2023年高考指导数学(人教A文一轮)单元质检卷七 不等式、推理与证明

单元质检卷七　不等式、推理与证明

(时间:100分钟　满分:120分)

一、选择题:本题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.

1.下列说法错误的是(　　)

A.由函数y=x+x-1的性质猜想函数y=x-x-1的性质是类比推理

B.由ln 1≤0,ln 2<1,ln 3<2,…猜想ln n≤n-1(n∈N*)是归纳推理

C.由锐角x满足sin x<x及0<,推出sin是合情推理

D.“因为cos(-x)=cos x恒成立,所以函数y=cos x是偶函数”是省略大前提的三段论

2.已知x,y满足约束条件则z=2x+y的最小值为(　　)

A.2 B.4 C.6 D.10

3.若x,y∈R,2x+2y=1,则x+y的取值范围是(　　)

A.(-∞,-2] B.(0,1)

C.(-∞,0] D.(1,+∞)

4.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为(　　)

A.A B.B C.C D.无法判断

5.观察下列各式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,58=390 625,59=1 953 125,510=9 765 625,…,则52 023的末四位数字为(　　)

A.0 625 B.3 125

C.5 625 D.8 125

6.已知a>b>0,且a+b=1,则下列结论正确的是(　　)

A.ln(a-b)>0 B.>2

C.ba>ab D.>4

7.由于冬季气候干燥,冷空气频繁袭来,为提高居民的取暖水平,某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比,每月供热费与供热站到社区的距离成正比,如果在距离社区20千米处建立供热站,这两项费用分别为5千元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,供热站应建在离社区(　　)

A.5千米 B.6千米

C.7千米 D.8千米

8.已知x>0,y>0,且=1,若x+2y≥m2+2m恒成立,则实数m的最小值是(　　)

A.2 B.-4 C.4 D.-2

9.已知函数sgn(x)=则约束条件表示的阴影部分是(　　)

10.若实数x,y满足不等式组且ax+y+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是(　　)

A.-,+∞ B.-∞,- C.-,-1 D.1,

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

11.根据事实1=12;1+3=22;1+3+5=32;1+3+5+7=42;….写出一个含有量词的全称命题:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 

12.若实数x,y满足约束条件则当z=ax+by(a>b>0)取最大值4时,的最小值为　　　　　. 

13.若ex-ey=e,x,y∈R,则2x-y的最小值为　　　　. 

14.在平面几何中,有勾股定理:“设△ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间,类比平面几何中的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥P-ABC中的三个侧面PAB,PBC,PAC两两相互垂直,则　.” 

三、解答题:共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(12分)(1)用分析法证明:当n≥0时,;

(2)已知x∈R,a=x2-1,b=2x+2,用反证法证明:a,b中至少有一个不小于0.

16.(12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图1,2,3,4为刺绣中最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.

(1)求出f(5)的值;

(2)归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式;

(3)求+…+(n≥2,n∈N*)的值.

17.(12分)给出下列各式:

①cos,

②coscos,

③coscoscos,

④coscoscoscos,

…

根据以上信息,猜想一般规律,并加以证明.

18.(14分)已知正项数列{an},其前n项和Sn满足an(2Sn-an)=1(n∈N*).

(1)求证:数列{}是等差数列;

(2)数列{an}中是否存在连续三项ak,ak+1,ak+2,使得构成等差数列?

参考答案

单元质检卷七　不等式、推理与证明

1.C　解析A中两个函数形式相似,因此可以根据前者的性质猜测后者的性质,是类比推理,A正确;B中,由特殊到一般的猜想推理,是归纳推理,B正确;C中是三段论的演绎推理,不属于合情推理,C错误;D中,省略了大前提“函数f(x)满足f(-x)=f(x)恒成立,则f(x)是偶函数”,D正确.故选C.

2.A　解析不等式组表示的可行域如图所示,由z=2x+y得y=-2x+z,作出直线y=-2x,

平移直线y=-2x,当直线过点C时,直线在y轴上的截距最小,此时z取最小值,

由即C(0,2),

所以z=2x+y的最小值为2×0+2=2.

3.A　解析因为1=2x+2y≥2=2,所以2x+y≤,即x+y≤-2,当且仅当2x=2y=,即x=y=-1时取等号,所以x+y的取值范围是(-∞,-2].

4.A　解析由乙说:我没去过C城市,则乙可能去过A城市或B城市,但甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市,则乙只能是去过A,B中的其中一个,再由丙说:我们三人去过同一城市,则由此可判断乙去过的城市为A.故选A.

5.D　解析由题意可得5n(n≥5,n∈N*)的末四位数字的周期为4,所以52 023=5504×4+7,所以52 023的末四位数字为8 125.

6.D　解析∵a>b>0,且a+b=1,∴<a<1,0<b<,∴0<a-b<1,ln(a-b)<0,故A错;∵1>a>b>0,∴<1+1=2,故B错;令f(x)=(0<x<1),则f'(x)=>0,故f(x)在(0,1)上单调递增,故,即bln a>aln b,即ln ab>ln ba,∴ab>ba,故C错;∵a>0,b>0,a+b=1,∴=2+≥2+2=4,当且仅当,即a=b=时,等式成立,又a>b,故>4,故D正确.故选D.

