高中人教版 (2019)5 实验：用单摆测量重力加速度复习练习题

这是一份高中人教版 (2019)5 实验：用单摆测量重力加速度复习练习题，共11页。试卷主要包含了实验设计，实验步骤，数据处理，误差分析，注意事项等内容，欢迎下载使用。

一、实验设计
1．实验原理
当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2πeq \r(\f(l,g))，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g＝eq \f(4π2l,T2)。因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值。
2．实验器材
带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(约1米)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺。
二、实验步骤
1．做单摆
取约1 m长的细丝线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的上端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂。实验装置如图。
2．测摆长
用毫米刻度尺量出摆线长l′，用游标卡尺测出小钢球直径D，则单摆的摆长l＝l′＋eq \f(D,2)。
3．测周期
将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆做30～50次全振动的总时间，算出平均每一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。反复测量三次，再算出测得周期数值的平均值。
4．改变摆长，重做几次实验。
三、数据处理
1．公式法
将测得的几组周期T和摆长l的对应值分别代入公式g＝eq \f(4π2l,T2)中算出重力加速度g的值，再算出g的平均值，即为当地重力加速度的值。
2．图像法
由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可得l＝eq \f(g,4π2)T2，因此以摆长l为纵轴、以T2为横轴作出的l­T2图像是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率k，即可求出g值。k＝eq \f(l,T2)＝eq \f(Δl,ΔT2)，g＝4π2k。
四、误差分析
1．系统误差
主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，摆球是否可看作质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等。
2．偶然误差
主要来自时间(即单摆周期)的测量。因此，要注意测准时间(周期)。要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒计时计数的方法，即4，3，2，1，0，1，2…在数“零”的同时按下秒表开始计时。不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。
五、注意事项
1．选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1 m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。
2．单摆悬线的上端不可随意卷在铁架台的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象。
3．注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的夹角不超过5°。可通过估算振幅的办法掌握。
4．摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。
5．计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，为便于计时，可在摆球平衡位置的正下方作一标记。以后摆球每次从同一方向通过最低位置时进行计数，且在数“零”的同时接下秒表，开始计时计数。
类型一 实验原理与操作
【典例1】 利用如图1所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。
图1 图2
(1)实验室有如下器材可供选用：
A．长约1 m的细线
B．长约1 m的橡皮绳
C．直径约2 cm的均匀铁球
D．直径约5 cm的均匀木球
E．秒表
F．时钟
G．10分度的游标卡尺
H．最小刻度为毫米的米尺
选择游标卡尺和米尺后，还需要从上述器材中选择________(填写器材前的字母)。
(2)用10分度的游标卡尺测量小球的直径d，如图2所示，读出小球直径的值为________mm。
(3)将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，将其上端固定，下端自由下垂。用米尺测量摆线长度为l，小球在竖直平面内小角度平稳摆动后，测得小球完成n次全振动的总时间为t，请写出重力加速度的表达式g＝___________________。(用l，d，n，t表示)
(4)正确操作后，根据多次测量数据计算出实验所在处的重力加速度值，比较后发现：此值比北京的重力加速度值略小，则实验所在处的地理位置与北京的主要不同点可能是____________________
__________________________________________(写出一条即可)。
[解析] (1)摆线的长度不能伸长，所以摆线选择长约1 m的细线，摆球选择质量大体积小的球，所以选择直径约2 cm的均匀铁球，实验中需要用秒表测量单摆摆动的时间，从而得出周期，故选A、C、E。
(2)游标卡尺的主尺读数为17 mm，游标尺读数为0.1×6 mm＝0.6 mm，则小球直径为17.6 mm。
