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2023年高考指导数学(人教A文一轮)单元质检卷六 数列
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这是一份2023年高考指导数学(人教A文一轮)单元质检卷六 数列，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
单元质检卷六 数列
(时间:100分钟 满分:130分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.已知数列{an}是等差数列,且2a8-a12=4.则其前七项和S7=( )
A.42 B.35 C.28 D.21
2.已知等比数列{an}的各项均为正数,若log2a3+log2a9=4,则log2a6=( )
A.±1 B.±2 C.2 D.4
3.在数列{an}中,a1=2,an+1=11-an,则a2 021=( )
A.-2 B.-1 C.2 D.12
4.已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,有下列四个命题:
甲:a18=0;乙:S35=0;丙:a17-a19=0;丁:S19-S16=0.
如果只有一个是假命题,则该命题是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
5.设{an}是等比数列,前n项和为Sn,若S2S2+S4=15,则a2a2+a4=( )
A.15 B.14 C.13 D.12
6.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=an+1-3,若Sk≥125,k∈N*,则k的最小值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
7.已知数列{an}的首项为14,数列{bn}为等比数列,且bn=an+1an,若b1b20=2,则a21=( )
A.64 B.128
C.256 D.512
8.在等差数列{an}和等比数列{bn}中,有a1=b1=t>0,且a2n+1=b2n+1,则下列关系式中正确的是( )
A.an+1
9.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=4n2+n.若数列{bn}满足bn=an+34,则1b1b2+1b2b3+…+1b2 020b2 021=( )
A.5052 020 B.2 0202 021 C.2 0192 020 D.5052 021
10.已知函数f(x)=x-123+1,则f12 021+f22 021+…+f2 0192 021+f2 0202 021的值为( )
A.1 B.2 C.2 020 D.2 021
11.有这样一道题目:“戴氏善屠,日益功倍.初日屠五两,今三十日屠讫,问共屠几何?”其意思为:“有一个姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的2倍,第一天屠了5两肉,共屠了30天,问一共屠了多少两肉?”在这个问题中,该屠夫前5天所屠肉的总两数为( )
A.35 B.75 C.155 D.315
12.已知数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=(-3)n+1,bn=2,n为偶数,1,n为奇数,且a1=2,则下列结论正确的是( )
A.a3-a1=8 B.a4-a2=18
C.{a2n+2-a2n}是等差数列 D.{a2n+1-a2n-1}是等比数列
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.各项均为正数的等比数列{an},其公比q≠1,且a3a7=4,请写出一个符合条件的通项公式an= .
14.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+2an=n,则an= .
15.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半.问何日相逢,各穿几何?”大意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍,小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半.如果墙足够厚,Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和,则S3= .
16.已知数列{an}满足a1=2,an+1=2(n+2)n+1an,则a2 021a1+a2+a3+…+a2 020= .
三、解答题:共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(12分)记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积.已知2Sn+1bn=2.
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
18.(12分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+1,n为奇数,an+2,n为偶数.
(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;
(2)求{an}的前20项和.
19.(12分)数列{an}满足an+1=an,a1=12,n∈N*.
(1)证明:0
20.(14分)已知公比q>1的等比数列{an}和等差数列{bn}满足:a1=2,b1=1,a2=b4,且a2是b2和b8的等比中项.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn,若当n∈N*时,等式(-1)nλ-Tn<0恒成立,求实数λ的取值范围.
参考答案
单元质检卷六 数列
1.C 解析设等差数列{an}的公差为d,由题意,2a8-a12=a8+(a8-a12)=a8-4d=a4=4,所以S7=72(a1+a7)=7a4=7×4=28.故选C.
2.C 解析由题意得a3>0,a6>0,a9>0,a3a9=a62,
所以log2a3+log2a9=log2(a3a9)=log2a62=2log2a6=4,则log2a6=2.
3.B 解析由a1=2,an+1=11-an知,a2=-1,a3=12,a4=2,a5=-1,…,
∴{an}是周期为3的周期数列,而2 021=3×673+2,
∴a2 021=a2=-1.
4.C 解析设等差数列{an}的公差为d,若S35=0,则S35=35(a1+a35)2=0,即a18=0;
若a17-a19=0,所以-2d=0,即d=0;若S19-S16=a17+a18+a19=0,所以a18=0.
又因为只有一个是假命题,所以丙是假命题.
