福建省厦门十一中2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷(解析版)

这是一份福建省厦门十一中2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷(解析版)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省厦门十一中九年级（上）期中数学试卷  一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）   下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D.    方程的根是(    )A.  B. ，
C. ， D. ，   一元二次方程有两个不相等的实数根，则(    )A.  B.  C.  D.    对于反比例函数，下列说法正确的是(    )A. 的值随值的增大而增大
B. 的值随值的增大而减小
C. 当时，的值随值的增大而增大
D. 当时，的值随值的增大而减小   二次函数的顶点是(    )A.  B.  C.  D.    已知圆上的三点，，和圆内的一点，根据与的大小，下列四个选项中能判断点一定不是该圆圆心的是(    )A.  B.  C.  D.    如图四边形是正方形，点、分别在线段、上，若线段绕点逆时针旋转后与线段重合，则旋转的角度是(    )A.
B.
C.
D.    如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为，宽为的挂图，设边框的宽为，如果风景画的面积是，下列方程符合题意的是(    )
 A.  B.  
C.  D.    如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，若旋转角为，则为(    )A.
B.
C.
D. 如图，已知抛物线、、是常数，经过点和点若该抛物线的顶点在第一象限，记，则的取值范围是(    )A.
B.
C.
D.  二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）已知反函数的图象过一、三象限，则的取值范围是______．已知点与点关于原点对称，则的值是______．设，是关于的方程的两个根，则______．如图，内接于圆，点在弧上，记，则图中等于的角是______．
 如图，▱的对角线在轴上，原点为的中点，点在第一象限内，轴，当双曲线经过点时，则▱面积为______．
 二次函数是常数，的自变量与函数值的部分对应值如下表：且当时，与其对应的函数值，有下列结论：函数图象的顶点在第四象限内；和是关于的方程的两个根；，其中正确结论的是______填正确的序号． 三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
解方程：
；
．本小题分
在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为个单位长度，画出关于原点的中心对称图形，并写出点的坐标．
本小题分
已知二次函数．
用配方法将其化为的形式；
在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象．
本小题分
如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，若点，的对应点分别为点，，作出旋转后的三角形要求尺规作图，保留作图痕迹并使用水笔描，在作出的图形中求点与点之间的距离．
本小题分
如图，在中，半径过弦的中点，，．
求弦的长；
求的度数．
本小题分
如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，设，．
请你判断：线段的长度是方程的一个根吗？说明理由；
若线段，求的值．
本小题分
某河上有一座抛物线形拱桥，水面离拱顶时，水面宽一木船宽，高，载货后，木船露出水面的部分为以拱顶为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，为抛物线与水面的交点．当水面离拱顶时，木船能否通过这座拱桥？
本小题分
如图，四边形内接于，，，垂足为，点在的延长线上，且，连接、．
求证：；
若，，求点到线段的距离．
本小题分
抛物线经过点和点
求证：；
若抛物线经过点．
点在抛物线上，且点在第二象限，并满足，求点的坐标；
直线与抛物线交于，两点点在点的左侧，点是直线下方的抛物线上的一点，点在轴上，且四边形是平行四边形，求点的坐标．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 2.【答案】 【解析】解：对原方程直接开方得：，
解得．
故选：．
利用直接开平方法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：根据题意得，
解得．
故选：．
先利用判别式的意义得到，再解不等式确定的范围，然后利用的范围对各选项进行判断
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 4.【答案】 【解析】解：反比例函数，
每个象限内，的值随值的增大而增大．
故选：．
本题主要考查了反比例函数的性质．
直接利用反比例函数的性质分析得出答案．
 5.【答案】 【解析】解：二次函数，
该函数的顶点坐标为，
故选：．
根据题目中二次函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由二次函数的顶点式，可以直接写出函数的顶点坐标．
 6.【答案】 【解析】解：选项A，，中，，
选项A，，中，点可能是圆心．
选项D中，，
点肯定不是圆心，
故选：．
利用圆周角定理判断即可．
本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 7.【答案】 【解析】解：四边形是正方形，
，，
线段绕点逆时针旋转后与线段重合，
，
在和中，，
≌，
，
，
，
，
旋转角为．
故选：．
根据正方形的性质可得，，再根据旋转的性质可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再根据旋转的定义可得旋转角的度数．
本题考查了正方形的性质，旋转的定义，全等三角形的判定与性质，求出和全等是解题的关键，也是本题的难点．
 8.【答案】 【解析】解：依题意，设边框的宽为，
，
故选：．
根据矩形的面积长宽，我们可得出本题的等量关系应该是：整个挂图的长个边框的宽度整个挂图的宽个边框的宽度风景画的面积，由此可得出方程，化为一般形式即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．
 9.【答案】 【解析】解：设与交于点，如图所示，
旋转角为，
，
四边形是矩形，
，
由旋转可知：，
，
，
，
．
设与交于点，根据旋转的角度结合矩形的性质可得出的度数，再由四边形内角和为即可得出的度数，根据对顶角相等即可得出结论．
本题考查了旋转的性质、矩形的性质、四边形内角和以及对顶角的性质，根据旋转及四边形内角和为得出是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：将和点代入得：
，
解得：，
，抛物线，
抛物线的顶点在第一象限，
，且，
由得，
，
，即，
由，可得，
，
的范围是，
，即，
故选：．
由抛物线经过点和点可得，即得，抛物线，根据抛物线的顶点在第一象限，可列且，解得的范围是，即得．
本题考查二次函数与不等式综合知识，解题的关键是根据抛物线的顶点在第一象限，列出不等式，求出的取值范围．
 11.【答案】 【解析】解：的图象位于第一、第三象限，
，．
故答案为．
由题意得，反比例函数经过一、三象限，则，求出的取值范围即可．
本题考查了反比例函数的图象和性质：、当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．、当时，在同一个象限内，随的增大而减小；当时，在同一个象限，随的增大而增大．
 12.【答案】 【解析】解：点与点关于原点对称，
，，
解得，，
，
故答案为：．
首先根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得、的值，进而得到答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
 13.【答案】 【解析】解：根据根与系数的关系得．
故答案为：．
直接利用根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 14.【答案】 【解析】解：，，
，
图中等于的角是，
故答案为：．
根据圆周角定理即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：设点的坐标为，
双曲线经过点，
，
轴，
，，
又点为的中点，
，
▱面积，
故答案为：．
设点的坐标为，即可得到，再根据，，即可得到▱面积．
本题主要考查了反比例函数的几何意义以及平行四边形的面积，解题时注意：反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
 16.【答案】 【解析】解：根据图表可知：
二次函数的图象过点，，
对称轴为直线，，
当时，与其对应的函数值，
，，
函数图象的顶点在第四象限内；故正确；
根据二次函数的对称性可知：
关于对称轴的对称点为，
即和是关于的方程的两个根，
故正确；
对称轴为直线，
，
，
当时，与其对应的函数值，
，即，
．
对称轴为直线，二次函数的图象过点，
，当时，，
，
．
，
故错误．
综上所述，正确结论的是，
故答案为：．
根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与轴的交点，即可判断；
根据二次函数的对称性即可判断；
根据抛物线的对称轴确定与的关系式，再根据已知条件求出的取值范围即可判断．
本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
 17.【答案】解：方程移项得：，
配方得：，即，
此方程无解；
这里，，，


