2023年高考数学一轮复习单元质检卷六数列含解析北师大版文

这是一份2023年高考数学一轮复习单元质检卷六数列含解析北师大版文，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
单元质检卷六　数列
(时间:100分钟　满分:130分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.(2021广东珠海二模)设数列{an}是等差数列,Sn是数列{an}的前n项和,a3+a5=10,S5=15,则S6=(　　)
A.18 B.30
C.36 D.24
答案:D
解析:由等差数列的性质得a4=a3+a52=5,
S5=a1+a52·5=5a3=15,则a3=3,所以等差数列{an}的公差d=a4-a3=2,
首项a1=a3-2d=-1,则S6=6a1+6×(6-1)2·d=-6+30=24.
2.(2021广西柳州模拟)已知等比数列{an}的各项均为正数,若log2a3+log2a9=4,则log2a6=(　　)
A.±1 B.±2
C.2 D.4
答案:C
解析:由题意得a3>0,a6>0,a9>0,a3a9=a62,
所以log2a3+log2a9=log2(a3a9)=log2a62=2log2a6=4,则log2a6=2.
3.(2021江西南昌十中高三月考)在数列{an}中,a1=2,an+1=11-an,则a2 021=(　　)
A.-2 B.-1
C.2 D.12
答案:B
解析:由a1=2,an+1=11-an知,a2=-1,a3=12,a4=2,a5=-1,…,
∴{an}是周期为3的周期数列,而2021=3×673+2,
∴a2021=a2=-1.
4.(2021云南昭通模拟)已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,有下列四个命题:
甲:a18=0;乙:S35=0;丙:a17-a19=0;丁:S19-S16=0.
如果只有一个是假命题,则该命题是(　　)
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
答案:C
解析:设等差数列{an}的公差为d,若S35=0,则S35=35(a1+a35)2=0,即a18=0;
若a17-a19=0,所以-2d=0,即d=0;若S19-S16=a17+a18+a19=0,所以a18=0.
又因为只有一个是假命题,所以丙是假命题.
5.(2021安徽安庆模拟)设{an}是等比数列,前n项和为Sn,若S2S2+S4=15,则a2a2+a4=(　　)
A.15 B.14 C.13 D.12
答案:B
解析:设等比数列{an}的公比为q,
由S2S2+S4=15,可得S4=4S2,整理得a3+a4=3(a1+a2),
所以(a1+a2)q2=3(a1+a2),解得q2=3,
所以a2a2+a4=a1qa1q+a1q3=11+q2=14.
6.(2021河南郑州三模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=an+1-3,若Sk≥125,k∈N+,则k的最小值为(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
答案:B
解析:S1=a1=1,Sn=an+1-3=Sn+1-Sn-3,则Sn+1+3=2(Sn+3),S1+3=4,
所以{Sn+3}是等比数列,首项为4,公比为2,所以Sn+3=4×2n-1=2n+1,Sn=2n+1-3,
由Sk=2k+1-3≥125,得k≥6.所以k的最小值为6.
7.定义一种运算“※”,对于任意n∈N+均满足以下运算性质:(1)2※2 021=1;(2)(2n+2)※2 021=(2n)※2 021+3,则2 020※2 021=(　　)
A.3 025 B.3 028 C.4 041 D.1
答案:B
解析:设an=(2n)※2021,则由运算性质(1)知a1=1,由运算性质(2)知an+1=an+3,即an+1-an=3,所以数列{an}是首项为1,公差为3的等差数列,故2020※2021=(2×1010)※2021=a1010=1+1009×3=3028.
8.(2021云南云天化中学高三期末)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到2 020这2 020个数中,能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则此数列的项数为(　　)
A.167 B.168 C.169 D.170
答案:C
解析:由题意得,能被3除余1且被4除余1的数就是能被12除余1的数,
所以an=12n-11,n∈N+,由an≤2020,即12n-11≤2020,
所以n≤203112=169+14,又n∈N+,
所以此数列的项数为169.
9.(2021云南红河三模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=4n2+n.若数列{bn}满足bn=an+34,则1b1b2+1b2b3+…+1b2020b2021=(　　)
A.5052020 B.20202021
C.20192020 D.5052021
答案:D
解析:Sn=4n2+n,
当n≥2时,Sn-1=4(n-1)2+n-1=4n2-7n+3,则an=Sn-Sn-1=8n-3(n≥2),
当n=1时,a1=S1=5,适合上式,所以an=8n-3,
所以bn=an+34=8n-3+34=2n.
故1bnbn+1=12n·2(n+1)=14·1n(n+1)=141n-1n+1,
1b1b2+1b2b3+…+1b2020b2021=141-12+12-13+…+12020-12021=141-12021=14×20202021=5052021.
10.(2021江西上饶三模)南宋著名数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中首次提出“杨辉三角”,如图所示,这是数学史上的一个伟大的成就.在“杨辉三角”中,已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列,且数列前n项和为Sn,若bn=2log2(Sn+1)-1,则b2 021=(　　)

A.4 041 B.4 043
C.4 039 D.4 037
答案:A
解析:因为每一行的数字之和构成的数列为等比数列,且第一行数字和为1,
第二行数字和为2,第三行数字和为4,所以该等比数列首项为1,公比q=2,
所以Sn=1-2n1-2=2n-1,所以bn=2log2(Sn+1)-1=2log22n-1=2n-1,
所以b2021=2×2021-1=4041.