5.B 解析设等比数列{an}的公比为q,
由S2S2+S4=15,可得S4=4S2,整理得a3+a4=3(a1+a2),
所以(a1+a2)q2=3(a1+a2),解得q2=3,
所以a2a2+a4=a1qa1q+a1q3=11+q2=14.
6.B 解析S1=a1=1,Sn=an+1-3=Sn+1-Sn-3,则Sn+1+3=2(Sn+3),S1+3=4,
所以{Sn+3}是等比数列,首项为4,公比为2,所以Sn+3=4×2n-1=2n+1,Sn=2n+1-3,
由Sk=2k+1-3≥125,得k≥6.所以k的最小值为6.
7.C 解析由bn=an+1an,得an+1=anbn,所以a2=14b1,a3=a2b2=14b1b2,a4=14b1b2b3,…,a21=14b1b2b3…b20=14(b1b20)10=2104=256.
8.B 解析设等比数列的公比为q,则b2n+1=b1q2n=tq2n>0,故a2n+1>0,因为{an}为等差数列,故a1+a2n+1=2an+1=t+a2n+1,因为{bn}为等比数列,故b1b2n+1=bn+12,故b1b2n+1=|bn+1|,结合题设条件有ta2n+1=|bn+1|,由基本不等式可得t+a2n+1≥2ta2n+1=2|bn+1|,当且仅当t=a2n+1时,等号成立,故2an+1≥2|bn+1|,而|bn+1|≥bn+1,故an+1≥bn+1,故选B.
9.D 解析Sn=4n2+n,
当n≥2时,Sn-1=4(n-1)2+n-1=4n2-7n+3,则an=Sn-Sn-1=8n-3(n≥2),
当n=1时,a1=S1=5,适合上式,所以an=8n-3,
所以bn=an+34=8n-3+34=2n.
故1bnbn+1=12n·2(n+1)=14·1n(n+1)=141n−1n+1,
1b1b2+1b2b3+…+1b2 020b2 021=141-12+12−13+…+12 020−12 021=141-12 021=14×2 0202 021=5052 021.
10.C 解析函数f(x)=x-123+1,设m+n=1,则有m-12=-n-12,∴f(m)+f(n)=m-123+1+n-123+1=2,∴当m+n=1时,f(m)+f(n)=2,令S=f12 021+f22 021+…+f2 0192 021+f2 0202 021,∴2S=f12 021+f2 0202 021+f22 021+f2 0192 021+…+f2 0192 021+f22 021+f2 0202 021+f12 021=2×2 020,故S=f12 021+f22 021+…+f2 0192 021+f2 0202 021=2 020.故选C.
11.C 解析由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列,记首项为a1,公比为q,前n项和为Sn,所以a1=5,q=2,因此前5天所屠肉的总两数为a1(1-q5)1-q=5×(1-25)1-2=155.故选C.
12.D 解析因为数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=(-3)n+1,
令n=1,得b2a1+b1a2=(-3)1+1=-2,又因为a1=2,b1=1,b2=2,所以a2=-6,
令n=2,得b3a2+b2a3=(-3)2+1=10,又因为a2=-6,b3=1,b2=2,所以a3=8,
所以a3-a1=6,故A错误;
令n=3,得b4a3+b3a4=(-3)3+1=-26,又因为a3=8,b3=1,b4=2,所以a4=-42,
所以a4-a2=-42+6=-36,故B错误;
由已知得b2n+1a2n+b2na2n+1=(-3)2n+1,b2n=2,b2n+1=1,所以a2n+2a2n+1=32n+1;
b2na2n-1+b2n-1a2n=(-3)2n-1+1,b2n-1=1,b2n=2,所以2a2n-1+a2n=-32n-1+1,
两式相减得a2n+1-a2n-1=32n+32n-12=6×9n-1,所以a2n+3-a2n+1a2n+1-a2n-1=9,
所以{a2n+1-a2n-1}是以6为首项,9为公比的等比数列,故D正确;
由a2n+1-a2n-1=6×9n-1得a2n-1=a1+(a3-a1)+(a5-a3)+…+(a2n-1-a2n-3)=2+6×(1+9+92+…+9n-2)
=2+6×1-9n-11-9=54+34×9n-1,
由2a2n-1+a2n=254+34×9n-1+a2n=-32n-1+1,得a2n=-12×9n-32,
所以a2n+2-a2n=-12×9n+1-32--12×9n-32=-4×9n,
所以a2n+4-a2n+2-(a2n+2-a2n)=-4×9n+1+4×9n不是常数,
所以{a2n+2-a2n}不是等差数列,故C错误.
