2021-2022学年北京市朝阳区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年北京市朝阳区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 下列二次根式中，最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 下列各曲线中，不表示是的函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如图，平面直角坐标系中，，，点为线段的中点，则线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 某农民统计了自己养鸡场只鸡出售时质量的数据，如下表：

这组数据的众数是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若是整数，则正整数的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 小明同学在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度与鞋子的码数之间满足一次函数关系，下表给出与的一些对应值：

根据小明的数据，可以得出该品牌码鞋子的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在甲、乙两个大小不同的的正方形网格中，正方形，分别在两个网格上，且各顶点均在网格线的交点上．若正方形，的面积相等，甲、乙两个正方形网格的面积分别记为，，有如下三个结论：
   正方形的面积等于的一半；
   正方形的面积等于的一半；
   ：：．
   上述结论中，所有正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9. 计算：______．
10. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．
11. 如图，在数轴上点表示的实数是______．

12. 如图，在▱中，与点，点在边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形是矩形，这个条件可以是______写出一个即可．

13. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点，请写出一个图象与该正方形有公共点的函数表达式：______．

14. 某市年和年月日至日每日最高气温单位：如下表：

则这五天的最高气温更稳定的是______年填“”或“”．

15. 已知直线及线段，点在直线上，点在直线外．
    如图，在直线上取一点不与点重合，连接；
    以点为圆心，长为半径作弧，以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点与点位于直线异侧；
    连接交于点，连接，．
    根据以上作图过程及所作图形，在下列结论；；中，一定正确的是______填写序号．
16. 我国古代用天干和地支纪年，其中天干有个：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有个：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．将天干的个汉字和地支的个汉字分别循环排列成如下两行：
    甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸
    子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥
    从左向右第列是甲子，可以表示甲子年，第列是丁卯，可以表示丁卯年
    在上面的天干排列中，丙第是正整数次出现，位于从左向右的第______列用含的式子表示；
    年是壬寅年，表示该年的壬寅可以位于从左向右的第______列写出一个即可．

三、解答题（本大题共10小题，共52分）

17. 计算：．
18. 如图，在▱中，，分别是，的中点，求证：．

19. 已知，，求代数式的值．
20. 如图，在四边形中，，，，求的长．

21. 已知一次函数与的图象都经过点．
    求，的值；
    在同一直角坐标系中画出这两个一次函数的图象，并结合函数图象，直接写出当取何值时，．

22. 如图，在中，，，分别是，的中点，，．
    求证：四边形是菱形；
    连接交于点，连接，若，，求，的长．

23. 为了解我国年第一季度个地区第一季度快递业务收入的情况，收集了这个地区第一季度快递业务收入单位：亿元的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，给出如下信息．
    排在前位的地区第一季度快递业务收入的数据分别为：，，，，
    其余个地区第一季度快递业务收入的数据的频数分布表如下：

第一季度快递业务收入的数据在这一组的是：，，，，，，，，，
排在前位的地区、其余个地区、全部个地区第一季度快递业务收入的数据的平均数、中位数如下：

根据以上信息，回答下列问题：
表中的值为______；
在下面的个数中，与表中的值最接近的是______填写序号；



根据中的数据，预计这个地区年全年快递业务收入约为______亿元．

24. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．
    求点，的坐标；
    点关于轴的对称点为，将直线，直线都沿轴向上平移个单位，点在直线平移后的图形上，点在直线平移后的图形上，试比较，的大小，并说明理由．
25. 点在正方形的边上不与点，重合，点关于直线的对称点为，作射线交交于点，连接．
    求证：；
    过点作交射线于点．
    求的度数；
    用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．

26. 对于平面直角坐标系中的直线：与矩形给出如下定义：设直线与坐标轴交于点，不重合，直线与矩形的两边交于点，不重合，称线段，的较小值为直线的关联距离，记作特别地，当时时，已知，，．
    若，则______，______；
    若，，则的值为______；
    若，直接写出的最大值及此时以，，，为顶点的四边形的对角线交点坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是最简二次根式，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D.，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

