2021-2022学年湖南省株洲市荷塘区景弘中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省株洲市荷塘区景弘中学七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 计算的结果(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如果是二元一次方程，那么，的值分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

3. 下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 在下列计算中，不能用平方差公式计算的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，平行线，被直线所截，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 已知是一个完全平方式，则的值为(    )

A.  B. 或 C.  D.

7. 如图，将三角形沿方向平移得到三角形，若三角形的周长为则四边形的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 将一副三角板按如右图放置，则下列结论：
    如果，则有；
    ；
    如果，则有；
    如果，必有；
    正确的有(    )

1.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32分）

11. 多项式的公因式是______．
12. 计算：______．
13. 已知，，则代数式______．
14. 已知，，，则的值为______．
15. 计算的结果不含的项，那么________．
16. 如图，，，，则______．

17. 如图，将长方形纸片折叠成如图的形状，，则______．

18. 已知，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共78分）

19. 解下列方程组：
    ；
    ．
20. 计算：
    ；
    ．
21. 因式分解：
    ；
    ．
22. 先化简再求值：，其中，．
23. 为了防治“新型冠状病毒”，某单位准备用元购买医用口罩和洗手液．若医用口罩买个，洗手液买瓶，则还缺元钱：若医用口罩买个，洗手液买瓶，则钱恰好用完．
    求医用口罩和洗手液的单价；
    由于实际需要，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价元的口罩．若需购买医用口罩和口罩共个，其中口罩不超过个，钱恰好全部用完，则有几种购买方案？设购买口罩个，请列式计算．
24. 如图，在中，于，，．
    求证：；
    若，，求及的度数．

25. 教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
    例如：；
    ，则当时，有最小值，最小值是根据材料用配方法解决下列问题：
    分解因式：______；
    当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值；
    已知，求出，的值．
26. 如图，已知直线．
    在图中，点在直线上，点在直线上，点在、之间，若，，则______；
    如图，若平分，延长交于点，平分，当时，求的度数；
    如图，直线平分，直线平分相交于点，试猜想与的数量关系，并说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接利用单项式乘以单项式运算法则计算得出答案．
此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：是二元一次方程，
，，解得：，．
故选：．
依据二元一次方程的未知数的次数为列出方程组求解即可．
本题主要考查的是二元一次方程的定义，依据二元一次方程的未知数的次数为列出方程组是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据因式分解的定义可知：选项为因式分解，
故选：．
根据将多项式化为几个整式的乘积形式即为因式分解进行判断即可．
本题考查了因式分解的意义，解题的关键是正确理解因式分解的意义，本题属于基础题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C不符合题意；
，
选项D符合题意；
故选：．
利用平方差公式的特点，完全平方公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式的特点，完全平方公式的特点是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
．
故选：．
直接利用对顶角以及平行线的性质分析得出答案．
此题主要考查了平行线的性质以及对顶角，正确掌握平行线的性质是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：是一个完全平方式，
，
解得：或，
故选：．
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，将周长为的沿向右平移得到，
，，；
又，
四边形的周长．
故选C．
根据平移的基本性质得出四边形的周长，即可得出答案．
本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到和是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
由已知条件可得：，再利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，再代入运算即可．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据完全平方公式即可求出答案．
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
根据平行线的判定定理判断；根据角的关系判断即可；根据平行线的性质定理判断；根据的结论和平行线的性质定理判断．
本题考查的是平行线的性质和余角、补角的概念，掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．
【解答】
解：，
，
又，
，
，正确；
，，
即，
故正确；
，
，
又，，
，
，故正确；

，
，
，
，正确．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：，
公因式为：．
故答案为：．
根据公因式的寻找方法：先确定系数：最大公约数；再找同底数的幂：指数最低的；即可确定答案．
此题考查了公因式的确定方法．如果各项是单项式，则先确定系数：最大公约数，再找同底数的幂：指数最低的；如果各项是多项式，则需要先因式分解．
 