13.2n-4(答案不唯一) 解析因为a3a7=a52=4,an>0,
所以a5=2,又q≠1,不妨令q=2,所以an=a1qn-1=a5qn-5=2×2n-5=2n-4.
14.1-23n 解析当n=1时,a1+2a1=1,则a1=13,
当n≥2时,Sn+2an=n,Sn-1+2an-1=n-1,
两式相减得3an-2an-1=1,即an=23an-1+13,即an-1=23(an-1-1),
所以数列{an-1}是首项为a1-1=-23,公比为23的等比数列,
则an-1=-23n,所以an=1-23n.
15.354 解析由题意知,大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,2为公比的等比数列,
所以大老鼠前n天打洞长度之和为1-2n1-2=2n-1,
同理小老鼠前n天打洞长度之和为1-(12) n1-12=2-12n-1,
所以Sn=2n-1+2-12n-1=2n-12n-1+1,所以S3=23-123-1+1=354.
16.1 0111 010 解析由题意an+1an=2(n+2)n+1,∴当n≥2时,an=a1·a2a1·a3a2·…·anan-1=2×2×32×2×43·…·2(n+1)n=(n+1)·2n-1,
a1=2也满足an=(n+1)·2n-1,所以对任意的n∈N*,an=(n+1)·2n-1.
令S=a1+a2+…+a2 020,则S=2×20+3×21+4×22+…+2 021×22 019,
可得2S=2×21+3×22+…+2 020×22 019+2 021×22 020,
∴-S=2+21+22+…+22 019-2 021×22 020=2+2×(1-22 019)1-2-2 021×22 020=-2 020×22 020,
∴a1+a2+…+a2 020=S=2 020×22 020,因此a2 021a1+a2+a3+…+a2 020=2 022×22 0202 020×22 020=1 0111 010.
17.(1)证明 当n=1时,b1=S1,易得b1=32.
当n≥2时,bnbn-1=Sn,代入2Sn+1bn=2消去Sn,得2bn-1bn+1bn=2,化简得bn-bn-1=12.
故{bn}是以32为首项,12为公差的等差数列.
(2)解 易得a1=S1=b1=32.
由(1)可得bn=n+22,由2Sn+1bn=2可得Sn=n+2n+1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n+2n+1−n+1n=-1n(n+1),显然a1不满足该式.
故an=32,n=1,-1n(n+1),n≥2.
18.解 (1)b1=a2=a1+1=2,
b2=a4=a3+1=a2+2+1=5.
由bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3,
得bn+1-bn=a2n+3-a2n=3.
所以bn是首项为2,公差为3的等差数列,
所以bn=2+(n-1)×3=3n-1.
(2)由(1)知,数列an的奇数列与偶数列都是以3为公差的等差数列,设数列an的前n项和为Sn,则S20=(a1+a3+a5+…+a19)+(a2+a4+…+a20)=10+10×92×3+20+10×92×3=300,所以an的前20项和为300.
19.证明(1)由题意可知,an+12−an2=an-an2=-(an-12)2+14≤14,
∵an+1=an,a1=12,n∈N*,∴an>0,两边同时取对数得lg an+1=12lg an,
∴数列{lg an}是以首项为lg12,公比为12的等比数列,
∴lg an=lg12·12n-1,∴an=12 (12) n-1,
∵an=12 (12) n-1∈(0,1),
∴an+12−an2=an(1-an)>0.
综上所述,0
由(1)知0
∴Sn≤144-1an+12,又0
20.解(1)设等差数列{bn}的公差为d,
由题意得,b2b8=a22=b42,
所以(1+3d)2=(1+d)(1+7d),整理可得d2-d=0,解得d=0或d=1.
若d=0,则a2=b4=1,可得q=a2a1=12,不合乎题意;
若d=1,则a2=b4=1+3d=4,可得q=a2a1=2,合乎题意.
所以an=2×2n-1=2n,bn=1+(n-1)×1=n.
(2)由(1)得anbn=n·2n,所以Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n,①
则2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1,②
②-①得Tn=-21-22-23-…-2n+n×2n+1=-2(1-2n)1-2+n×2n+1=2+(n-1)×2n+1.