，
，
解得：，． 【解析】方程利用配方法求出解即可；
方程利用公式法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程公式法，以及配方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 18.【答案】解：关于原点的中心对称图形如图所示．．
 【解析】分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 19.【答案】解：；
，
顶点坐标为，对称轴为直线．
函数二次函数的开口向上，顶点坐标为，与轴的交点为，，
 其图象为：
 【解析】利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可；
利用描点法画出二次函数图象即可．
本题考查了二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解答此题的关键．
 20.【答案】解：如图，即为所求；

在中，，，，
．
将绕点顺时针旋转，点，的对应点分别是点，，
，，
． 【解析】根据图形旋转的性质画出旋转后的图形即可，先根据勾股定理求出的长，再由旋转的性质求出的长，进而可得出结论．
本题考查的是作图旋转变换，熟知图形旋转的性质及勾股定理是解答此题的关键．
 21.【答案】解：连接，如图所示：
半径过弦的中点，
，，，
，
；
由得：，，
是等腰直角三角形，
，
． 【解析】连接，先由垂径定理得，，，再由勾股定理求出，即可求解；
先证是等腰直角三角形，得，再由圆周角定理即可求解．
本题考查了垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
 22.【答案】解：在中，，
，
，．
，
方程变形为：，
，
，
，
线段的长度是方程的一个根；
，
，
，
，
，
整理得，
． 【解析】方程变形即可得到，根据勾股定理得到，由，即可得到结论；
由题意得，，根据勾股定理列出，整理得到，即可求得．
本题考查了解一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程并利用配方法得到是解题的关键．
 23.【答案】解：当水面距拱顶时，水面宽，
点的坐标是，
设抛物线的解析式为，
将点代入，
得：，
解得：，
抛物线的函数解析式为．
将代入，
得，
，
而，
当水面离拱顶时，木船不能通过这座拱桥． 【解析】当水面距拱顶时，水面宽，则，设抛物线的解析式为，将点的坐标代入上式求出函数解析式，再将代入解析式，得，而，即可判断船不能安全通过．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，进而求解．
 24.【答案】解：，
，，
，，
，
，
，
；

，
，
，
，
，
又，
是线段的中垂线，，．
又，
设，，
由，得，
解得，
，，，
，
，
，
作，垂足为，

，
． 【解析】由知，，从而得，，再由知，据此可得，即可得证；
先证得，由知是线段的中垂线，，设，，由求得，知，，，，，，，作，垂足为，由可得．
本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理及其推论、勾股定理等知识点．
 25.【答案】解：证明：由题意得：，
得：，
；
抛物线过，，
，
，，
，
，，
设直线的解析式为
则，解得，
直线的关系式是：，
作轴交轴于，设交轴于，直线交轴于，

，，，
，
，
，
，
，
，
直线的关系式是：，
由得，
，，
当时，，
；
如图二

由得，
，
，
，
设，
四边形是平行四边形，
，
，
，
． 【解析】将、两点坐标代入，化简可得证；
先求出抛物线的关系式，作轴交轴于，设交轴于，直线交轴于，先求出的关系式，求得的长，进而求得，进而求得的坐标，从而求得的关系式，进一步求得点坐标；
将抛物线和的关系式联立，根据一元二次方程根与系数关系，求得、的中点坐标，设点坐标，进而表示点坐标，代入抛物线的关系式，求得结果．
本题考查了二次函数及其图象性质，求一次函数的关系式，等腰三角形性质一元二次方程根与系数的关系等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造倍角．