2021-2022学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学七年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列各数中是无理数的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列各数中，是不等式的解是

A.  B.  C.  D.

3. 长征二号遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心将神舟十三号送入近地点高度，远地点高度的近地轨道．其中数字用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 下列二元一次方程，其中一组解为的是

A.  B.  C.  D.

5. 关于的一元一次不等式的解集在数轴上表示为

A.  B.
C.  D.

6. 根据下列表述，不能确定具体位置的是

A. 电影院一层的排座 B. 长沙市解放路号
C. 运达广场南偏西 D. 东经，北纬

7. 点在第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标为

A.  B.  C.  D.

8. 我国古代数学名著孙子算经中记载了一道题，大意是：匹马恰好拉了片瓦，已知匹小马能拉片瓦，匹大马能拉片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有匹，大马有匹，则下列方程组中正确的是

A.  B.
C.  D.

9. 若是关于、的二元一次方程，则的值为

A.  B.  C. 或 D.

10. 如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，，按这样的运动规律，第次运动后，动点的坐标是

1. 
    B.  C.  D.

二．填空题（本题共6小题，共18分）

11. 将方程变形成用代数式表示，则 ______ ．
12. 规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，按此规定，______．
13. 若关于的不等式解集为，化简 ______ ．
14. 已知关于、的方程组的解是，则______．
15. 如图，，，，则______．
    
     

16. 如果的正整数解是、、、，那么的取值范围是______．

三．计算题（本题共1小题，共6分）

17. 计算：．

四．解答题（本题共8小题，共66分）

18. 解方程组：
19. 解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
20. 已知的平方根是，的立方根是，整数满足不等式求的算术平方根．
21. 如图，的顶点在原点，、坐标分别为，，将向左平移个单位后再向下平移单位，可得到．
    请画出平移后的的图形；
    写出各个顶点的坐标；
    求的面积．

22. 年月日，财政部、工信部、科技部和发改委联合发布年新能源汽车补贴方案，明确了年新能源汽车购置补贴政策将于年月日终止．目前，新能源汽车销售形势越发见好．某汽车专卖店销售，两种型号的新能源汽车．上周售出辆型车和辆型车，销售额为万元，本周已售出辆型车和辆型车，销售额为万元．
    求每辆型车和型车的售价各为多少万元；
    某公司拟向该店购买，两种型号的新能源汽车共辆，且型号车不超过辆，购车费不超过万元，则该公司有哪几种购车方案？
23. 如图，已知，且．
    求证：，
    请补充完成下面证明：
    ，，
    ．
    ______
    ____________
    又已知，
    ______
    同位角相等，两直线平行．
    ______
    若平分，且，，求的度数．
24. 对于平面直角坐标系中任一点，规定三种变换如下：
    如：；
    如：；
    如：；
    例如：，，
    规定坐标的部分规则与运算如下：
    若，且，则，反之若，则，且．
    ；．
    例如：，，，，，．
    请回答下列问题：
    化简：______填写坐标；
    化简：______填写坐标；
    若且为绝对值不超过的整数，点在第三象限，求满足条件的的所有可能取值．
25. 在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为，，，其中，，满足，方程为二元一次方程．

求，，的值；
是否存在一点，使得的面积是面积的，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
在平面直角坐标系中，对于三个不重合的点的“矩面积”给出如下定义：“水平底”指任意两点横坐标差的最大值，“铅锤高”指任意两点纵坐标差的最大值，“矩面积”，例如，、、三点的“水平底”，“铅锤高”，“矩面积”．
已知点，其中，若、、三点的矩面积为，求的值．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是无理数，故本选项符合题意；
D.是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：．
根据无理数的概念求解即可．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

2.【答案】

【解析】解：，
，
，
故选：．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

3.【答案】

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：、把代入方程得：左边，右边，
左边右边，不是方程的解；
B、把代入方程得：左边，右边，
左边右边，不是方程的解；
C、把代入方程得：左边，右边，
左边右边，不是方程的解；
D、把代入方程得：左边，右边，
左边右边，是方程的解；
故选：．
把与的值代入方程检验即可．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
 

5.【答案】

【解析】解：，
移项得：，
合并得：，
解得：，
故选：．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项，系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

6.【答案】

【解析】解：电影院一层的排座，能确定具体位置，故此选项不合题意；
B.长沙市解放路号，能确定具体位置，故此选项不合题意；
C.运达广场南偏西，不能确定具体位置，故此选项符合题意；
D.东经，北纬，可以确定具体位置，故此选项不合题意；
故选：．
根据平面内的点与有序实数对一一对应分别对各选项进行判断．
本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征．
 

7.【答案】

【解析】解：点在第二象限，
点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
点距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，
点的坐标为．
故选：．
首先确定点的横纵坐标的正负号，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标．
此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
 

8.【答案】

【解析】解：根据题意可得：，
故选：．
根据“匹小马能拉片瓦，匹大马能拉片瓦”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：是关于、的二元一次方程，
，，
解得：，
故选：．
直接利用二元一次方程的定义进而分析得出答案．二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，像这样的方程叫做二元一次方程．
此题主要考查了二元一次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
 