(3)单摆的摆长L＝l＋eq \f(d,2)，
单摆的周期T＝eq \f(t,n)，
根据T＝2πeq \r(\f(L,g))
得：g＝eq \f(4π2L,T2)＝eq \f(4π2n2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(l＋\f(d,2))),t2)。
(4)多次测量数据计算出实验所在处的重力加速度值比北京的重力加速度值略小，可能是实验所在处纬度低或海拔比较高。
[答案] (1)ACE (2)17.6 (3)eq \f(4π2n2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(l＋\f(d,2))),t2) (4)实验所在处比北京纬度低或海拔高(其他答案合理也可)
类型二 数据处理和误差分析
【典例2】 实验小组的同学们用如图1所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。
图1
(1)用l表示单摆的摆长，用T表示单摆的周期，重力加速度g＝________。
(2)(多选)实验时除用到停表、刻度尺外，还应该用到下列器材中的________(选填选项前的字母)。
A．长约1 m的细线
B．长约1 m的橡皮绳
C．直径约1 cm的均匀铁球
D．直径约10 cm的均匀木球
(3)选择好器材，将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，应采用图________中所示的固定方式。
图2 图3
(4)(多选)将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是________(选填选项前的字母)。
A．测出摆线长作为单摆的摆长
B．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动
C．在摆球经过平衡位置时开始计时
D．用停表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期
(5)甲同学多次改变单摆的摆长并测得相应的周期，他根据测量数据画出了如图4所示的图像，但忘记在图中标明横坐标所代表的物理量。你认为横坐标所代表的物理量是________(选填“l2”“l”或“eq \r(l)”)，若图线斜率为k，则重力加速度g＝________(用k表示)。
图4
(6)乙同学测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值，造成这一情况的原因可能是________(选填选项前的序号)。
A．开始摆动时振幅较小
B．开始计时时，过早按下停表
C．测量周期时，误将摆球(n－1)次全振动的时间记为n次全振动的时间
[解析] (1)由单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，得g＝eq \f(4π2l,T2)。
(2)摆线尽量选长且不易伸缩的细线，摆球尽量选重且直径小的。
(3)摆动过程中摆长应不变。
(4)摆长应为悬线长与摆球半径之和；要测多次全振动所用时间计算周期，可减小误差。
(5)由T＝2πeq \r(\f(l,g))知T­eq \r(l) 图像是一次函数图像，斜率k＝eq \f(2π,\r(g))，得g＝eq \f(4π2,k2)。
(6)由T＝2πeq \r(\f(l,g))，得g＝eq \f(4π2l,T2)，C项可使T偏小，则g偏大，C正确。开始计时时，过早按下停表，会使T偏大，g偏小。A项对T的测量无影响。
[答案] (1)eq \f(4π2l,T2) (2)AC (3)3 (4)BC (5)eq \r(l) eq \f(4π2,k2) (6)C
用图像法处理实验数据的技巧
(1)用图像法处理数据既直观又方便，同时也能最大限度地减小偶然误差对实验结果造成的影响。
(2)由于T­l的图像不是直线，不便于进行数据处理，所以采用T2­l的图像，目的是为了将曲线转换为直线，便于利用直线的斜率计算重力加速度。
类型三 创新实验设计
【典例3】 将一单摆装置竖直挂于某一深度h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆振动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离为l，并通过改变l而测出对应的周期T，再以T2为纵轴、l为横轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图像得出小筒的深度h和当地的重力加速度。
甲 乙
(1)利用单摆测重力加速度时，为了减小误差，我们利用停表来测量单摆多次全振动的时间，从而求出振动周期。除了停表之外，还需要的测量工具为________。
A．天平 B．毫米刻度尺 C．螺旋测微器
(2)如果实验中所得到的T2­l关系图像如图乙所示，那么真正的图像应是a、b、c中的________。
(3)由图像可知，小筒的深度h＝________m，当地的重力加速度g＝________m/s2。
[解析] (1)本实验需要测量时间求出周期，并要测量筒的下端口到摆球球心的距离l，则所需的测量工具是毫米刻度尺，故选B。
(2)由单摆周期公式得：T＝2πeq \r(\f(l＋h,g))得到：T2＝eq \f(4π2l＋h,g)
当l＝0时，T2＝eq \f(4π2h,g)＞0，则真正的图像是a。
(3)当T2＝0时，l＝－h，即图像与l轴交点坐标，故
h＝－l＝30 cm＝0.30 m，图线的斜率大小k＝eq \f(4π2,g)，由图并结合数学知识得到k＝4 s2/m，解得g＝π2 m/s2≈3.142 m/s2≈9.86 m/s2。
[答案] (1)B (2)a (3)0.30 9.86
