＝，由图并结合数学知识得到k＝4 s2/m，解得g＝π2 m/s2≈3.142 m/s2＝9.86 m/s2。

答案：(1)B　(2)a　(3)0.30　9.86

【素养提升】

在“利用单摆测定重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到g＝。只要测出多组单摆的摆长l和运动周期T，作出T2­l图像，就可以求出当地的重力加速度。理论上T2­l图像是一条过坐标原点的直线，某同学根据实验数据作出的图像如图所示。

(1)造成图像不过坐标原点的原因是_____________________________________

___________________________________________________________________。

(2)由图像求出的重力加速度g＝__________m/s2(π2取9.86)。

【解析】(1)既然所画T2­l图像与纵坐标有正截距，这就表明l的测量值与真实值相比偏小了，则意味着测摆长时可能漏掉了摆球半径。

(2)图像的斜率k＝＝4 s2/m，则g＝≈3.142 m/s2＝9.86 m/s2。

答案：(1)测摆长时漏掉了摆球半径　(2)9.86

　创新型实验

【典例3】在暗室中用如图甲所示装置做“测定重力加速度”的实验。实验器材有：铁架台、漏斗、橡皮管、尖嘴玻璃管、螺丝夹子、接水铝盒、带荧光刻度的毫米刻度尺、频闪仪，实验步骤如下：

①在漏斗内盛满清水，旋松螺丝夹子，水滴会以一定的频率一滴滴落下。

②用频闪仪发出的白闪光将水滴流照亮，由大到小逐渐调节频闪仪的频率直到第一次观察到空间中有一串仿佛固定不动的水滴。

③用竖直放置的毫米刻度尺测得各个水滴所对应的刻度。

④处理实验数据。

(1)实验中第一次观察到空间中有一串仿佛固定不动的水滴

时，频闪仪的闪光频率f1与水滴滴落的频率f2的关系为：__________。

(2)实验中第一次观察到水滴“固定不动”时的闪光频率为30 Hz，某同学读出其中比较圆的水滴到第一个水滴O的距离如图乙所示，根据数据测得当地重力加速度应为g＝________m/s2，水滴C此时的速度vC＝__________m/s。(结果都保留三位有效数字)

【解析】(1)频闪仪的闪光频率f1与水滴滴落的频率f2的关系为f1＝f2；

(2)根据匀变速直线运动中时间中点的瞬时速度等于该过程中的平均速度，有：

两水滴之间的时间为：T＝＝ s

vC＝＝2.28 m/s

选择图中的后四段位移，根据逐差法有：

sCD－sAB＝2a1T2

sDE－sBC＝2a2T2

a＝＝＝9.72 m/s2。

答案：(1)f1＝f2　(2)9.72　2.28

　【创新评价】

【创新探究】

(1)本实验中若总是观察不到一串仿佛固定不动的水滴，可能是什么原因？(假设频闪仪没问题)

提示：可能是螺丝夹子夹不紧了或者是尖嘴玻璃管尖端开口太大。

(2)如何操作以尽可能减小误差？

提示：一要选择合适的器材，包括夹子、玻璃管等；二要漏斗固定在合适的高度；三要多次测量求平均值。

1．在“利用单摆测重力加速度”的实验中，有个同学发现自己测得的重力加速度总是偏大，其原因可能是(　　)

A.实验室处在高山上，距离海平面太高

B.单摆所用的摆球质量太大

C.把n次全振动的时间t误作为(n－1)次全振动的时间

D.以摆线长作为摆长来计算了

【解析】选D。用单摆测定当地重力加速度实验原理是利用单摆的周期公式：T＝2π，得到计算重力加速度的表达公式：g＝。实验室处在高山上，距离海平面太高，将导致测量的重力加速度偏小，故A不符合题意；从计算重力加速度的表达公式中可以看到，重力加速度与摆球的质量无关，故B不符合题意；实验时误把n次全振动次数记为n－1次，由T＝>知，算出的周期偏大，g的测量值偏小，故C不符合题意；以摆线长作为摆长来计算，摆长偏小，则g的测量值偏小，故D符合题意。

【加固训练】

某同学在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，如果测得的g值偏小，可能的原因是(　　)

A.测摆线长时摆线拉得过紧

B.摆线上端悬点未固定，振动中出现松动使摆线长度增大了

C.开始计时时，迟按停表

D.实验中误将49次全振动计为50次全振动

【解析】选B。根据单摆的周期公式T＝2π解得g＝；测摆线长时摆线拉得过紧，导致摆长测量值偏大，即测得的g值偏大，A错误；摆线上端悬点未固定，振动中出现松动使摆线长度增大了，即测量值小于实际摆长，测得的g值偏小，B正确；开始计时时，迟按停表，导致测量周期偏小，测得的g值偏大，C错误；实验中误将49次全振动计为50次全振动，由于周期T＝，n偏大，则测得周期偏小，测得的g值偏大，D错误。故选B。

