2020-2021学年5 实验：用单摆测量重力加速度导学案

5.实验：用单摆测量重力加速度

[实验目标]　

1.明确用单摆测定重力加速度的原理和方法。

2.知道如何选择实验器材，能熟练地使用秒表。

3.学会用单摆测当地的重力加速度，掌握减小实验误差的方法。

一、实验设计

1．实验原理

当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g＝。因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值。

2．实验器材

带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(约1米)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺。

二、实验步骤

1．做单摆

取约1 m长的细丝线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的上端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂。实验装置如图。

2．测摆长

用毫米刻度尺量出摆线长l′，用游标卡尺测出小钢球直径D，则单摆的摆长l＝l′＋。

3．测周期

将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆做30～50次全振动的总时间，算出平均每一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。反复测量三次，再算出测得周期数值的平均值，取平均值作为测量结果。

4．改变摆长，重做几次实验。

三、数据处理

1．公式法

将测得的几组周期T和摆长l的对应值分别代入公式g＝中算出重力加速度g的值，再算出g的平均值，即为当地重力加速度的值。

2．图像法

由单摆的周期公式T＝2π可得l＝T2，因此以摆长l为纵轴、以T2为横轴作出的l­T2图像是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率k，即可求出g值。k＝＝，g＝4π2k。

四、误差分析

1．系统误差

主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，摆球是否可看作质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等。

2．偶然误差

主要来自时间(即单摆周期)的测量。因此，要注意测准时间(周期)。要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒计时计数的方法，即4,3,2,1,0,1,2…在数“零”的同时按下秒表开始计时。不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。

五、注意事项

1．选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1 m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。

2．单摆悬线的上端不可随意卷在铁架台的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象。

3．注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的夹角不超过5°。可通过估算振幅的办法掌握。

4．摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。

5．计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，为便于计时，可在摆球平衡位置的正下方作一标记。以后摆球每次从同一方向通过最低位置时进行计数，且在数“零”的同时接下秒表，开始计时计数。

类型一　实验原理与操作

【典例1】　利用如图1所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。

图1　　　　　　　图2

(1)实验室有如下器材可供选用：

A．长约1 m的细线

B．长约1 m的橡皮绳

C．直径约2 cm的均匀铁球

D．直径约5 cm的均匀木球

E．秒表

F．时钟

G．10分度的游标卡尺

H．最小刻度为毫米的米尺

选择游标卡尺和米尺后，还需要从上述器材中选择________(填写器材前的字母)。

(2)用10分度的游标卡尺测量小球的直径d，如图2所示，读出小球直径的值为________mm。

(3)将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，将其上端固定，下端自由下垂。用米尺测量摆线长度为l，小球在竖直平面内小角度平稳摆动后，测得小球完成n次全振动的总时间为t，请写出重力加速度的表达式g＝ ______。(用l，d，n，t表示)

(4)正确操作后，根据多次测量数据计算出实验所在处的重力加速度值，比较后发现：此值比北京的重力加速度值略小，则实验所在处的地理位置与北京的主要不同点可能是____________________________________________________

________________________________________________________________________(写出一条即可)。

[解析]　(1)摆线的长度不能伸长，所以摆线选择长约1 m的细线，摆球选择质量大体积小的球，所以选择直径约2 cm的均匀铁球，实验中需要用秒表测量单摆摆动的时间，从而得出周期，故选A、C、E。

(2)游标卡尺的主尺读数为17 mm，游标尺读数为0.1×6 mm＝0.6 mm，则小球直径为17.6 mm。

(3)单摆的摆长L＝l＋，

单摆的周期T＝，

根据T＝2π

得：g＝＝。

(4)多次测量数据计算出实验所在处的重力加速度值比北京的重力加速度值略小，可能是实验所在处纬度低或海拔比较高。

[答案]　(1)ACE　(2)17.6　(3)

(4)实验所在处比北京纬度低或海拔高(其他答案合理也可)

类型二　数据处理和误差分析

【典例2】　(2020·上海交大附中期中)在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝________。若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零刻度线对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是________m。若测定了40次全振动的时间如图乙所示，则停表读数是________s，单摆的摆动周期是________ s。

甲　　　　　　　　　　乙

为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标在以l为横坐标、T2为纵坐标的坐标系上，即图丙中用“·”表示的点，则：