因为(-1)nλ-Tn<0,即(-1)nλ
当n为偶数时,λ-2.
综上可得λ∈(-2,10).
单元质检卷六 数列
(时间:100分钟 满分:130分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.已知数列{an}是等差数列,且2a8-a12=4.则其前七项和S7=( )
A.42 B.35 C.28 D.21
2.已知等比数列{an}的各项均为正数,若log2a3+log2a9=4,则log2a6=( )
A.±1 B.±2 C.2 D.4
3.在数列{an}中,a1=2,an+1=11-an,则a2 021=( )
A.-2 B.-1 C.2 D.12
4.已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,有下列四个命题:
甲:a18=0;乙:S35=0;丙:a17-a19=0;丁:S19-S16=0.
如果只有一个是假命题,则该命题是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
5.设{an}是等比数列,前n项和为Sn,若S2S2+S4=15,则a2a2+a4=( )
A.15 B.14 C.13 D.12
6.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=an+1-3,若Sk≥125,k∈N*,则k的最小值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
7.已知数列{an}的首项为14,数列{bn}为等比数列,且bn=an+1an,若b1b20=2,则a21=( )
A.64 B.128
C.256 D.512
8.在等差数列{an}和等比数列{bn}中,有a1=b1=t>0,且a2n+1=b2n+1,则下列关系式中正确的是( )
A.an+1
9.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=4n2+n.若数列{bn}满足bn=an+34,则1b1b2+1b2b3+…+1b2 020b2 021=( )
A.5052 020 B.2 0202 021 C.2 0192 020 D.5052 021
10.已知函数f(x)=x-123+1,则f12 021+f22 021+…+f2 0192 021+f2 0202 021的值为( )
A.1 B.2 C.2 020 D.2 021
11.有这样一道题目:“戴氏善屠,日益功倍.初日屠五两,今三十日屠讫,问共屠几何?”其意思为:“有一个姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的2倍,第一天屠了5两肉,共屠了30天,问一共屠了多少两肉?”在这个问题中,该屠夫前5天所屠肉的总两数为( )
A.35 B.75 C.155 D.315
12.已知数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=(-3)n+1,bn=2,n为偶数,1,n为奇数,且a1=2,则下列结论正确的是( )
A.a3-a1=8 B.a4-a2=18
C.{a2n+2-a2n}是等差数列 D.{a2n+1-a2n-1}是等比数列
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.各项均为正数的等比数列{an},其公比q≠1,且a3a7=4,请写出一个符合条件的通项公式an= .
14.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+2an=n,则an= .
15.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半.问何日相逢,各穿几何?”大意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍,小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半.如果墙足够厚,Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和,则S3= .
16.已知数列{an}满足a1=2,an+1=2(n+2)n+1an,则a2 021a1+a2+a3+…+a2 020= .
三、解答题:共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(12分)记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积.已知2Sn+1bn=2.
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
18.(12分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+1,n为奇数,an+2,n为偶数.
(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;
(2)求{an}的前20项和.
19.(12分)数列{an}满足an+1=an,a1=12,n∈N*.
(1)证明:0
20.(14分)已知公比q>1的等比数列{an}和等差数列{bn}满足:a1=2,b1=1,a2=b4,且a2是b2和b8的等比中项.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn,若当n∈N*时,等式(-1)nλ-Tn<0恒成立,求实数λ的取值范围.
参考答案
单元质检卷六 数列
1.C 解析设等差数列{an}的公差为d,由题意,2a8-a12=a8+(a8-a12)=a8-4d=a4=4,所以S7=72(a1+a7)=7a4=7×4=28.故选C.
2.C 解析由题意得a3>0,a6>0,a9>0,a3a9=a62,
所以log2a3+log2a9=log2(a3a9)=log2a62=2log2a6=4,则log2a6=2.
3.B 解析由a1=2,an+1=11-an知,a2=-1,a3=12,a4=2,a5=-1,…,
∴{an}是周期为3的周期数列,而2 021=3×673+2,
∴a2 021=a2=-1.
4.C 解析设等差数列{an}的公差为d,若S35=0,则S35=35(a1+a35)2=0,即a18=0;
若a17-a19=0,所以-2d=0,即d=0;若S19-S16=a17+a18+a19=0,所以a18=0.
又因为只有一个是假命题,所以丙是假命题.
