广西专用高考数学一轮复习单元质检六数列B含解析新人教A版文.

单元质检六　数列(B)

(时间:45分钟　满分:100分)

一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)

1.已知等差数列{an}的公差和首项都不等于0,且a2,a4,a8成等比数列,则=(　　)

A.2 B.3 C.5 D.7

答案:B

解析:设{an}的公差为d.由题意,得=a2a8,

∴(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),∴d2=a1d.

∵d≠0,∴d=a1,∴=3.

2.在单调递减的等比数列{an}中,若a3=1,a2+a4=,则a1=(　　)

A.2 B.4 C. D.2

答案:B

解析:设{an}的公比为q.由已知,得a1q2=1,a1q+a1q3=,

∴,q2-q+1=0,∴q=(q=2舍去),∴a1=4.

3.(2020广东汕尾期末)记等差数列{an}的前n项和为Sn.若S10=95,a8=17,则(　　)

A.an=5n-23 B.Sn=2n2-n

C.an=4n-15 D.Sn=

答案:D

解析:设等差数列{an}的公差为d,∵S10=95,a8=17,

∴解得

∴an=-4+3(n-1)=3n-7,Sn=-4n+×3=.

故选D.

4.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n=(　　)

A.80 B.26 C.30 D.16

答案:C

解析:设各项均为正数的等比数列{an}的首项为a1,公比为q.

∵Sn=2,S3n=14,∴=2,=14,

解得qn=2,=-2.

∴S4n=(1-q4n)=-2×(1-16)=30.故选C.

5.《九章算术》中的“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,现自上而下取第1,3,9节,则这3节的容积之和为(　　)

A.升 B.升 C.升 D.升

答案:B

解析:设自上而下各节的容积分别为a1,a2,…,a9,公差为d,

∵上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,

∴解得

∴自上而下取第1,3,9节,这3节的容积之和为a1+a3+a9=3a1+10d=3×+10×(升).

6.设a,b∈R,数列{an}满足a1=a,an+1=+b,n∈N*,则(　　)

A.当b=时,a10>10 B.当b=时,a10>10

C.当b=-2时,a10>10 D.当b=-4时,a10>10

答案:A

解析:考察选项A,a1=a,an+1=+b=,

∵-an+≥0,∴≥an-.

∵an+1=>0,an+1≥an-=an+>an,

∴{an}为递增数列.

因此,当a1=0时,a10取到最小值,现对此情况进行估算.显然,a1=0,a2=,a3=,a4=,当n>1时,an+1>,∴lgan+1>2lgan,∴lga10>2lga9>22·lga8>…>26lga4=lg,

∴a10>+…+=1+64×+…+=1+4+7.875+…+=12.875+…+>10,因此符合题意,故选A.

二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)

7.在3和一个未知数之间填上一个数,使三数成等差数列.若中间项减去6,则三数成等比数列,则此未知数是　　　　　　　　. 

答案:3或27

解析:设此三数为3,a,b,则解得故这个未知数为3或27.

8.(2019广东深圳二模)记Sn是数列{an}的前n项和,且a1=3,当n≥2时,有Sn+Sn-1-2SnSn-1=2nan.则使得S1S2·…·Sm≥2 019成立的正整数m的最小值为　　　　　. 

答案:1 009

解析:∵当n≥2时,Sn+Sn-1-2SnSn-1=2nan,

∴Sn+Sn-1-2SnSn-1=2n(Sn-Sn-1),

∴2SnSn-1=(2n+1)Sn-1-(2n-1)Sn,易知Sn≠0,

∴=2.

令bn=,则bn-bn-1=2(n≥2),

∴数列{bn}是以b1==1为首项,公差d=2的等差数列,

∴bn=2n-1,即=2n-1,∴Sn=,

∴S1S2·…·Sm=3××…×=2m+1,

由2m+1≥2019,解得m≥1009,即正整数m的最小值为1009.

三、解答题(本大题共3小题,共44分)

9.(14分)已知数列{an}的前n项和为Sn,首项为a1,且,an,Sn成等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)数列{bn}满足bn=(log2a2n+1)×(log2a2n+3),求数列的前n项和Tn.

解：(1)∵,an,Sn成等差数列,∴2an=Sn+.

当n=1时,2a1=S1+,即a1=;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即=2,

故数列{an}是首项为,公比为2的等比数列,即an=2n-2.

(2)∵bn=(log2a2n+1)×(log2a2n+3)=(log222n+1-2)×(log222n+3-2)=(2n-1)(2n+1),

∴.

∴Tn==.

10.(15分)已知{an}是递增的等比数列,a2+a3=4,a1a4=3.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)令bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn.

解：(1)(方法一)设等比数列{an}的公比为q,因为a2+a3=4,a1a4=3,所以解得

因为{an}是递增的等比数列,

所以a1=,q=3.所以数列{an}的通项公式为an=3n-2.

(方法二)设等比数列{an}的公比为q,

因为a2+a3=4,a1a4=a2a3=3,

所以a2,a3是方程x2-4x+3=0的两个根.

解得

因为{an}是递增的等比数列,所以a2=1,a3=3,则q=3.

所以数列{an}的通项公式为an=3n-2.

(2)由(1)知bn=n×3n-2.

则Sn=1×3-1+2×30+3×31+…+n×3n-2,①

在①式两边同时乘3,得

3Sn=1×30+2×31+3×32+…+n×3n-1,②

①-②,得-2Sn=3-1+30+31+…+3n-2-n×3n-1,

即-2Sn=-n×3n-1,

得Sn=(2n-1)×3n-1+.

11.(15分)(2020广西钦州一模)在递增的等比数列{an}中,a3=16,a2+a4=68.Sn为等差数列{bn}的前n项和,b1=a1,S2=a2.

(1)求{an},{bn}的通项公式;

(2)求数列{}的前n项和Tn.

解：(1)由题意设等比数列{an}的公比为q,则

两式相比,可得,

化简整理得4q2-17q+4=0,解得q=或q=4.

∵数列{an}是递增的等比数列,∴q≠,从而q=4.

∴数列{an}的通项公式为an=a3·qn-3=16·4n-3=4n-1.

∵b1=a1=41-1=1,S2=b1+b2=1+b2=a2=4,解得b2=3.

设等差数列{bn}的公差为d,则d=b2-b1=3-1=2,

∴数列{bn}的通项公式为bn=1+2(n-1)=2n-1.

(2)由(1)知,Sn=n+×2=n2,

∴=n·2n.

∴Tn=1·21+2·22+3·23+…+(n-1)·2n-1+n·2n,

2Tn=1·22+2·23+…+(n-1)·2n+n·2n+1,

两式相减,可得-Tn=21+22+23+…+2n-n·2n+1=-n·2n+1=-(n-1)·2n+1-2,

∴Tn=(n-1)·2n+1+2.