2．传感器在物理实验研究中具有广泛的应用。单摆在运动过程中，摆线的拉力在做周期性的变化，这个周期性变化的力可用拉力传感器显示出来，从而可进一步研究单摆的运动规律。

(1)实验时用游标卡尺测量摆球直径，示数如图所示，该摆球的直径d＝__________mm。

(2)接着测量了摆线的长度为l0，实验时用拉力传感器测得摆线的拉力F随时间t变化的图像如图所示，则重力加速度的表达式g＝__________________________(用题目和图中的已知物理量表示)。

(3)某小组改变摆线长度l0，测量了多组数据，在进行数据处理时，甲同学把摆线长l0作为摆长，直接利用公式求出各组重力加速度值再求出平均值；乙同学作出T2­l0图像后求出斜率，然后算出重力加速度，两同学处理数据的方法对结果的影响是：甲__________，乙__________(选填“偏大”“偏小”或“无影响”)。

【解析】(1)主尺示数是15 mm，游标尺示数是4×0.1 mm＝0.4 mm，摆球的直径为15 mm＋0.4 mm＝15.4 mm。

(2)在单摆摆动的过程中，每一个周期中有两次拉力的最大值，由F­t图像可知，单摆周期T＝4t0，根据公式T＝2π整理得：g＝①。

(3)根据公式①甲同学把摆线长l0作为摆长，则摆长的测量值偏小，则g的测量值偏小；乙同学作出T2­l0图像后求出斜率k＝，重力加速度：g＝②，由公式②可知，该方法计算出的重力加速度与摆长无关。

答案：(1)15.4　(2)　(3)偏小　无影响

3．(2021·泰州高二检测)某同学利用单摆测定当地重力加速度。如图甲所示，实验时使摆球在垂直于纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动最低点的左、右两侧分别放置一激光光源、光敏电阻与某一自动记录仪相连；他用刻度尺测量细绳的悬点到球的顶端的距离当作摆长，分别测出摆长为L1和L2时，该仪器显示的光敏电阻的阻值R随时间t变化的图线分别如图乙、丙所示。

(1)根据图乙、丙可知：当摆长为L1时，单摆的周期为T1＝__________；当摆长为L2时，单摆的周期为T2＝__________。

(2)请用所测量的物理量L1、L2、T1、T2，写出摆球直径的表达式d＝____________________，当地的重力加速度值g＝____________________。

(3)写出两条对提高实验结果准确程度有益的建议：

①_________________________________________________________________；

②_________________________________________________________________。

【解析】(1)单摆在一个周期内两次经过平衡位置，每次经过平衡位置，单摆会挡住细激光束，从R­t图线可知周期为T1＝2t1，T2＝2t2。

(2)摆长等于摆线的长度加上小球的半径，根据单摆的周期公式T＝2π得：T1＝2π，T2＝2π。

联立解得，d＝，g＝

(3)提高实验结果准确程度建议：①摆线的最大摆角不超过5°；②选择密度大的钢球。

答案：(1)2t1　2t2　(2)　

(3)见解析

4．甲、乙两个学习小组分别利用单摆测定重力加速度。

(1)甲组同学采用图甲所示的实验装置进行实验。

①为比较准确地测量出当地重力加速度的数值，除停表外，在下列器材中，还应该选用__________。(用器材前的字母表示)

a．长度接近1 m的细绳

b．长度为30 cm左右的细绳

c．直径为1.8 cm的塑料球

d．直径为1.8 cm的铁球

e．最小刻度为1 cm的米尺

f．最小刻度为1 mm的米尺

②该组同学先测出悬点到小球球心的距离l，然后用停表测出单摆完成n次全振动所用的时间t，请写出重力加速度的表达式g＝______________。(用所测物理量表示)

(2)乙组同学在图甲所示装置的基础上再增加一个速度传感器，

如图乙所示。将摆球拉开一小角度使其做简谐运动，速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的关系，如图丙所示的v­t图线。

①由图丙可知，该单摆的周期T＝________s。

②更换摆线长度后，多次测量，根据实验数据，利用计算机作出T2­l(周期二次方－摆长)图像，并根据图像整理得到方程T2＝4.04l＋0.035。由此可以得出当地的重力加速度g＝______m/s2。(取π2＝9.86，结果保留三位有效数字)

【解析】(1)①摆线长度应远大于摆球的直径，所以选择长近1 m的细线；考虑到空气阻力的影响要小，选直径为1.8 cm的铁球；需要测量摆长和摆球的直径，所以需要最小刻度为1 mm的米尺和游标卡尺，故选a、d、f。②因为T＝，则g＝l。

(2)①根据单摆振动的v­t图像知，单摆的周期T＝2.0 s。

②根据T＝2π得T2＝，得图线的斜率：k＝＝4.04 s2/m，解得：g≈9.76 m/s2。

答案：(1)①a、d、f　②　(2)①2.0　②9.76