1．(2022·湖北荆门龙泉中学高二期中)某实验小组在进行“用单摆测定重力加速度”的实验中，已知单摆在摆动过程中的摆角小于5°；在测量单摆的周期时，从单摆运动到最低点开始计时且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t；在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长(从悬点到摆球的最上端)为L，再用游标卡尺测得摆球的直径为d(读数如图所示)。
(1)该单摆在摆动过程中的周期T＝________。
(2)用上述物理量的符号写出求重力加速度的一般表达式g＝________。
(3)由图可知，摆球的直径为d＝________mm。
(4)实验结束后，某同学发现他测得的重力加速度的值总是偏大，其原因可能是下述原因中的( )
A．把(n＋1)次摆动的时间误记为n次摆动的时间
B．把n次摆动的时间误记为(n＋1)次摆动的时间
C．以摆线长作为摆长来计算
[解析] (1)t时间内单摆完成全振动的次数为eq \f(n－1,2)，故周期T＝eq \f(2t,n－1)。
(2)单摆的摆长为l＝L＋eq \f(d,2)，由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，得g＝eq \f(π2n－12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(L＋\f(d,2))),t2)。
(3)由图示游标卡尺可知，游标卡尺示数为10 mm＋5×0.05 mm＝10.25 mm。
(4)把(n＋1)次摆动的时间误记为n次摆动的时间，测量周期偏大，则计算出的g值偏小，故A错误；把n次摆动的时间误记为(n＋1)次摆动的时间，使所测周期变小，计算出的g值偏大，故B正确；以摆线长作为摆长来计算，摆长偏小，使所测g值偏小，故C错误。
[答案] (1)eq \f(2t,n－1) (2)eq \f(π2n－12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(L＋\f(d,2))),t2) (3)10.25 (4)B
2．在“用单摆测量重力加速度”的实验中：
(1)小球摆动时偏角α应满足的条件是________，为了减小测量周期的误差，计时开始时，摆球应是经过最______(填“高”或“低”)点的位置。
(2)图甲中停表示数为一单摆全振动50次所经过的时间，则单摆振动周期为________s。
甲 乙
(3)用刻度尺测量摆长，测量情况如图乙所示。O为悬挂点，则单摆的摆长为________cm。
(4)若用l表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝________。
[解析] (1)小球的偏角α很小(α≤5°)时，小球的摆动才近似看成简谐运动。在摆球经过最低点时开始计时，产生的计时误差较小。
(2)由停表读出时间t＝60 s＋42.5 s＝102.50 s，则T＝eq \f(t,n)＝eq \f(102.50,50) s＝2.05 s。
(3)刻度尺的最小刻度为1 mm，由图乙读出悬点到球心之间的距离为0.997 5 m，则L＝0.997 5 m＝99.75 cm。
(4)由T＝2πeq \r(\f(l,g))得g＝eq \f(4π2l,T2)。
[答案] (1)α≤5° 低 (2)2.05 (3)99.75 (4)eq \f(4π2l,T2)
3．航天员分别在地球和月球上探究了单摆周期T与摆长l的关系。多次改变摆长，绘制了T2­l图像，如图所示。在月球上的实验结果对应的图线是______(选填“A”或“B”)。若在月球上得到的图线斜率为k，则月球表面的重力加速度g月＝______。
[解析] 由单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可知T2＝eq \f(4π2,g)l，T2­l图线的斜率k＝eq \f(4π2,g)，则重力加速度g＝eq \f(4π2,k)，图线斜率越大，重力加速度越小。月球上的重力加速度小于地球上的重力加速度，由图像可知，图线A对应月球上的实验结果。
[答案] A eq \f(4π2,k)
4．甲、乙两个学习小组分别利用单摆测定重力加速度。
(1)甲组同学采用图甲所示的实验装置。
①为比较准确地测量出当地重力加速度的数值，除秒表外，在下列器材中，还应该选用________。(用器材前的字母表示)
a．长度接近1 m的细绳
b．长度为30 cm左右的细绳
c．直径为1.8 cm的塑料球
d．直径为1.8 cm的铁球
e．最小刻度为1 cm的米尺
f．最小刻度为1 mm的米尺
②该组同学先测出悬点到小球球心的距离l，然后用秒表测出单摆完成n次全振动所用的时间t。请写出重力加速度的表达式g＝________。(用所测物理量表示)
(2)乙组同学在图甲所示装置的基础上再增加一个速度传感器，如图乙所示。将摆球拉开一小角度使其做简谐运动，速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的关系，如图丙所示的v­t图线。
①由图丙可知，该单摆的周期T＝________s。
②更换摆线长度后，多次测量，根据实验数据，利用计算机作出T2­l(周期二次方－摆长)图像，并根据图像拟合得到方程T2＝4.04l＋0.035。由此可以得出当地的重力加速度g＝________m/s2。(取π2＝9.86，结果保留三位有效数字)
[解析] (1)①细线选择1 m左右的，小球应选择密度大的，所以选择长度近1 m的细绳，直径为1.8 cm的铁球，需要测量摆线长，所以需要最小刻度为1 mm的米尺，故选a、d、f。
②因为T＝eq \f(t,n)，则g＝eq \f(4π2n2l,t2)。
(2)①根据单摆振动的v­t图像知，单摆的周期T＝2.0 s。
②根据T＝2πeq \r(\f(l,g))得T2＝eq \f(4π2l,g)。
图线的斜率：k＝eq \f(4π2,g)＝4.04 s2/m，
解得：g≈9.76 m/s2。
[答案] (1)①adf ②eq \f(4π2n2l,t2) (2)①2.0 ②9.76
实验目标
1．明确用单摆测定重力加速度的原理和方法。
2．知道如何选择实验器材，能熟练地使用秒表。
3．学会用单摆测当地的重力加速度，掌握减小实验误差的方法。