3.【答案】 

【解析】解：、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故C不符合题意；
D、对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不是的函数，故D符合题意；
故选：．
根据函数的概念，对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，即可解答．
本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，
，
点为线段的中点，
．
故选：．
根据坐标求线段的长，利用勾股定理求解．
本题考查了坐标和图形的性质，及直角三角形的性质，结合勾股定理求解是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由表知，这组数据重出现次数最多，有次，
所以这组数据的众数为，
故选：．
根据众数的定义求解即可．
本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的定义．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，且是整数；
是整数，即是完全平方数；
的最小正整数值为．
故选：．
因为是整数，且，则是完全平方数，满足条件的最小正整数为．
主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
 

7.【答案】 

【解析】解：设与的函数解析式为，
点，在该函数图象上，
，
解得，
即与的函数解析式为，
当时，，
故选：．
根据待定系数法先求出函数解析式，然后将代入函数解析式求出相应的的值，即可解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
正方形网格的面积为：，
，
故结论错误；
，
正方形网格的面积为：，
，
故结论正确；
由得：，则，
由得：，则，
，
正方形，的面积相等，
，
故结论正确．
故选：．
分别求出正方形的面积及正方形网格的面积，再进行比较即可；
分别求出正方形的面积及正方形网格的面积，再进行比较即可；
结合进行求解即可．
本题主要考查二次根式的应用，解答的关键是根据所给的图形表示出相应的图形的面积．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据二次根式的除法法则：进行计算即可．
此题主要考查了二次根式的除法，关键是掌握计算法则．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：半径，
点表示的数为，
故答案为：．
根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点的位置可得答案．
本题考查了实数与数轴，体现了数形结合的数学思想，解题时注意点在数轴的正半轴上．
 

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：添加条件为：，理由如下：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
，
四边形是平行四边形，
又，
，
平行四边形是矩形，
故答案为：答案不唯一．
由平行四边形的性质得，，再证，得四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：点，
，
四边形是正方形，
，，
，
设经过点的反比例函数的解析式为，
，
，
，
故答案为：答案不唯一
由点的坐标及正方形的性质求出点的坐标，设经过点的反比例函数的解析式为，继而求出反比例函数的解析式即可．
本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，反比例函数解析式的特点，待定系数法是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：年月日至日气温的平均数为：，
方差为：
年月日至日气温的平均数为：，
方差为：，
方差越大的数据越不稳定，由于，
所以年月日至日气温更稳定．
故答案为：．
分别计算两年的月上旬的平均数和方差，然后根据方差的意义判断．
本题考查了方差，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

15.【答案】 

【解析】解：由作图可知，，，
四边形是平行四边形，
，，
无法判断，
不一定成立，
故答案为：；
证明四边形是平行四边形，可得结论．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

16.【答案】   

【解析】解：由题意得：第次出现，位于从左向右第列；
第次出现，位于从左向右第列；
第次出现，位于从左向右第列；
；
第次出现，位于从左向右第列；
故答案为：；
根据题意可得：天干有个，地支有个，和的最小公倍数是，故序号每隔循环一次，
甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸
子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥
年是壬寅年，即壬和寅在一列中，该列的序号可以是从左向右的第列．
故答案为：答案不唯一．
时，第列，即；时，第列，即；时，第列，即；由此可得规律；
和的最小公倍数是，故序号每隔循环一次，列出一组数，找到壬寅年是第列，可以是，从而可解答．
此题主要考查规律问题的探索与运用，了解天干地支纪年法的基础知识是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
在运算中每个根式可以看作是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
考查了二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