10.【答案】

【解析】解：观察图象，动点第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，第四次运动到，第五运动到，第六次运动到，，结合运动后的点的坐标特点，
可知由图象可得纵坐标每次运动组成一个循环：，，，，，；
，
经过第次运动后，动点的纵坐标是，
故选：．
观察图象，结合第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，，运动后的点的坐标特点，分别得出点运动的横坐标和纵坐标的规律，再根据循环规律可得答案．
本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律：纵坐标每次运动组成一个循环是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：方程，
解得：，
故答案为：
把看做已知数求出即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看做已知数求出．
 

12.【答案】

【解析】解：，
，
．
故答案为：
先求出的范围，再根据范围求出即可．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出是解答本题的关键．
 

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
先根据不等式的解集求出 的取值范围，再去绝对值符号即可．
【解答】
解： 关于 的不等式 解集为 ，
，即 ，
，
．   

14.【答案】

【解析】解：将方程组的解代入方程组得：，
两式相加得：，
．
故答案为：．
将方程组的解代入方程组得：，两式相加即可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的解，考查整体思想，两式相加直接求出的值是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：如图，连接，

，
，
，
，
又，，，
．
故答案为：．
连接，根据平行线的判定方法可得，再根据平行线的性质以及三角形的内角和定理解答即可．
本题考查平行线的性质和判定，掌握平行线的判断方法以及平行线的性质是解答本题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：解不等式，得
，
当在大于等于小于的范围之内，
此不等式的正整数解都是，，，，
，
解得，
故答案为．
先解不等式，可得，又知不等式的正整数解都是，，，，可得，解此不等式组即可．
本题考查了不等式的正整数解，解题的关键是注意能根据整数解的具体数值，找出不等式解集的具体取值范围．
 

17.【答案】解：

．

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

18.【答案】解：
，得：，
解得：，
将代入，的：，
解得：，
则方程组的解为．

【解析】利用加减消元法求解可得．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

19.【答案】解：，
由得：；
由得：，
不等式组的解集为，
则不等式组的所有非负整数解为：，，，．

【解析】此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可确定出所有非负整数解．
 

20.【答案】解：的平方根是，的立方根是，
，，
，，
，
，
，



，
的算术平方根是．

【解析】根据平方根和立方根的定义求出，的值，估算无理数的大小得到的值，代入代数式求值，再求算术平方根即可得出答案．
本题考查了无理数的估算，平方根，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，即为所求；
，，；
的面积．
 

【解析】利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
根据点的位置写出坐标即可；
利用三角形面积公式求解．
本题考查作图平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：设每辆型车的售价为万元，每辆型车的售价为万元，
依题意得：，
解得：．
答：每辆型车的售价为万元，每辆型车的售价为万元．
设购进辆型号车，则购进辆型号车，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
可以为，，，，
该公司共有种购车方案，
方案：购进辆型号车，辆型号车；
方案：购进辆型号车，辆型号车；
方案：购进辆型号车，辆型号车；
方案：购进辆型号车，辆型号车．

【解析】设每辆型车的售价为万元，每辆型车的售价为万元，利用总价单价数量，结合“上周售出辆型车和辆型车，销售额为万元，本周已售出辆型车和辆型车，销售额为万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进辆型号车，则购进辆型号车，利用总价单价数量，结合“购进型号车不超过辆，购车费不超过万元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购车方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 

23.【答案】同位角相等，两直线平行    两直线平行，内错角相等  等量代换  两直线平行，同位角相等

【解析】解：，，
，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，内错角相等，
又已知，
等量代换，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，同位角相等，
故答案为：同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；
，，
，
，
，
平分，
，
．
由题意可得，从而可判断，则有，得到，即得；
利用三角形的内角和可求得的度数，再利用角平分线的定义得，从而得解．
本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．
 

24.【答案】 

【解析】解：，，，
故答案为：；
，，，，，，
故答案为：；
，，，，，，
，，，，，，
，
，
，
，
，
点在第三象限，
，
，
为绝对值不超过的整数，
的所有可能取值为、．
根据新定义进行化简即可．
根据新定义进行化简即可．
根据坐标的变换规则和运算规则，对式子进行化简，得到等式，根据点的坐标特点，列出不等式求解即可．
本题考查了依据有关规定进行推理运算的能力，读懂题意，找出变换规律是解答此题的关键．
 

25.【答案】解：为二元一次方程，
，，
，
，
，
解得：；
由题意得：，，，
，
，
如图，

的面积是面积的，
，
，
或，
或；
当时，，，
此时，
解得：，，都不合题意舍去，
当时，，，
此时，
解得：；
综上所述，．

【解析】根据二元一次方程的定义可得，根据算术平方根和绝对值的非负性列方程组可得，的值；
写出点、、的坐标，根据的面积是面积的，列等式可得的值，计算点的坐标；
分两种情况：当时；当时；根据，即可得出的值．
本题是三角形综合题目，考查了新定义问题、坐标与图形性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，读懂题目信息，理解“水平底”、“铅垂高”、“矩面积”的定义是解题的关键．