高考数学一轮复习单元质检六数列A含解析新人教A版文

单元质检六　数列(A)

(时间:45分钟　满分:100分)

一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)

1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a6=15,S9=99,则等差数列{an}的公差是(　　)

A. B.4 C.-4 D.-3

答案:B

解析:∵数列{an}是等差数列,a6=15,S9=99,

∴a1+a9=22,∴2a5=22,a5=11.

∴公差d=a6-a5=4.

2.已知公比为的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a16=(　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

答案:B

解析:由等比中项的性质,得a3a11==16.

因为数列{an}各项都是正数,所以a7=4.

所以a16=a7q9=32.所以log2a16=5.

3.在等差数列{an}中,已知a4=5,a3是a2和a6的等比中项,则数列{an}的前5项的和为(　　)

A.15 B.20 C.25 D.15或25

答案:A

解析:设{an}的公差为d.

∵在等差数列{an}中,a4=5,a3是a2和a6的等比中项,

∴解得

∴S5=5a1+d=5×(-1)+5×4=15.故选A.

4.已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足3a1-+3a15=0,且a8=b10,则b3b17=(　　)

A.9 B.12 C.16 D.36

答案:D

解析:由3a1-+3a15=0,得=3a1+3a15=3(a1+a15)=3×2a8,即-6a8=0.

因为a8=b10≠0,所以a8=6,b10=6,所以b3b17==36.

5.设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1=(　　)

A.-2 B.-1 C. D.

答案:B

解析:∵S2=3a2+2,S4=3a4+2,∴S4-S2=3(a4-a2),即a1(q3+q2)=3a1(q3-q),q>0,解得q=,代入a1(1+q)=3a1q+2,解得a1=-1.

6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=x(1-x).若数列{an}满足a1=,且an+1=,则f(a11)=(　　)

A.2 B.-2 C.6 D.-6

答案:C

解析:设x>0,则-x<0.

因为f(x)是定义在R上的奇函数,

所以f(x)=-f(-x)=-[-x(1+x)]=x(1+x).

由a1=,且an+1=,

得a2==2,

a3==-1,

a4=,

……

所以数列{an}是以3为周期的周期数列,

即a11=a3×3+2=a2=2.

所以f(a11)=f(a2)=f(2)=2×(1+2)=6.

二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)

7.已知数列{an}满足a1=1,an-an+1=2anan+1,则a6=　　　　　. 

答案:

解析:由an-an+1=2anan+1,得=2,

即数列是以=1为首项,2为公差的等差数列.

所以+5×2=11,即a6=.

8.(2020浙江,11)我国古代数学家杨辉、朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题,如数列就是二阶等差数列.数列(n∈N*)的前3项和是　　　　. 

答案:10

解析:令an=,则a1==1,a2==3,a3==6,S3=1+3+6=10.故答案为10.

三、解答题(本大题共3小题,共44分)

9.(14分)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求Sn,并求Sn的最小值.

解:(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.

由a1=-7得d=2.

所以{an}的通项公式为an=2n-9.

(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.

所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.

10.(15分)已知数列{an}满足an=6-(n∈N*,n≥2).

(1)求证:数列是等差数列;

(2)若a1=6,求数列{lg an}的前999项的和.

答案:(1)证明∵(n≥2),∴数列是等差数列.

(2)解∵是等差数列,且,d=,

∴(n-1)=.∴an=.

∴lgan=lg(n+1)-lgn+lg3.

设数列{lgan}的前999项的和为S,

则S=999lg3+(lg2-lg1+lg3-lg2+…+lg1000-lg999)=999lg3+lg1000=3+999lg3.

11.(15分)设数列{an}满足a1=2,an+1-an=3·22n-1.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)令bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn.

解:(1)由已知,当n≥1时,

an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1.

而a1=2,所以数列{an}的通项公式为an=22n-1.

(2)由bn=nan=n·22n-1知

Sn=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1.①

从而22·Sn=1·23+2·25+3·27+…+n·22n+1.②

①-②,得(1-22)Sn=2+23+25+…+22n-1-n·22n+1,

即Sn=[(3n-1)22n+1+2].