2021-2022学年福建省厦门十一中七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省厦门十一中七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 下列实数是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在平面直角坐标系中，点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 下列数据中不能确定物体位置的是(    )

A. 电影票上的“排号” B. 小明住在某小区号楼号
C. 南偏西 D. 东经，北纬的城市

4. 若是关于，的二元一次方程，则的值是(    )

A. 或 B.  C.  D. 任何数

5. 如图，测量运动员跳远成绩选取的应是图中(    )

A. 线段的长度 B. 线段的长度 C. 线段的长度 D. 线段的长度

6. 下列各式中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 下列语句正确的是(    )

A. 的平方根是
B. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行
C. 同旁内角互补
D. 若，则点在坐标原点

9. 孙子算经记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”大致意思是：今有若干人乘车，若每人共乘一辆车，最终剩余辆车；若每人共乘一辆车，最终剩余人无车可乘．问共有多少人？有多少辆车？若设有人，有辆车，根据题意，所列方程组正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，，平分交于，，，，分别是，延长线上的点，和的平分线交于点下列结论：；；平分；，其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共32分）

11. 的算术平方根是______；
    ______；
    比较大小： ______；
    为了说明命题“”是假命题，可举反例______；
    命题“对顶角相等”的题设是______，结论是______．
12. 已知方程，用含的式子表示，则______，当时，______．
13. 平面直角坐标系中，已知点，线段轴，且，则点的坐标为______．
14. 如图，直线，直角三角板的直角顶点在直线上，若，则的度数______ ．

15. 对于实数，，定义一种新的运算“”，规定，其中，为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算如果，，那么 ______ ．
16. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，连结、交于点，则三角形的面积为______．

三、解答题（本大题共9小题，共78分）

17. 计算：；
    已知，求的值；
    解方程组．
18. 如图，已知直线、相交于点，，垂足为若，分别求出、、的度数．

19. 阅读并填空完善下列证明过程：
    如图，已知于，于，，
    求证：
    证明：于，于已知
    ____________
    同位角相等，两直线平行
    ______
    又已知
    ______
    __________________
    ______

20. 如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，
    则大正方形的边长是______；
    若将此大正方形纸片的局部剪掉，能否剩下一个长宽之比为：且面积为的长方形纸片，若能，求出剩下的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．

21. 如图，的顶点，，若向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，且点的对应点坐标是．
    画出，并直接写出点的坐标；
    若内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标；
    求的面积．

22. 温州苍南马站四季柚，声名远播，今年又是一个丰收年．某经销商为了打开销路，对个四季柚进行打包优惠出售．打包方式及售价如图．假设用这两种打包方式恰好装完全部柚子．
    若销售箱纸盒装和袋编织袋装四季柚的收入共元，求的值．
    当销售总收入为元时．若这批四季柚全部售完，请问纸盒装共包装了多少箱？编织袋装共包装了多少袋？

23. 当，都是实数，且满足，就称点为完美点．
    判断点是否为完美点，并说明理由．
    已知关于，的方程组，当为何值时，以方程组的解为坐标的点是完美点，请说明理由．
24. 如图，在五边形中，，．
    猜想与之间的位置关系，并说明理由；
    如图，延长至，连接，若，，，求的度数．
     

25. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点从点出发沿轴正方向以每秒个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速移动．
    直接写出点的坐标______，和位置关系是______；
    当、分别是线段，上时，连接，，使，求出点的坐标；
    在、的运动过程中，当时，请探究和的数量关系，并说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】
解：是无理数；是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；是有限小数，属于有理数．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：点在平面直角坐标系中，点在第二象限．
故选：．
根据各象限内点的坐标特征解答．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

