2022-2023学年高一数学上册重难点题型高分突破专题06 函数的奇偶性-名校重难点题型分类（人教A2019版必修第一册）

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专题06 高分必刷题-奇偶性名校重难点题型分类（原卷版）题型一：判断函数的奇偶性解题思路：首先，要看定义域是否对称，其次，再求出，并观察和的等量关系，若=则为偶函数，若=则为奇函数。1.（长郡）下列函数是奇函数的有(   )（多选）A.   B.   C.  D.2.（明德）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是(   )A.        B.C.       D.3.（长郡）下列函数中，是奇函数且在上单调递增的是(    )A.   B.  C.   D.4.（长郡）函数的图象关于直线对称，那么下列命题正确的个数是(    )①   ②③函数是偶函数 ④函数是偶函数A.     B.     C.     D.5.(一中)已知函数的定义域为.(1)若，试比较与的大小；(2)证明函数为奇函数，并求函数在上的最大值. 
题型二：用奇偶性求具体函数的解析式解题思路：若已知时的解析式，则当时，，代入已知解析式中求出的解析式，再利用奇偶性的性质得出的解析式。      6．（师大）已知f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝﹣x2+2x，则当x＜0时，f（x）的解析式是（　　）A．f（x）＝﹣x（x+2） B．f（x）＝x（x﹣2） C．f（x）＝﹣x（x﹣2） D．f（x）＝x（x+2）7.（长郡）已知函数为偶函数，且当时，f（x）＝x（x+1），则时，________.8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝﹣x2﹣2x．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）写出函数f（x）的单调递增区间．（只需写出结论）     题型三：偶函数性质在抽象函数中的应用9．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有＜0，则（　　）A．f（2021）＜f（﹣2020）＜f（2019） B．f（2019）＜f（﹣2020）＜f（2021） C．f（﹣2020）＜f（2019）＜f（2021） D．f（﹣2020）＜f（2021）＜f（﹣2019）10.（广益）是定义在上的偶函数，且，则下列各式一定正确的是(   )A.       B.C.       D.
11.（雅礼）设是定义在上且图象为连续不断的偶函数，且当时是单调函数，则满足的所有实数之和为(   )A.    B.    C.    D.12.（广益）定义在上的偶函数满足：对任意，有，且，则不等式的解集为_________.13．若函数y＝f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（1）＝0，则的解集为　         　．题型四：奇函数性质在抽象函数中的应用14．函数f（x）是定义在R上的奇函数，下列命题中正确的有（　　）（多选）A．f（0）＝0 B．若f（x）在[0，+∞）上有最小值﹣1，则f（x）在（﹣∞，0]上有最大值1 C．若f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上为减函数 D．若x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣2x15.奇函数f（x）在区间[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为﹣2，则f（6）+f（﹣3）的值为（　　）A．10 B．﹣10 C．9 D．1516．定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（　　）A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]17.（长郡）若定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）单调递增，且f（﹣5）＝0，则满足xf（x）＜0的解集是（　　）A．（﹣∞，﹣5）∪（5，+∞） B．（﹣∞，﹣5）∪（0，5） C．（﹣5，0）∪（5，+∞） D．（﹣5，0）∪（0，5）18.若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）内是减函数，又f（2）＝0，则不等式xf（x）＜0的解集为（　　）A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣2，0）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）19.（师大）已知函数的定义域为，则“无最大值”的一个充分条件是(    )A.为偶函数且关于直线对称  B为偶函数且关于点对称.C.为奇函数且关于直线对称  D.为奇函数且关于点对称20.（麓山）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若对任意给定的实数x1，x2，x1f（x1）+x2f（x2）＜x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，则不等式（x+1）f（1﹣2x）＜0的解集是（　　）A．（﹣1，） B．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞） C．（﹣1，2） D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）21．（师大）已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x）+f（y）＝f（x+y），且x＞0时，f（x）＜0．（1）求证：f（x）在R上是奇函数；（2）求证：f（x）在R上是减函数；（3）若f（1）＝﹣，求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值．      22.（明德）已知f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）＝1，若a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0时，有．（Ⅰ）判断函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（Ⅱ）若f（x）≤m2﹣5mt﹣5对所有x∈[﹣1，1]，t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．     23．（长郡）我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数．（Ⅰ）若f（x）＝x3﹣3x2，①求此函数图象的对称中心；②求f（﹣2018）+f（﹣2019）+f（2020）+f（2021）的值．（Ⅱ）类比上述推广结论，写出“函数y＝f（x）的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f（x）为偶函数”的一个推广结论．