立体几何中的向量方法-2023届高考数学一轮复习空间向量与立体几何能力进阶加时练（含答案）

这是一份立体几何中的向量方法-2023届高考数学一轮复习空间向量与立体几何能力进阶加时练（含答案），共16页。试卷主要包含了如图，在直三棱柱中，，，，等内容，欢迎下载使用。
【通用版】立体几何中的向量方法——2023届高考数学一轮复习空间向量与立体几何能力进阶加时练1.若已知两个向量，，则平面ABC的一个法向量为(   )A. B. C. D.2.如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为(   )A. B. C. D.3.在正三棱柱中，已知，D在棱上，且，则AD与平面所成的角的正弦值为(   )
A. B. C. D.4.如图，已知四棱锥的底面ABCD是等腰梯形，，且，AC与BD交于点O，底面ABCD，，，E，F分别是AB，AP的中点，则二面角的余弦值为(   )

A. B. C. D.5.已知三棱锥中，，且SA，SB，SC两两垂直，P是三棱锥外接球的球面上一动点，则点P到平面ABC的距离的最大值是(   )
A. B. C. D.6.如图，正方体的棱长为1，中心为O，，，则四面体的体积为(   )

A. B. C. D.7.如图，在直三棱柱中，，，，.若在线段AB上存在点D，使得平面，则点D满足(   )A.  B.C.  D.8.如图，在正方体中，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是(   )

A. B. C. D.9.如图，点为矩形所在平面外一点，平面为线段的中点，，则点到平面的距离为(   )A. B. C. D.10.如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，且，，，平面ABCD，于E.给出下列四个结论：①；②平面PAC；③平面ABE；④，其中正确的个数是(   )A.1 B.2 C.3 D.411.正三棱柱的所有棱长都相等，则与平面所成角的余弦值为__________________.12.如图，在棱长为2的正方体中，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上，若P，Q均为动点，则PQ的最小值为_____________.13.在长方体中，，，Q是线段上一点，且，则点Q到平面的距离为____________.14.已知点E，F分别在正方体的棱，上，且，，则平面AEF与平面ABC所成角的正切值为________________.15.已知四棱柱的底面为菱形，平面.(1)证明:平面;(2)求二面角的余弦值.
答案以及解析1.答案：A解析：设平面ABC的法向量，由，，得所以令，解得所以，故选A.2.答案：B解析：取AC的中点O，连接OP，OB，，，平面平面ABC，平面平面 ，平面ABC，又，，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，是等腰直角三角形，，为等边三角形，，，，，，，.异面直线AC与PD所成角的余弦值为.故选B.3.答案：A解析：取AC的中点E，连接BE，则，如图，建立空直角坐标系Bxyz，则，，则.平面平面， ，平面， 为平面的一个法向量.设AD与平面所成的角为，则，故选A.
 4.答案：B解析：以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由题易得，
则，，，
分别是AB，AP的中点，
，，
，.
设平面OEF的一个法向量为，
则即
令，可得，
易知平面OAE的一个法向量，
则，
由图知二面角为锐角，
二面角的余弦值为.故选B.5.答案：C解析：三棱锥满足SA，SB，SC两两垂直，且，
SA，SB，SC是棱长为1的正方体上具有公共顶点S的三条棱，
以B为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，因此，，.设平面ABC的一个法向量为，则令，得.易知三棱锥的外接球就是棱长为1的正方体的外接球，是三棱锥外接球的球面上一动点，由正方体与球的几何性质可得，当点P与点N重合时，点P到平面ABC的距离最大，点P到平面ABC的距离的最大值为.故选C.6.答案：D解析：如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，因此，，，所以，，.
易得，所以.
设平面EBF的一个法向量为，则
令，得，
所以点O到平面EBF的距离为，所以四面体的体积.7.答案：B解析：，，，，，在直三棱柱中，AC，BC，两两垂直.以C为原点，CA，CB，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，.设点，则，设平面的一个法向量为，则即令，则.若平面，则，易得，所以①.由D在AB上，得，即②，由①②可得，，即D为AB的中点，故.8.答案：B解析：设正方体的棱长为2，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，设，则，，，设平面的一个法向量为，则即
令，得，所以.因为，所以，所以，由于，所以，故选B.9.答案：B解析：如图，以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，.设平面的一个法向量为，则即令，则.点到平面的距离.10.答案：D解析：由题意得，，，而，，①对；又平面ABCD，故以A为原点建立空间直角坐标系，如图，设，则，，，，，.，，，又，平面PAC，②对；，，，平面ABE，③对；由③及平面ABE，得，④对.故选D.11.答案：解析：设三棱柱的棱长为1，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，则，平面的一个法向量为.设与平面所成角为，则.12.答案：解析：因为P，Q分别为AB，CD上的动点，所以PQ的最小值即异面直线AB，CD间的距离.如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设是异面直线AB与CD的公垂线的方向向量，则令，得，，是异面直线AB与CD的公垂线的方向向量，设异面直线AB，CD间的距离为d，则，即PQ的最小值为.13.答案：解析：如图，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，由，得，，设平面的法向量为，由得取，则，，，点Q到平面的距离.14.答案：解析：如图，以点D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设，由已知条件得，，，，，则，，.设平面AEF的法向量为，平面AEF与平面ABC所成角为，由得令，则，，所以，易得平面ABC的一个法向量，则，又，所以，所以.15.答案：(1)见解析(2) 解析：(1)连接交于点，连接，易知为的中点，为的中点，在中，，平面平面，平面.(2)连接平面，且为的中点，，平面且，平面.如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系.易得，，设平面的法向量为，则令，得，.同理可得平面的一个法向量为，，结合图形知，二面角为钝二面角，二面角的余弦值为.