3.【答案】 

【解析】解：电影票上的“排号”，位置明确，故本选项不符合题意；
B.小明住在某小区号楼号，位置明确，故本选项不符合题意；
C.南偏西，位置不明确，故本选项符合题意；
D.东经，北纬的城市，位置明确，故本选项不符合题意；
故选：．
根据坐标确定位置需要两个数据对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个数据是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：是关于，的二元一次方程，
且，
解得：，
故选：．
根据二元一次方程的定义得出且，再求出即可．
本题考查了二元一次方程的定义和绝对值，能根据二元一次方程的定义得出且是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：依据垂线段最短，可得测量运动员跳远成绩选取的应是图中线段的长度．
故选：．
利用从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短求解即可．
本题考查了垂线段的性质：垂线段最短．垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
 

6.【答案】 

【解析】解：、原式，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D符合题意．
故选：．
根据二次根式的性质即可求出答案．
本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：将记作式，记作式．
，得．
．
又关于，的二元一次方程组的解满足，
．
．
故选：．
将记作式，记作式，将，得，故，进而推断出，，那么．
本题主要考查等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质对等式进行变形是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：的平方根是，故本项错误；
 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，正确；
 两直线平行，同旁内角互补，故本项错误；
 若，则点在坐标轴上，故本项错误．
故选：．
分别根据平方根的定义、平行线的性质、直角坐标系知识进行判定即可．
本题考查了平方根、平行线的判定及性质、坐标与图形的性质，熟练掌握平方根的定义、平行线的判定等知识是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：若每人共乘一辆车，最终剩余辆车，
；
若每人共乘一辆车，最终剩余人无车可乘，
．
所列方程组为．
故选：．
根据“若每人共乘一辆车，最终剩余辆车；若每人共乘一辆车，最终剩余人无车可乘”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图：

，，
，
，，
，
又，
，
，
，
，故正确；
，
，
，
又于不一定相等，
，故错误；
，，而，
，
平分，故正确；
，
．
和的平分线交于点，
．
，
，
，
，故正确．
综上所述正确的有：，共个．
故选：．
先根据，平分交于点，，，和的平分线交于点，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．
本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的性质，
 

11.【答案】      答案不唯一  两个角是对顶角  这两个角相等 

【解析】解：的算术平方根是，
故答案为：；
，
，
故答案为：；
，
，
，
故答案为：；
当时，，不满足“”，故命题“”是假命题，
故答案为：答案不唯一；
命题“对顶角相等”的题设是两个角是对顶角，结论是这两个角相等，
故答案为：两个角是对顶角，这两个角相等．
根据算术平方根的定义、绝对值的意义、实数大小的比较、命题的结构等知识逐题解答即可．
本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握算术平方根的定义、绝对值的意义、实数大小的比较、命题的结构等知识是解答此题的关键．
 

12.【答案】   

【解析】解：，
，
当时，．
故答案为：；．
将看作已知数求出即可，再把代入计算即可．
本题考查的是解二元一次方程，熟知解方程的基本步骤是解答此题的关键．
 

13.【答案】， 

【解析】解：轴，
点纵坐标与点纵坐标相同，为，
又，可能右移，横坐标为；可能左移横坐标为，
点坐标为，，
故答案为：，．
在平面直角坐标系中线段与轴平行，则它上面的点纵坐标相同，可求点纵坐标；线段与轴平行，相当于点左右平移，可求点横坐标．
本题考查平面直角坐标系中平行特点和平移时坐标变化规律，还渗透了分类讨论思想．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，


．
，
．
故答案为：．
先根据平角的定义求出的度数，再根据两直线平行同位角相等即可求出的度数．
此题考查了平行线的性质，解题的关键是：根据平角的定义求出的度数．
 

15.【答案】 

【解析】解：已知等式利用题中的新定义化简得：
，
得：，
把代入得：，
则原式．
故答案为：．
已知等式利用题中的新定义化简得到方程组，求出方程组的解得到与的值，代入原式计算即可求出值．
此题考查了解二元一次方程组，立方根以及实数的运算，解二元一次方程组利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，如图，

，，，，
，，，，
设，
，
；
，
；
解方程组得，，
．
故答案为：．
连接，设，由和的面积列出、的方程组求得、，再由和的面积差求得的面积便可．
本题考查了点的坐标的特征，三角形的面积和差的关系，关键是求点的坐标．
 

