2021-2022学年山东省济南市章丘区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年山东省济南市章丘区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题（本大题共12小题，共48分）
如图，所给图形中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
如果a>b，下列各式中不正确的是( )
A. a−3>b−3B. −a2>−b2C. 2a>2bD. −2a<−2b
下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )
A. x2−x+1=x(x−1)+1B. (2x+3)(2x−3y)=4x2−9y2
C. x2+y2=(x+y)2−2xyD. x2+6x+9=(x+3)2
用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中( )
A. 有一个内角小于45°B. 每一个内角都小于45°
C. 有一个内角大于等于45°D. 每一个内角都大于等于45°
将点P(m+2,3)向右平移1个单位长度到P′，且P′在y轴上，那m的值是( )
A. −2B. −1C. −3D. 1
在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于( )
A. 3.8cm
B. 7.6cm
C. 11.4cm
D. 11.2cm
下列分解因式正确的是( )
A. x2−4=(x−4)(x+4)B. 2x3−2xy2=2x(x+y)(x−y)
C. x2+y2=(x+y)2D. x2−2x+1=x(x−2)+1
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，作AC的中垂线1交BC于点D，连接AD，若AB=3，BC=9，则BD的长为( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
如图，△ABC中，∠BAC=65°，将△ABC绕着A点逆时针旋转得到△ADE，连接EC，若EC/​/AB，则∠CAD的度数为( )
A. 15°B. 25°C. 35°D. 40°
已知关于x的不等式组x−a≥03−2x>0的整数解共有4个，则a的取值范围是( )
A. −3≤a<−2B. −3在平面直角坐标系中，把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位，得到△A1B1C1，把这两步操作规定为翻移变换，如图，已知等边三角形ABC的顶点B，C的坐标分别是(1,1)，(3,1).把△ABC经过连续3次翻移变换得到△A3B3C3，则边BC中点的对应点的坐标是( )
A. (11,1)B. (−11,1)C. (11,−1)D. (−11,−1)
如图，P是∠AOB平分线上一点，OP=10，∠AOB=120°，在绕点P旋转的过程中始终保持∠MPN=60°不变，其两边和OA，OB分别相交于M，N，下列结论：①△PMN是等边三角形；②MN的值不变；③OM+ON=10；④四边形PMON面积不变．其中正确结论的个数为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
x与3的和不小于2022，用不等式表示为______．
等腰三角形的两边长分别为8cm和3cm，则它的周长为______cm．
如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度得到△ADE，若∠BAC=85°，∠E=70°，且AD⊥BC，则旋转角的度数为______．
一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对1道题得4分，答错或不答1道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀(85分或85分以上)，则小明至少答对______道题．
在平面直角坐标系中，把点P(a−1,5)向左平移3个单位得到点Q(2−2b,5)，则2a+4b+3的值为______．
如图，等边△ABC的边长为12cm，M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边顺时针运动，点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N两点同时停止运动，则当M，N运动时间t= s时，△AMN为等腰三角形．
三、解答题（本大题共9小题，共78分）
解不等式组：3(x−1)≥2x−5,①2x分解因式：
(1)a2b−9b；
(2)2x3−8x2y+8xy2．
△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)将△ABC向右平移5个单位长度，同时向下平移4个单位长度得到△A1B1C1，请在方格纸中画出△A1B1C1；
(2)将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB2C2，连接A1C2，直接写出A1C2的长．
如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE/​/BC交AB于点E．
(1)求证：BE=DE；
(2)若∠A=80°，∠C=40°，求∠BDE的度数．
如图，根据图中信息解答下列问题：
(1)关于x的不等式ax+b>0的解集是______；
(2)关于x的不等式mx+n<1的解集是______；
(3)当x ______，y1≤y2；
(4)当______，0如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且AE=AB．
(1)求证：∠B=2∠C；
(2)若AC=10，AD=6，求△ABC的周长．
为共产党建党一百周年，某校举行”礼赞百年，奋斗有我”演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生，已知购买2个甲种纪念品和3个乙种纪念品共需35元，购买1个甲种纪念品和4个乙种纪念品共需30元．
(1)求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元？
(2)若要购买这两种纪念品共100个，投入货金不多于900元，最多买多少个甲种纪念品？
阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c(a≠0)的多项式变形为a(x+m)2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c(a≠0)的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如x2+4x−5=x2+4x+(42)2−(42)2−5=(x+2)2−9=(x+2+3)(x+2−3)=(x+5)(x−1)．
根据以上材料，解答下列问题．
(1)分解因式：x2+2x−8；
(2)求多项式x2+4x−3的最小值；
(3)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC的周长．
感知：如图①，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点B在线段AD上，点C在线段AE上，我们很容易得到BD=CE，不需证明．
探究：如图②，将△AED绕点A逆时针旋转α(0<α<90°)，连结BD和CE，此时BD=CE是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．
