高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性教学课件ppt

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性教学课件ppt，共34页。PPT课件主要包含了新知探究，1偶函数的定义，－x∈D，x为D中的任意值，f－x＝fx，1奇函数的定义，拓展深化微判断，微训练，答案原点，微思考等内容，欢迎下载使用。

在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如图，六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……
问题1　上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“图形的部分”对称？提示　整个图形对称.问题2　哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？提示　①是轴对称图形，②既是轴对称图形，又是中心对称图形.
1.偶函数的定义及图像特征
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有___________，且____________，则称y＝f(x)为偶函数.(2)偶函数的图像特征：偶函数的图像关于_______对称.反之，图像关于y轴对称的函数一定是____函数.
2.奇函数的定义及图像特征
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有____________，且______________，则称y＝f(x)为奇函数.(2)奇函数的图像特征：奇函数的图像关于_______对称.反之，图像关于原点对称的函数一定是_____函数.
f(－x)＝－f(x)
1.对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.( )提示　反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x2不是奇函数.2.不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.( )提示　函数f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数.3.奇函数f(x)的定义域为R，且f(－2)＝5，则f(2)＝－5.( )
2.函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则f(－2)＝________.
解析　∵当x>0时，f(x)＝－x＋1，∴f(2)＝－2＋1＝－1.又f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝1.答案　1
1.如果函数f(x)具有奇偶性，那么函数f(x)的定义域一定关于原点对称吗？
提示　定义域一定关于原点对称.由函数奇偶性的定义知，若x在定义域内，则－x一定也在定义域内(若－x不在定义域内，则f(－x)无意义)，因此，具有奇偶性的函数的定义域必关于原点对称.
2.若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)的值是多少？
提示　由于函数f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，又函数f(x)在x＝0处有意义，于是f(0)＝f(－0)＝－f(0)，即2f(0)＝0，所以f(0)＝0.
题型一　函数奇偶性的判定角度1　一般函数奇偶性的判断【例1－1】　判断下列函数的奇偶性：
解　(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数.(2)函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数.(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数.
解　f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x).综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数.
角度3　抽象函数奇偶性的判断【例1－3】　(1)已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数；
(2)已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)f(x2)，求证：f(x)为偶函数；(3)若函数f(x)的定义域为(－l，l)(l>0)，证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数.证明　(1)令a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0.令a＝－x，b＝x，则f(0)＝f(－x)＋f(x), ∴f(－x)＝－f(x)，又x∈R，关于原点对称，∴f(x)是奇函数.
(2)令x1＝0，x2＝x，则f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)　①，令x2＝0，x1＝x，得f(x)＋f(x)＝2f(0)f(x)　②.由①－②得f(－x)＝f(x).又x∈R，关于原点对称，∴f(x)是偶函数.(3)∵x∈(－l，l)，∴－x∈(－l，l)，可见f(－x)的定义域也是(－l，l).若设F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)，则F(x)与G(x)的定义域也是(－l，l)，显然是关于坐标原点对称的.又F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，G(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－G(x)，∴F(x)为偶函数，G(x)为奇函数，即f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数.
角度4　含参函数奇偶性的判断【例1－4】　判断下列函数的奇偶性：
解　(1)①当a＝0时，f(x)＝x2，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，则函数f(x)为偶函数；
综上所述，当a≠0时，函数f(x)即不是奇函数也不是偶函数；当a＝0时，函数f(x)为偶函数.
(2)函数的定义域为(－∞，＋∞)，关于坐标原点对称.①当a≠0时，f(－x)＝|－x＋a|－|－x－a|＝|x－a|－|x＋a|＝－(|x＋a|－|x－a|)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数；②当a＝0时，函数f(x)＝|x＋a|－|x－a|＝|x|－|x|＝0，此时函数f(x)既是奇函数又是偶函数.综上所述，当a≠0时，函数f(x)为奇函数；当a＝0时，函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
规律方法　判断函数奇偶性的四种方法：(1)定义法：
【训练1】　判断下列函数的奇偶性：
解　(1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数.(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数.(4)f(x)的定义域为R，当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)3＝－x3，而f(x)＝x2，∴当x<0时不满足f(－x)＝f(x)，也不满足f(－x)＝－f(x).故此函数是非奇非偶函数.
(1)已知f(x)在区间[0，＋∞)上的图像如图，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图像，请说明你的作图依据；(2)求证：f(x)＋g(x)＝1(x≠0).
即f(x)＋g(x)＝1(x≠0).
规律方法　(1)先判断函数的奇偶性；(2)利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称.
【训练2】　(1)如图给出了奇函数y＝f(x)的局部图像，则f(－2)的值为(　　)
(2)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，当x∈[0，5]时，函数y＝f(x)的图像如图所示，则使函数值y＜0的解集为(　　)
A.(2，5) B.(－5，－2)∪(2，5)C.(－2，0) D.(－2，0)∪(2，5)
(2)因为原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图像关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0，5]上的图像，知它在[－5，0]上的图像，如图所示，由图像知，使函数值y<0的解集为(－2，0)∪(2，5).
答案　(1)B　(2)D
3.(1)若f(x)＝0且f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)f(x)为奇函数⇔f(x)的图像关于原点对称，f(x)为偶函数⇔f(x)的图像关于y轴对称.
1.下列图像表示的函数具有奇偶性的是(　　)
解析　选项A中的图像关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C，D中的图像所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图像关于y轴对称，其表示的函数是偶函数，故选B.答案　B
2.f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－3)＝2，则下列各点在函数f(x)图像上的是(　　)
A.(－3，－2) B.(3，2)C.(2，－3) D.(3，－2)解析　点(－3，2)关于原点的对称点为(3，－2).答案　D
3.已知函数f(x)是定义在区间[a－1，2a]上的奇函数，则实数a的值为___________.