17.【答案】解：原式
；
开方得：或，
解得：，；
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
则方程组的解为． 

【解析】原式利用算术平方根、立方根定义计算即可求出值；
方程利用平方根定义开方即可求出解；
方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，平方根，以及实数的运算，熟练掌握方程组的解法及运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】解：，，
，
，
． 

【解析】利用余角、邻补角的定义进行计算即可．
本题考查的是余角、邻补角的定义，熟练掌握互余的两角和为、互补的两角和为是解题的关键．
 

19.【答案】，垂直的定义
两直线平行，同旁内角互补
同角的补角相等
，，内错角相等，两直线平行
两直线平行，同位角相等． 

【解析】

【分析】
本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握垂直的定义、平行线的判定、平行线的性质、补角的性质等知识点．
根据垂直的定义、平行线的判定、平行线的性质、补角的性质求解可得．
【解答】
证明：于，于已知
垂直的定义
 同位角相等，两直线平行 
两直线平行，同旁内角互补
又已知
同角的补角相等
  内错角相等，两直线平行
 两直线平行，同位角相等．  

20.【答案】 

【解析】解：两个正方形面积之和为：，
拼成的大正方形的面积是，
大正方形的边长是；
故答案为：；
设长方形纸片的长为，宽为，
则，
解得：，
，
所以不能使剩下的长方形纸片的长宽之比为：，且面积为．
已知两个正方形的面积之和就是大正方形的面积，根据面积公式即可求出大正方形的边长；
先设未知数根据面积列方程，求出长方形的边长，将长方形的长与正方形边长比较大小再判断即可．
本题考查了算术平方根实际应用，能根据题意列出算式是解此题的关键．
 

21.【答案】解：如图所示：

点；
向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，
点；
． 

【解析】首先确定、、三点平移后的对应点位置，然后再连接即可；
由平移的性质可求解；
利用面积的和差关系可求解．
本题考查了平移作图，关键是正确确定图形平移后的对应点位置．
 

22.【答案】解：依题意得：，
解得：．
答：的值为．
设纸盒装共包装了箱，编织袋装共包装了袋，
依题意得：，
解得：．
答：纸盒装共包装了箱，编织袋装共包装了袋． 

【解析】利用总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值；
设纸盒装共包装了箱，编织袋装共包装了袋，根据两种包装共装了个四季柚且销售总收入为元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
 

23.【答案】解：，可得，，可得，
，
不是完美点．

，
，
，可得，
，可得，
，
，
，
当时，点是完美点． 

【解析】根据完美点的定义判定即可；
用表示、，构建方程即可解决问题；
本题考查二元方程组，点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于创新题目．
 

24.【答案】解：猜想：，
理由：，
，
，
，
；
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：． 

【解析】与平行，理由为：由，根据两直线平行同旁内角互补，可得：，然后由，根据等量代换可得：，然后根据同旁内角互补两直线平行，即可证明与平行；
由，根据两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，可得：，，由，根据等量代换可得：，，由，根据等量代换可得：，然后根据平角的定义可得：，进而可得，由，可得：，结合计算可求解的度数．
此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
 

25.【答案】解：；
过点作于，

设时间经过秒，，则，，
，
，，
，
，
，

解得，
，
，
点的坐标为；
或．
理由如下：当点在点的上方时，过点作，如图所示，

，
，，
，
，
，
，即；
当点在点的下方时；过点作 如图所示，

，
，，
，
，
，
，
即，
综上所述，或． 

【解析】

【分析】
本题考查的是三角形的面积计算、点的坐标、平行线的性质及判定、掌握非负数的性质、灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
根据非负数的性质分别求出、，得到点的坐标，根据坐标与图形性质判断和位置关系；
过点作于，根据三角形的面积公式求出，得到点的坐标；
分点在点的上方、点在点的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可．
【解答】
解：，
，，
解得，，
则点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
，
故答案为；；
见答案．
见答案．