11.有这样一道题目:“戴氏善屠,日益功倍.初日屠五两,今三十日屠讫,问共屠几何?”其意思为:“有一个姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的2倍,第一天屠了5两肉,共屠了30天,问一共屠了多少两肉?”在这个问题中,该屠夫前5天所屠肉的总两数为(　　)
A.35 B.75
C.155 D.315
答案:C
解析:由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列,记首项为a1,公比为q,前n项和为Sn,所以a1=5,q=2,因此前5天所屠肉的总两数为a1(1-q5)1-q=5×(1-25)1-2=155.故选C.
12.(2021浙江绍兴一中高三期末)已知数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=(-3)n+1,bn=2,n为偶数,1,n为奇数,且a1=2,则下列结论正确的是(　　)
A.a3-a1=8
B.a4-a2=18
C.{a2n+2-a2n}是等差数列
D.{a2n+1-a2n-1}是等比数列
答案:D
解析:因为数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=(-3)n+1,
令n=1,得b2a1+b1a2=(-3)1+1=-2,又a1=2,b1=1,b2=2,所以a2=-6,
令n=2,得b3a2+b2a3=(-3)2+1=10,又a2=-6,b3=1,b2=2,所以a3=8,
所以a3-a1=6,故A错误;
令n=3,得b4a3+b3a4=(-3)3+1=-26,又a3=8,b3=1,b4=2,所以a4=-42,
所以a4-a2=-42+6=-36,故B错误;
由已知得b2n+1a2n+b2na2n+1=(-3)2n+1,b2n=2,b2n+1=1,所以a2n+2a2n+1=32n+1;
b2na2n-1+b2n-1a2n=(-3)2n-1+1,b2n-1=1,b2n=2,所以2a2n-1+a2n=-32n-1+1,
两式相减得a2n+1-a2n-1=32n+32n-12=6×9n-1,所以a2n+3-a2n+1a2n+1-a2n-1=9,
所以{a2n+1-a2n-1}是以6为首项,9为公比的等比数列,故D正确;
由a2n+1-a2n-1=6×9n-1得a2n-1=a1+(a3-a1)+(a5-a3)+…+(a2n-1-a2n-3)=2+6×(1+9+92+…+9n-2)
=2+6×1-9n-11-9=54+34×9n-1,
由2a2n-1+a2n=254+34×9n-1+a2n=-32n-1+1,得a2n=-12×9n-32,
所以a2n+2-a2n=-12×9n+1-32--12×9n-32=-4×9n,
所以a2n+4-a2n+2-(a2n+2-a2n)=-4×9n+1+4×9n不是常数,
所以{a2n+2-a2n}不是等差数列,故C错误.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2021江苏镇江信息考试)各项均为正数的等比数列{an},其公比q≠1,且a3a7=4,请写出一个符合条件的通项公式an=　　　　　. 
答案:2n-4(答案不唯一)
解析:因为a3a7=a52=4,an>0,
所以a5=2,又q≠1,不妨令q=2,所以an=a1qn-1=a5qn-5=2×2n-5=2n-4.
14.(2021广西桂林模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+2an=n,则an=　　　　　　. 
答案:1-23n
解析:当n=1时,a1+2a1=1,则a1=13,
当n≥2时,Sn+2an=n,Sn-1+2an-1=n-1,
两式相减得3an-2an-1=1,即an=23an-1+13,即an-1=23(an-1-1),
所以数列{an-1}是首项为a1-1=-23,公比为23的等比数列,则an-1=-23n,所以an=1-23n.
15.(2021浙江绍兴一模)《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半.问何日相逢,各穿几何?”大意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍,小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半.如果墙足够厚,Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和,则S3=　　　　　　. 
答案:354
解析:由题意知,大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,2为公比的等比数列,
所以大老鼠前n天打洞长度之和为1-2n1-2=2n-1,
同理小老鼠前n天打洞长度之和为1-(12) n1-12=2-12n-1,
所以Sn=2n-1+2-12n-1=2n-12n-1+1,
所以S3=23-123-1+1=354.
16.(2021四川达州二诊)数列{an}满足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an-3,若该数列中有且仅有三项满足λ≤an,则实数λ的取值范围是　　　　. 
答案:(1,3]
解析:由条件可知an+2-an+1=2(an+1-an)-3,
设bn=an+1-an,则bn+1=2bn-3,即bn+1-3=2(bn-3),
所以数列{bn-3}是公比为2的等比数列,首项b1-3=a2-a1-3=-1,
即bn-3=(-1)×2n-1,得bn=3-2n-1,
所以an+1-an=3-2n-1.
当n=1时,a2-a1=3-1=2>0,a2>a1,
当n=2时,a3-a2=3-2=1>0,a3>a2,
当n≥3时,an+1-an