丙

(1)单摆做简谐运动应满足的条件是________。

(2)试根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝______m/s2。(结果取两位有效数字)

[解析]　由单摆的周期公式T＝2π，可得g＝。

由题图甲可知，摆长l＝(88.50－1.00) cm＝87.50 cm＝0.875 0 m。

停表的读数t＝60 s＋15.2 s＝75.2 s，所以T＝＝1.88 s。

(1)单摆做简谐运动的条件是偏角θ≤5°。

(2)连线时使大部分点落在图线上，不在图线上的点均匀分布在图线的两侧(如图)，图线斜率k＝≈4 s2/m。由g＝可知T2­l图线的斜率表示，故＝4 s2/m，可得g≈9.9 m/s2。

[答案]　　0.875 0　75.2　1.88 　(1)偏角小于等于5°　(2)图见解析　9.9

用图像法处理实验数据的技巧

(1)用图像法处理数据既直观又方便，同时也能最大限度地减小偶然误差对实验结果造成的影响。

(2)由于T­L的图像不是直线，不便于进行数据处理，所以采用T2­L的图像，目的是将曲线转换为直线，便于利用直线的斜率计算重力加速度。

类型三　创新实验设计

【典例3】　某小组同学做了“用单摆测量重力加速度”实验后，为进一步探究，将单摆的轻质细线改为刚性重杆。通过查资料得知，这样做成的“复摆”做简谐运动的周期T＝2π，式中Ic为由该摆决定的常量，m为摆的质量，g为重力加速度，r为转轴到重心C的距离。如图(a)，实验时在杆上不同位置打上多个小孔，将其中一个小孔穿在光滑水平轴O上，使杆做简谐运动，测量并记录r和相应的运动周期T；然后将不同位置的孔穿在轴上重复实验，实验数据见表，并测得摆的质量m＝0.50 kg。

(a)　　　　　　　(b)

(1)由实验数据得出图(b)所示的拟合直线，图中纵轴表示________。

(2)Ic的国际单位制单位为________，由拟合直线得到Ic的值为________(保留到小数点后两位)。

(3)若摆的质量测量值偏大，重力加速度g的测量值________(填“偏大”“偏小”或“不变”)。

[解析]　(1)由公式T＝2π得T2r＝＋，故题图(b)中纵轴表示T2r。

(2)由公式T＝2π得Ic＝－mr2，即Ic的国际单位制单位为kg·m2，由题图(b)并结合(1)中的式子可得1.25 s2·m＝，由题图(b)知拟合直线的斜率k＝＝ s2·m－1＝ s2·m－1，解得Ic≈0.17 kg·m2。

(3)图线的斜率与质量无关，故重力加速度的测量值与质量无关，故g的测量值不变。

[答案]　(1)T2r　(2)kg·m2　0.17　(3)不变

1．(2020·湖北荆门龙泉中学高二下期中)某实验小组在进行“用单摆测定重力加速度”的实验中，已知单摆在摆动过程中的摆角小于5°；在测量单摆的周期时，从单摆运动到最低点开始计时且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t；在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长(从悬点到摆球的最上端)为L，再用游标卡尺测得摆球的直径为d(读数如图所示)。

(1)该单摆在摆动过程中的周期T＝________。

(2)用上述物理量的符号写出求重力加速度的一般表达式g＝________。

(3)由图可知，摆球的直径为d＝________mm。

(4)实验结束后，某同学发现他测得的重力加速度的值总是偏大，其原因可能是下述原因中的(　　)

A．把(n＋1)次摆动的时间误记为n次摆动的时间

B．把n次摆动的时间误记为(n＋1)次摆动的时间

C．以摆线长作为摆长来计算

D．以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算

[解析]　(1)t时间内单摆完成全振动的次数为，故周期T＝。

(2)单摆的摆长为l＝L＋，由单摆的周期公式T＝2π，得g＝。

(3)由图示游标卡尺可知，游标卡尺示数为10 mm＋5×0.05 mm＝10.25 mm。

(4)把(n＋1)次摆动的时间误记为n次摆动的时间，测量周期偏大，则计算出的g值偏小，故A错误；把n次摆动的时间误记为(n＋1)次摆动的时间，使所测周期变小，计算出的g值偏大，故B正确；以摆线长作为摆长来计算，摆长偏小，使所测g值偏小，故C错误；以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算，摆长偏大，求出的g值偏大，故D正确。

