2021-2022学年北京市门头沟区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年北京市门头沟区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分）

1. 在函数中，自变量的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列关于奥运会的剪纸图形中是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 下列函数中，是的正比例函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 五边形的内角和是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名滑雪选手次测试成绩的平均数与方差：

要选择一名成绩较高且状态稳定的选手参加滑雪比赛，那么应该选择的选手是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

6. 电影长津湖讲述了一段波澜壮阔的历史，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约亿元，第三天票房收入约达到亿元，设票房收入每天平均增长率为，下面所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，只需添加一个条件，即可证明菱形是正方形，这个条件可以是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，甲、乙两个容器内都装有一定数量的水，现将甲容器中的水匀速注入乙容器中．图中的线段，分别表示甲、乙容器中的水的深度厘米与注入时间分钟之间的函数图象．
   
   下列四个结论中错误的是(    )

A. 甲容器内的水分钟全部注入乙容器
B. 注水前，乙容器内水的深度是厘米
C. 注水分钟时，甲容器的水比乙容器的水深厘米
D. 注水分钟时，甲、乙两个容器中的水的深度相等

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

9. 在平面直角坐标系中，点在第______象限．
10. 如果关于的一元二次方程的一个根为，那么的值为______．
11. 请写出一个与轴交于点的一次函数的表达式______．
12. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与的图象交于点，那么关于的不等式的解集是______．

13. 若菱形的两条对角线的长分别为和，那么这个菱形的面积为______ ．
14. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，如果，那么的取值范围是______．
15. 在▱中，对角线，相交于点，点为的中点，如果▱周长为，，那么______．

16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿线段向点运动，同时动点从点出发，以同样每秒个单位的速度沿折线向点运动，当，有一点到达终点时，点，同时停止运动．设点，运动时间为秒，在运动过程中，如果，那么______秒．

三、解答题（本大题共11小题，共61分）

17. 用适当的方法解方程：．
18. 已知：如图，在▱中，点在上，点在的延长线上，且，连接，求证：．

19. 阅读材料，并回答问题：
    王林在学习一元二次方程时，解方程的过程如下：
    解：
    
    
    
    
    ，
    ，
    问题：王林解方程的方法是______；
    A.直接开平方法
    B.配方法
    C.公式法
    D.因式分解法
    上述解答过程中，从______步开始出现了错误填序号，发生错误的原因是______；
    在下面的空白处，写出正确的解答过程．
20. 下表是一次函数为常数，中与的两组对应值．

求该一次函数的表达式；
求该一次函数的图象与轴的交点坐标．

21. 下面是小李设计的“利用直角和线段作矩形”的尺规作图过程．
    已知：如图，线段，，及．
    求作：矩形，使，．
    
    作法：如图，
    在射线，上分别截取，；
    以为圆心，长为半径作弧，再以为圆心，长为半径作弧，两弧在内部交于点；
    连接，．
    四边形就是所求作的矩形．
    根据小李设计的尺规作图过程，解答下列问题：
    使用直尺和圆规，依作法补全图保留作图痕迹；
    完成下面的证明．
    证明：，______，
    四边形是平行四边形______填推理的依据．
    ，
    四边形是矩形______填推理的依据．
22. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
    求的取值范围；
    当取正整数时，求此时方程的根．
23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
    求，的值；
    点，如果正比例函数的图象与线段有公共点，直接写出的取值范围．

24. 甲和乙上山游玩，甲乘坐缆车，乙步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知乙行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的倍，甲在乙出发后才乘上缆车，缆车的平均速度为设乙出发后行走的路程为图中的折线表示乙在整个行走过程中与的函数关系．
    乙行走的总路程是______  ，他途中休息了______ ．
    当时，求与的函数关系式；
    当甲到达缆车终点时，乙离缆车终点的路程是多少？
     

25. 在平面直角坐标系中，直线：经过和两点．
    求直线的表达式；
    如果横、纵坐标都是整数的点叫做整点．直线和直线关于轴对称，过点作垂直于轴的直线，与和围的区域为“”不包含边界．
    当时，求区域“”内整点的个数；
    如果区域“”内恰好有个整点，直接写出的取值范围．
     

26. 已知，在正方形中，连接对角线，点为射线上一点，连接是的中点，过点作于，交直线于，连接、．
    如图，当点在边上时．
    依题意补全图；
    猜想与之间的数量关系，并证明．
    如图，当点在边的延长线上时，补全图，并直接写出与之间的数量关系．
     