5.B 解析设等比数列{an}的公比为q,
由S2S2+S4=15,可得S4=4S2,整理得a3+a4=3(a1+a2),
所以(a1+a2)q2=3(a1+a2),解得q2=3,
所以a2a2+a4=a1qa1q+a1q3=11+q2=14.
6.B 解析S1=a1=1,Sn=an+1-3=Sn+1-Sn-3,则Sn+1+3=2(Sn+3),S1+3=4,
所以{Sn+3}是等比数列,首项为4,公比为2,所以Sn+3=4×2n-1=2n+1,Sn=2n+1-3,
由Sk=2k+1-3≥125,得k≥6.所以k的最小值为6.
7.C 解析由bn=an+1an,得an+1=anbn,所以a2=14b1,a3=a2b2=14b1b2,a4=14b1b2b3,…,a21=14b1b2b3…b20=14(b1b20)10=2104=256.
8.B 解析设等比数列的公比为q,则b2n+1=b1q2n=tq2n>0,故a2n+1>0,因为{an}为等差数列,故a1+a2n+1=2an+1=t+a2n+1,因为{bn}为等比数列,故b1b2n+1=bn+12,故b1b2n+1=|bn+1|,结合题设条件有ta2n+1=|bn+1|,由基本不等式可得t+a2n+1≥2ta2n+1=2|bn+1|,当且仅当t=a2n+1时,等号成立,故2an+1≥2|bn+1|,而|bn+1|≥bn+1,故an+1≥bn+1,故选B.
9.D 解析Sn=4n2+n,
当n≥2时,Sn-1=4(n-1)2+n-1=4n2-7n+3,则an=Sn-Sn-1=8n-3(n≥2),
当n=1时,a1=S1=5,适合上式,所以an=8n-3,
所以bn=an+34=8n-3+34=2n.
故1bnbn+1=12n·2(n+1)=14·1n(n+1)=141n−1n+1,
1b1b2+1b2b3+…+1b2 020b2 021=141-12+12−13+…+12 020−12 021=141-12 021=14×2 0202 021=5052 021.
10.C 解析函数f(x)=x-123+1,设m+n=1,则有m-12=-n-12,∴f(m)+f(n)=m-123+1+n-123+1=2,∴当m+n=1时,f(m)+f(n)=2,令S=f12 021+f22 021+…+f2 0192 021+f2 0202 021,∴2S=f12 021+f2 0202 021+f22 021+f2 0192 021+…+f2 0192 021+f22 021+f2 0202 021+f12 021=2×2 020,故S=f12 021+f22 021+…+f2 0192 021+f2 0202 021=2 020.故选C.
11.C 解析由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列,记首项为a1,公比为q,前n项和为Sn,所以a1=5,q=2,因此前5天所屠肉的总两数为a1(1-q5)1-q=5×(1-25)1-2=155.故选C.
12.D 解析因为数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=(-3)n+1,
令n=1,得b2a1+b1a2=(-3)1+1=-2,又因为a1=2,b1=1,b2=2,所以a2=-6,
令n=2,得b3a2+b2a3=(-3)2+1=10,又因为a2=-6,b3=1,b2=2,所以a3=8,
所以a3-a1=6,故A错误;
令n=3,得b4a3+b3a4=(-3)3+1=-26,又因为a3=8,b3=1,b4=2,所以a4=-42,
所以a4-a2=-42+6=-36,故B错误;
由已知得b2n+1a2n+b2na2n+1=(-3)2n+1,b2n=2,b2n+1=1,所以a2n+2a2n+1=32n+1;
b2na2n-1+b2n-1a2n=(-3)2n-1+1,b2n-1=1,b2n=2,所以2a2n-1+a2n=-32n-1+1,
两式相减得a2n+1-a2n-1=32n+32n-12=6×9n-1,所以a2n+3-a2n+1a2n+1-a2n-1=9,
所以{a2n+1-a2n-1}是以6为首项,9为公比的等比数列,故D正确;
由a2n+1-a2n-1=6×9n-1得a2n-1=a1+(a3-a1)+(a5-a3)+…+(a2n-1-a2n-3)=2+6×(1+9+92+…+9n-2)
=2+6×1-9n-11-9=54+34×9n-1,
由2a2n-1+a2n=254+34×9n-1+a2n=-32n-1+1,得a2n=-12×9n-32,
所以a2n+2-a2n=-12×9n+1-32--12×9n-32=-4×9n,
所以a2n+4-a2n+2-(a2n+2-a2n)=-4×9n+1+4×9n不是常数,
所以{a2n+2-a2n}不是等差数列,故C错误.