18.【答案】证明：证法一：
四边形为平行四边形，
，，
又、是、的中点，

，

，
，，
四边形是平行四边形，
．

证法二：
四边形为平行四边形，
，，，
又、是、的中点，

，

，
，
≌，
． 

【解析】方法一：先根据平行四边形的性质及中点的定义得出，，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证出四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等得出；
方法二：先利用“边角边”证明≌，再根据全等三角形的对应边相等得出．
本题考查了证明两条线段相等的方法，一般来说，可以证明这两条线段是一个平行四边形的一组对边，也可以证明这两条线段所在的三角形全等．注意根据题目的已知条件，选择合理的判断方法．
 

19.【答案】解：，，
，，
． 

【解析】直接利用平方差公式计算进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用平方差公式是解题关键．
 

20.【答案】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：或不符合题意，舍去，
的长为． 

【解析】由含度角的直角三角形的性质，得出，由及勾股定理即可求出的长度．
本题考查了含度角的直角三角形，勾股定理，掌握含度角的直角三角形的性质，勾股定理是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：一次函数与的图象都经过点，
，，
，；
画出函数和函数的图象如图，

观察图象，当时，． 

【解析】利用待定系数法求得即可；
观察图象即可得出结论．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，一次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
 

22.【答案】证明：如图，连接，

，，
四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
，
点是的中点，
，
四边形是菱形；
解：如图，

四边形是菱形，，
，，
，分别是，的中点，
，
，
又，
，
． 

【解析】先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出，即可得出四边形是菱形；
由菱形的性质得出，，由勾股定理可求出答案．
本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】     

【解析】解：将这个地区的第一季度快递业务收入从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，即中位数，
故答案为：；
，
故答案为：；
亿元，
故答案为：．
根据中位数的定义进行计算即可；
由平均数的计算法则进行计算即可；
利用中的结果进行计算即可．
本题考查频数分布表，平均数、中位数、众数以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的定义及计算方法是正确解答的前提．
 

24.【答案】解：直线与轴交于点，与轴交于点．
将代入，得到：，
，
将代入，得到，
解得：，
；
点关于轴的对称点为，
，
直线为，
将直线，直线都沿轴向上平移个单位，得到、，
点在直线上，
，
点在直线上，
，
，
． 

【解析】令和时，代入解析式得出坐标即可；
求得直线的解析式为，根据平移的规律得到、，由图象上点的坐标特征得到，，由，即可得出．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，图象上点的坐标适合解析式是解答此题的关键．
 

25.【答案】证明：四边形是正方形，
，
，关于对称，
，
，，
；

解：连接．
，关于对称，
，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
，
；

结论：．
理由：过点作于点．
，
，
，
，
，，，
≌，
，
，关于对称，
，
． 

【解析】利用等角的余角相等证明即可；
连接，证明，证明，可得结论；
结论：过点作于点证明≌，推出，再证明，，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质，轴对称变换，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

26.【答案】   或 

【解析】解：，
，
令则；令则，
，，
，
直线：，
当时，，当时，
，，
，
故答案为：，；
若，
直线：，
当时，，当时，，
，，
，
，
此时，：，
当时，，当时，，
，，
，符合题意；
若，
则直线与矩形的交点在，上，
直线：，
当时，，当时，，
，，
，
解得，
此时直线的解析式为：，
时，，当时，，
，，
，符合题意，
故答案为：或；
，
交矩形必在，上，
直线的解析式为：，
当时，，当时，，
，，
，
由得，，，
，
当时，有最大值，
即，
解得，
最大值为，
此时，，，，
四边形是平行四边形，
对角线的交点为，的中点，
即，
对角线交点为，
综上所述，最大值为，对角线交点为
当时，分别根据直线解析式求出点点的坐标，点和点的坐标，进而求出和即可；
若，则分和两种情况分别计算的值即可；
若，则交矩形和边上，分别用的代数式表示出和，当时，有最大值，此时四边形是平行四边形，用中点坐标公式求出对角线交点坐标即可．
本题主要考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质，平行四边形的性质等知识是解题的关键．