27. 在平面直角坐标系中，对于和给出如下定义：
    如果，那么点就是点的关联点．
    例如，点的关联点是，点的关联点是．
    点的关联点是______，点的关联点是______．
    如果点和点中有一个点是直线上某一个点的关联点，那么这个点是______．
    如果点在直线上，其关联点的纵坐标的取值范围是，求的取值范围．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故选B．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：、是二次函数，故A不符合题意；
B、是正比例函数，故B符合题意；
C、是一次函数，但不是正比例函数，故C不符合题意；
D、是反比例函数，故D不符合题意；
故选：．
根据正比例函数的定义：形如为常数且的函数，即可解答．
本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：五边形的内角和是：



故选：．
根据边形的内角和为：，且为整数，求出五边形的内角和是多少度即可．
此题主要考查了多边形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确边形的内角和为：，且为整数．
 

5.【答案】 

【解析】解：成绩好的选手是乙、丙，
成绩好且发挥稳定的选手是乙，
应该选择的选手是乙，
故选：．
根据平均数的概念、方差的性质判断即可．
本题考查的是平均数、方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

6.【答案】 

【解析】解：设平均每天票房的增长率为，
根据题意得：．
故选：．
第一天为亿元，根据增长率为得出第二天为亿元，第三天为亿元，根据“第三天票房收入约达到亿元”，即可得出关于的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，
四边形是正方形，
故选：．
根据有一个角是直角的菱形是正方形，即可解答．
本题考查了正方形的判定，菱形的性质，熟练掌握正方形的判定是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图可得，
甲容器内的水分钟全部注入乙容器，故选项A正确，
注水前乙容器内水的高度是厘米，故选项B正确，
注水分钟时，甲容器内水的深度是厘米，乙容器内水的深度是：厘米，此时甲容器的水比乙容器的水深厘米，故选项C错误，
注水分钟时，甲容器内水的深度是厘米，乙容器内水的深度是：厘米，故此时甲、乙两个容器中的水的深度相等，故选项D正确，
故选：．
根据题意和函数图象，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

9.【答案】一 

【解析】解：在平面直角坐标系中，点在第一象限，
故答案为：一．
根据平面直角坐标系每一象限点的坐标特征，即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系每一象限点的坐标特征是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程的一个根为，
，
解得，．
故答案是：．
把代入已知方程可以列出关于的新方程，通过解新方程即可求得的值．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
 

11.【答案】 

【解析】解：过点，
故答案为：．
根据题意，可以写出一个符合题意的函数解析式，本题的答案不唯一，只要符合题意即可．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，在平面直角坐标系中，一次函数与的图象交于点，那么关于的不等式的解集是．
故答案是：．
不等式的解集，在图象上即为一次函数的图象在一次函数图象的上方时的自变量的取值范围．
此题考查了一次函数与一元一次不等式，关键是注意掌握数形结合思想的应用．
 

13.【答案】 

【解析】解：菱形的两条对角线的长分别为和，
这个菱形的面积为，
故答案为：．
根据菱形的面积等于对角线积的一半求出答案即可．
本题考查了菱形的性质，注意：菱形的面积对角线积的一半．
 

14.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过点，，且，
一次函数随的增大而增大，
，
，
故答案为：．
先求得一次函数的增减性，即可得出，解得．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
点为的中点，
是的中位线，
，
▱周长为，
，
，
故答案为：．
利用平行四边形的性质可知是的中位线，则，从而求出的长．
本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：当在边上，如图：

由题意得：，，，
，
，
．
当在上时，如图：

，，
，
，
，
当，有一点到达终点时，点，同时停止运动，
，
符合题意．
故答案为：或
分在边上或边上分别求解．
本题考查矩形性质，充分利用矩形性质，分类讨论位置是求解本题的关键．
 

17.【答案】解：，
则，
或，
解得：，． 

【解析】利用提公因式法把方程的左边变形，计算即可．
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
 

18.【答案】证明：在▱中，，，，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】结合平行四边形的性质，利用证明≌，由全等三角形的性质可证明结论．
本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