7.A　解析设供热站应建在离社区x千米处,则自然消费y1=,供热费y2=k2x,

由题意得,当x=20时,y1=0.5,y2=8,

所以k1=xy1=10,k2=,所以y1=,y2=x,

所以两项费用之和y1+y2=≥2=4,

当且仅当,即x=5时,等号成立,

所以要使这两项费用之和最小,供热站应建在离社区5千米处.

8.B　解析∵x>0,y>0,且=1,

∴x+2y=(x+2y)=4+≥4+2=8,

当且仅当,即x=4,y=2时取等号,

∵x+2y≥m2+2m恒成立,

∴(x+2y)min≥m2+2m,即8≥m2+2m,

解不等式可得-4≤m≤2,

故实数m的最小值为-4.

9.B　解析不等式x2+y2≤4表示的平面区域为以原点为圆心,2为半径的圆的内部(包括边界).当x>0时,x{x2+[y-sgn(x)]2-1}=x[x2+(y-1)2-1]≥0,即x2+(y-1)2≥1,表示的平面区域为以(0,1)为圆心,1为半径的圆的外部(包括边界)且在y轴的右侧的部分;当x<0时,x{x2+[y-sgn(x)]2-1}=x[x2+(y+1)2-1]≥0,即x2+(y+1)2≤1,表示的平面区域为以(0,-1)为圆心,1为半径的圆的内部(包括边界)且在y轴的左侧的部分.

综上所述,原不等式组表示的平面区域为选项B图形中的阴影部分,故选B.

10.A　解析作出可行域,如图,

其中A(5,3),C(3,5),

因为ax+y+1≥0恒成立,结合图形知x≥0,y>0,所以当x=0时,y+1≥0恒成立;

当x>0时,则a≥-,即a≥-max,

而-表示可行域内的点(x,y)与点(0,-1)连接所形成的直线的斜率的相反数,因此当直线ax+y+1=0经过点A(5,3)时,-最大,为-=-,所以a≥-.

综上,a的取值范围为-,+∞.

11.∀n∈N*,1+3+5+…+(2n-1)=n2　解析∵1=12,1+(2×2-1)=22,1+3+(2×3-1)=32,1+3+5+(2×4-1)=42,由此可归纳得出:∀n∈N*,1+3+5+…+(2n-1)=n2.

12.　解析由约束条件可得可行域如图阴影部分所示.

当z=ax+by(a>b>0)最大时,直线y=-x+在y轴截距最大,

∵a>b>0,∴-<-1,则由图可知,当直线y=-x+过点A时,在y轴截距最大,

由即A(1,1),∴zmax=a+b=4,

∴(a+b)=5+≥5+2=当且仅当,即a=2b=时取等号,∴的最小值为.

13.1+2ln 2　解析∵ex-ey=e,∴ex=ey+e,∴e2x-y==ey++2e≥2+2e=4e,当且仅当ey=,即ey=e,即y=1时取等号,∴e2x-y≥4e,则2x-y≥ln 4e=ln e+ln 4=1+2ln 2.

14.

15.证明(1)要证,

即证<2,

即证()2<(2)2,

即证2n+2+2<4n+4,即证<n+1,

只要证n2+2n<n2+2n+1,而上式显然成立.

所以成立.

(2)假设a<0且b<0,则由a=x2-1<0得-1<x<1,

由b=2x+2<0得x<-1,这与-1<x<1矛盾,所以假设错误.

所以a,b中至少有一个不小于0.

16.解(1)f(5)=41.

(2)因为f(2)-f(1)=4=4×1,f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)=16=4×4,

…,

由上式规律,所以得出f(n+1)-f(n)=4n.

所以f(n+1)=f(n)+4n,

f(n)=f(n-1)+4(n-1)=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)

=f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)

=…

=f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4=1+

=2n2-2n+1.

(3)当n≥2时,,

所以+…+=1+1-+…+=1+1-=.

17.解根据题意,分析所给的等式可得:

cos,可化为cos,

coscos,可化为coscos,

coscoscos,

可化为coscoscos.

猜想一般规律为cos·coscos…cos(n∈N*).

证明:我们熟知正弦的二倍角公式为sin 2α=2sin αcos α,cos α=,

据此可得coscoscos…cos

=·…·,当n为偶数时,则有原式=,

又=…==π,

所以coscoscos…cos.

同理可得当n为奇数时猜想也成立.

18.(1)证明依题意,正项数列{an}中,a1(2S1-a1)==1,即a1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1,

即(Sn-Sn-1)[2Sn-(Sn-Sn-1)]=1,

整理得=1,又=1,∴数列{}是以1为首项,1为公差的等差数列.

(2)解不存在.由(1)知,=n,{an}是正项数列,即Sn>0,

∴Sn=.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=,又a1=1满足上式,∴an=,

则.

假设存在满足要求的连续三项ak,ak+1,ak+2,使得构成等差数列,

则2()=,即,

两边同时平方,得k+1+k+2=k-1+k+2+2,

即(k+1)k=(k-1)(k+2),整理得k2+k=k2+k-2,即0=-2,显然不成立,

因此假设是错误的,数列{an}中不存在满足要求的连续三项.