[答案]　(1)　(2)　(3)10.25　(4)BD

2．在“用单摆测量重力加速度”的实验中：

(1)小球摆动时偏角α应满足的条件是________，为了减小测量周期的误差，计时开始时，摆球应是经过最______(填“高”或“低”)点的位置。

(2)图甲中停表示数为一单摆全振动50次所经过的时间，则单摆振动周期为________s。

甲

(3)用刻度尺测量摆长，测量情况如图乙所示。O为悬挂点，则单摆的摆长为________cm。

(4)若用l表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝________。

[解析]　(1)小球的偏角α很小(α≤5°)时，小球的摆动才近似看成简谐运动。在摆球经过最低点时开始计时，产生的计时误差较小。

(2)由停表读出时间t＝60 s＋42.5 s＝102.50 s，则T＝＝ s＝2.05 s。

(3)刻度尺的最小刻度为1 mm，由图乙读出悬点到球心之间的距离为0.997 5 m，则L＝0.997 5 m＝99.75 cm。

(4)由T＝2π得g＝。

[答案]　(1)α≤5°　低　(2)2.05　(3)99.75　(4)

3．在“用单摆测量重力加速度”实验中，使用下列实验器材。

(1)A．1.2 m的细线 B．2 m的弹性绳

C．带孔的小铁球 D．带孔的软木球

E．光电门传感器

应选用哪种绳________，应选用哪种球________，光电门的摆放位置为________(选填“最高点”或“最低点”)。

(2)如图为光电门传感器电流强度I与t的图像，则周期为________。

A．t1  B．t2－t1

C．t3－t1 D．t4－t1

(3)甲同学用秒表做该实验，但所得周期比该实验得到的大，则可能的原因是________________________。

[解析]　(1)为减小实验误差，应选择轻质不可伸长的细线作为摆线，摆线选择A；为减小阻力对实验的影响，选择质量大而体积小的摆球，摆球应选C；从摆球经过最低点时开始计时，光电门应摆放在最低点。

(2)一个周期内单摆两次经过最低点，由图示图线可知，单摆周期T＝t3－t1，故C正确。

(3)如果开始计时时，秒表过早按下，测量时间偏长，周期就会偏大。

[答案]　(1)A　C　最低点　(2)C　(3)开始计时时，秒表过早按下

4．甲、乙两个学习小组分别利用单摆测定重力加速度。

(1)甲组同学采用图甲所示的实验装置。

①为比较准确地测量出当地重力加速度的数值，除秒表外，在下列器材中，还应该选用________。(用器材前的字母表示)

a．长度接近1 m的细绳

b．长度为30 cm左右的细绳

c．直径为1.8 cm的塑料球

d．直径为1.8 cm的铁球

e．最小刻度为1 cm的米尺

f．最小刻度为1 mm的米尺

②该组同学先测出悬点到小球球心的距离l，然后用秒表测出单摆完成n次全振动所用的时间t。请写出重力加速度的表达式g＝__________。(用所测物理量表示)

(2)乙组同学在图甲所示装置的基础上再增加一个速度传感器，如图乙所示。将摆球拉开一小角度使其做简谐运动，速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的关系，如图丙所示的v­t图线。

①由图丙可知，该单摆的周期T＝________s。

②更换摆线长度后，多次测量，根据实验数据，利用计算

机作出T2­l(周期二次方－摆长)图像，并根据图像拟合得到方程T2＝4.04l＋0.035。由此可以得出当地的重力加速度g＝________m/s2。(取π2＝9.86，结果保留三位有效数字)

[解析]　(1)①细线选择1 m左右的，小球应选择密度大的，所以选择长度近1 m的细绳，直径为1.8 cm的铁球，需要测量摆线长，所以需要最小刻度为1 mm的米尺，故选a、d、f。

②因为T＝，则g＝。

(2)①根据单摆振动的v­t图像知，单摆的周期T＝2.0 s。

②根据T＝2π得T2＝。

图线的斜率：k＝＝4.04 s2/m，

解得：g≈9.76 m/s2。

[答案]　(1)①adf　②　(2)①2.0　②9.76