13.2n-4(答案不唯一) 解析因为a3a7=a52=4,an>0,
所以a5=2,又q≠1,不妨令q=2,所以an=a1qn-1=a5qn-5=2×2n-5=2n-4.
14.1-23n 解析当n=1时,a1+2a1=1,则a1=13,
当n≥2时,Sn+2an=n,Sn-1+2an-1=n-1,
两式相减得3an-2an-1=1,即an=23an-1+13,即an-1=23(an-1-1),
所以数列{an-1}是首项为a1-1=-23,公比为23的等比数列,
则an-1=-23n,所以an=1-23n.
15.354 解析由题意知,大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,2为公比的等比数列,
所以大老鼠前n天打洞长度之和为1-2n1-2=2n-1,
同理小老鼠前n天打洞长度之和为1-(12) n1-12=2-12n-1,
所以Sn=2n-1+2-12n-1=2n-12n-1+1,所以S3=23-123-1+1=354.
16.1 0111 010 解析由题意an+1an=2(n+2)n+1,∴当n≥2时,an=a1·a2a1·a3a2·…·anan-1=2×2×32×2×43·…·2(n+1)n=(n+1)·2n-1,
a1=2也满足an=(n+1)·2n-1,所以对任意的n∈N*,an=(n+1)·2n-1.
令S=a1+a2+…+a2 020,则S=2×20+3×21+4×22+…+2 021×22 019,
可得2S=2×21+3×22+…+2 020×22 019+2 021×22 020,
∴-S=2+21+22+…+22 019-2 021×22 020=2+2×(1-22 019)1-2-2 021×22 020=-2 020×22 020,
∴a1+a2+…+a2 020=S=2 020×22 020,因此a2 021a1+a2+a3+…+a2 020=2 022×22 0202 020×22 020=1 0111 010.
17.(1)证明 当n=1时,b1=S1,易得b1=32.
当n≥2时,bnbn-1=Sn,代入2Sn+1bn=2消去Sn,得2bn-1bn+1bn=2,化简得bn-bn-1=12.
故{bn}是以32为首项,12为公差的等差数列.
(2)解 易得a1=S1=b1=32.
由(1)可得bn=n+22,由2Sn+1bn=2可得Sn=n+2n+1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n+2n+1−n+1n=-1n(n+1),显然a1不满足该式.
故an=32,n=1,-1n(n+1),n≥2.
18.解 (1)b1=a2=a1+1=2,
b2=a4=a3+1=a2+2+1=5.
由bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3,
得bn+1-bn=a2n+3-a2n=3.
所以bn是首项为2,公差为3的等差数列,
所以bn=2+(n-1)×3=3n-1.
(2)由(1)知,数列an的奇数列与偶数列都是以3为公差的等差数列,设数列an的前n项和为Sn,则S20=(a1+a3+a5+…+a19)+(a2+a4+…+a20)=10+10×92×3+20+10×92×3=300,所以an的前20项和为300.
19.证明(1)由题意可知,an+12−an2=an-an2=-(an-12)2+14≤14,
∵an+1=an,a1=12,n∈N*,∴an>0,两边同时取对数得lg an+1=12lg an,
∴数列{lg an}是以首项为lg12,公比为12的等比数列,
∴lg an=lg12·12n-1,∴an=12 (12) n-1,
∵an=12 (12) n-1∈(0,1),
∴an+12−an2=an(1-an)>0.
综上所述,0
由(1)知0
∴Sn≤144-1an+12,又0
20.解(1)设等差数列{bn}的公差为d,
由题意得,b2b8=a22=b42,
所以(1+3d)2=(1+d)(1+7d),整理可得d2-d=0,解得d=0或d=1.
若d=0,则a2=b4=1,可得q=a2a1=12,不合乎题意;
若d=1,则a2=b4=1+3d=4,可得q=a2a1=2,合乎题意.
所以an=2×2n-1=2n,bn=1+(n-1)×1=n.
(2)由(1)得anbn=n·2n,所以Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n,①
则2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1,②
②-①得Tn=-21-22-23-…-2n+n×2n+1=-2(1-2n)1-2+n×2n+1=2+(n-1)×2n+1.
因为(-1)nλ-Tn<0,即(-1)nλ
当n为偶数时,λ
综上可得λ∈(-2,10).
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