12.【答案】 

【解析】解：



．
故答案为：．
利用积的乘方的法则进行求解即可．
本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与灵活运用．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
原式

，
故答案为：．
根据平方差公式即可求出答案．
本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
原式．
故答案为．
先把代数式写成的形式，再把，代入即可．
本题考查了完全平方公式以及代数式求值，熟记是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：

．
又结果中不含的项，
，解得．
故答案为：．
把式子展开，合并同类项后令项的系数为，可求出的值．
本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，，
，，
．
故答案为：．
由平行线的性质可得，，从而可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
 

17.【答案】 

【解析】解：由折叠可得，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
先依据折叠可得，根据邻补角定义得到，再根据平行线的性质，即可得到的度数．
本题主要考查了折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握折叠的性质、平行线的性质是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：


将变形为代入得
原式

，
故答案为：．
直接把原代数式变形，然后将已知条件代入原代数式计算可得答案．
此题考查了整式的混合运算化简求值以及因式分解的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

19.【答案】解：，
，得，
解得，
将代入，得，
解得，
原方程组的解为；
，
，得，
解得，
将代入，得，
解得，
原方程组的解为． 

【解析】根据加减消元法，得，解出的值代入，解出的值，即可确定方程组的解；
根据加减消元法，得，解出的值代入，解出的值，即可确定方程组的解．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式
；
原式
 

【解析】利用同底数幂的乘法的运算法则，幂的乘方和积的乘方的运算法则，以及整式的加减法法则解答即可；
利用积的乘方的运算法则以及单项式乘单项式的运算法则解答即可．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方和积的乘方以及单项式乘单项式等知识，熟练掌握相关的法则是解题的关键．
 

21.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】先提取公因式，再套用完全平方公式；
用提公因式法分解．
本题考差了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．
 

22.【答案】解：原式

；
当，时，
原式． 

【解析】先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的计算法则计算乘方，乘法，然后再算加减，最后代入求值．
本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式和平方差公式，，是解题关键．
 

23.【答案】解：设医用口罩的单价为元，洗手液的单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：医用口罩的单价为元，洗手液的单价为元．
设购买口罩个，洗手液瓶，则购买医用口罩个，
依题意得：，
化简得：
，均为正整数，且，
为的倍数，
可以为，，．
共有种购买方案． 

【解析】设医用口罩的单价为元，洗手液的单价为元，根据“某单位准备用元购买医用口罩和洗手液．若医用口罩买个，洗手液买瓶，则还缺元钱：若医用口罩买个，洗手液买瓶，则钱恰好用完”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出医用口罩和洗手液的单价；
设购买口罩个，洗手液瓶，则购买医用口罩个，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合“，均为正整数，且”，即可得出的值，进而可得出购买方案的个数．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
 

24.【答案】解：证明：，
．
又，
，
；
在中，，，
．
又由知，，
，
，，
，

． 

【解析】由平行线的性质、等量代换推知内错角，则易证得结论；
在中，由三角形内角和是度求得；然后根据中的推知同位角；由，得，再结合即可求出．
本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
 

25.【答案】 

【解析】解：；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
当时，多项式有最大值，最大值是．
；
；
；
；
；
；
，．
根据阅读材料，先变形为，再根据完全平方公式写，然后利用平方差公式分解即可；
利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质进行解答；
利用配方法把多项式转化为，然后利用非负数的性质进行解答．
本题考查了配方法因式分解、配方法求代数式的最值、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，读懂材料，掌握配方法的步骤和运用是解答的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：如图所示，过作，

，
，
，，
，即，
，
故答案为：；

平分，平分，
可设，，
如图所示，过作，过作，

，
，
，，，，
，，
又，
，
，
；

猜想：理由：
平分，平分，
可设，，
如图所示，过作，过作，

，
，
，，，，
，，
．
过作，依据，即可得到，，进而得出的度数；
过作，过作，依据平行线的性质以及角的和差关系，即可得到的度数；
过作，过作，依据平行线的性质以及角的和差关系，即可得到与的数量关系．
本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线构造内错角或同位角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．