19.【答案】    方程右边没有加上 

【解析】解：王林解方程的方法为配方法；
故选：；
上述解答过程中，从步开始出现了错误，发生错误的原因是方程右边没有加上；
故答案为：；
正确解答为：
解：，
，
，
，
，
，或，
所以，．
利用配方法解方程的方法进行判断；
第步方程两边都加上，则可判断从步开始出现了错误；
利用配方法解方程的基本步骤解方程．
本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：把，代入中：
，
解得：，
该一次函数的表达式为：；
把代入中，
，
解得：，
该一次函数的图象与轴的交点坐标． 

【解析】利用待定系数法求一次函数解析式，进行计算即可解答；
把代入中，进行计算即可解答．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
 

21.【答案】  两组对边分别相等的四边形是平行四边形  有一个角是直角的平行四边形是矩形 

【解析】解：如图，矩形即为所求；

证明：，，
四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形．
故答案为：，两组对边分别相等的四边形的平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
根据要求作出图形即可；
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．
本题考查作图复杂作图，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
的取值范围为；
为正整数，
，
原方程为，即，
解得：，，
当取正整数时，此时方程的根为和． 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
由的结论结合为正整数，即可得出，将其代入原方程，再利用因式分解法解一元二次方程，即可求出原方程的解．
本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；利用因式分解法求出方程的两个根．
 

23.【答案】解：一次函数的图象由直线平移得到，
，
将点代入，
得，解得；
当直线经过点时，
则，
当直线经过点时，
则，
解得：，
当正比例函数的图象与线段有公共点时，． 

【解析】先根据直线平移时的值不变得出，再将点代入，求出的值．
分别求出直线过点、点时的值，再结合函数图象即可求出的取值范围．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
 

24.【答案】；；
当时，
乙行走的速度为
，
与的函数关系式为：，       
缆车到山顶的路线长为，
缆车到达终点所需时间为．
甲到达缆车终点时，乙行走的时间为．
把代入，得．
所以，当甲到达缆车终点时，
乙离缆车终点的路程是：． 

【解析】

【分析】
本题是一道有关行程问题的一次函数综合试题，考查了从图像上获取信息的能力，在解答时读懂图象是关键．
通过运用函数图象的分析可以求出乙行走的总路程及途中休息的时间；
根据图上信息，得到这段乙的速度为多少，即可写出关系式；
运用乙行驶的全程求出甲行驶的路程，就可以求出甲行驶完全程用的时间，再代入其解析式就可以求出结论．
【解答】
解：由图象得：
乙行走的总路程是：米，他途中休息了分钟．   
故答案为：，；
见答案  

25.【答案】解：直线：经过和两点，

解得，
直线的表达式为；
依题意画出图形：

当时，直线与直线、交于点，
观察图形区域“”内整点为，只有个；
直线与和围的区域为“”不包含边界，区域“”内恰好有个整点，如图所示，有两个区域，分别是在和内部．

在内刚好有六个符合题意的整点，
此时，在直线和之间，所以；
在内刚好有六个符合题意的整点，
此时，在直线和之间，所以；
综上，或． 

【解析】利用待定系数法求函数解析式；
结合题意画出图象，然后数形结合作出判断；
结合函数图象和对称性确定的取值范围．
本题考查一次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的步骤，理解一次函数图象性质，利用数形结合思想解题是关键．
 

26.【答案】解：如图所示，

，
证明：连接，
是的中点，，
，
四边形是正方形，是对角线，
，
，
，
，
证明：连接，如图，
，
是的中点，，
，
四边形是正方形，是对角线，
，
，
． 

【解析】考查尺规作图，利用线段垂直平分线的性质，正方形的性质求解．
利用线段垂直平分线的性质，正方形的性质求解．
本题主要考查正方形的性质和线段垂直平分线的性质，关键是掌握两者性质定理并能灵活使用．
 

27.【答案】；
 
依题意，图象上的点的关联点必在函数图象上，
，即当时，取最大值，
当时，，
；
当时，或，
或，
，
由图象可知，的取值范围是． 

【解析】解：，点的关联点，
，点的关联点是，
故答案为，；
，
点的关联点是，点的关联点是，
点在直线上，
故答案为；
见答案．
由关联点定义，即可求相应关联点；
先求出与的关联点坐标，再判断哪个关联点在函数上即可；
图象上的点的关联点必在函数图象上，分三种情况讨论：当时，；当时，或，当时，，即可求出的范围．
本题考查一次函数的图象及性质，新定义，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解新定义，能将定义与所学知识联系应用是解题的关键．