应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上，连结CE．
①∠ACE的度数为______度；
②线段BC、CD、CE之间的数量关系是______；
③若AB=AC=2，CD=1，则线段DE的长为______．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查了中心对称图形的概念，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】B
【解析】解：A、a>b，则a−3>b−3，所以A选项的结论正确；
B、a>b，则−12a<−12b，所以B选项的结论错误；
C、a>b，则2a>2b，所以C选项的结论正确；
D、a>b，则−2a<−2b，所以D选项的结论正确．
故选：B．
根据不等式两边加上(或减去)同一个数，不等号方向不变对A进行判断；根据不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号方向改变可对B、D进行判断．根据不等式两边乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变可对C进行判断．
本题考查了不等式的性质：不等式两边加上(或减去)同一个数，不等号方向不变；不等式两边乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号方向改变．
3.【答案】D
【解析】解：A.从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左边到右边的变形是整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D.从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解．
本题考查了因式分解的意义，这类问题的关键在于是否正确应用分解因式的定义来判断．
4.【答案】D
【解析】解：用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，
应先假设这个三角形中每一个内角都不小于45°，即每一个内角都大于或等于45°．
故选：D．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
5.【答案】C
【解析】解：将点P(m+2,3)向右平移1个单位长度后点P′的坐标为(m+3,3)，
∵点P′在y轴上，
∴m+3=0，
解得：m=−3，
故选：C．
将点P(m+2,3)向右平移1个单位长度后点P′的坐标为(m+3,3)，根据点P′在y轴上知m+3=0，据此知m=−3．
此题主要考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．同时考查了y轴上的点横坐标为0的特征．
6.【答案】C
【解析】解：∵∠C=90°，∠CAB=60°，
∴∠B=30°，在Rt△BDE中，BD=2DE=7.6，
又∵AD平分∠CAB，
∴DC=DE=3.8，
∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4．
故选C．
由∠C=90°，∠CAB=60°，可得∠B的度数，故BD=2DE=7.6，又AD平分∠CAB，故DC=DE=3.8，由BC=BD+DC求解．
本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB的距离DE即为CD长，是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A、原式=(x+2)(x−2)，不符合题意；
B、原式=2x(x+y)(x−y)，符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式=(x−1)2，不符合题意，
故选：B．
各项分解得到结果，即可作出判断．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：设BD=x，则CD=9−x，
∵直线l是AC的垂直平分线，
∴AD=DC=9−x，
在Rt△ABD中，AB2+BD2=AD2，即32+x2=(9−x)2，
解得：x=4，即BD的长为4，
故选：C．
设BD=x，根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得出AD=DC是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵将△ABC绕着A点逆时针旋转得到△ADE，
∴AC=AE，∠EAD=∠CAB=65°，
∴∠AEC=∠ACE，
∵EC/​/AB，
∴∠ECA=∠CAB=65°，
∴∠AEC=∠ACE=65°，
∴∠EAC=50°，
∴∠CAD=∠CAB−∠CAE=15°，
故选：A．
由旋转的性质可得AC=AE，∠EAD=∠CAB=65°，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠AEC=∠ACE=65°，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：解不等式组x−a≥03−2x>0得：a≤x<32，
∵不等式组的整数解共有4个，
∴不等式组的整数解分别为：−2，−1，0，1，
∴−3故选：B．
解不等式组可得a≤x<32，再根据整数解共有4个，即可得出a的取值范围．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确得出不等式组的整数解是解决问题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：∵B，C的坐标分别是(1,1)，(3,1)，
∴BC中点的坐标为(2,1)，
∵把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位得到△A1B1C1，
∴经过1次翻移变换，BC中点的对应点的坐标是(2+3,−1)，即(5,−1)，
经过2次翻移变换，BC中点的对应点的坐标是(5+3,1)，即(8,1)
经过3次翻移变换，BC中点的对应点的坐标是(8+3,−1)，即(11,−1)
故选：C．
根据平移和对称变换，点坐标的变化规律可得答案．
此题考查点的坐标变化，解答本题的关键是读懂题意，知道一次变换的定义，利用对称和平移的特点，找出规律解决问题．
12.【答案】B
【解析】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，∠AOB=120°
∴∠EPF=∠MPN=60°，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
∴△PEM≌△PFN(ASA)，
∴PM=PN，
∵∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形．
故①正确；
∵△PEM≌△PFN(ASA)，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故④正确，
∵OM+ON=OE+ME+OF−NF=2OE定值，
∵Rt△OPE中，∠OPE=30°，可得OP=2OE，
∴OM+ON=OP=10故③正确，
∵M，N的位置变化，
∴MN的长度是变化的，故②错误．
故正确的有①③④，共3个正确．
故选：B．
如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.只要证明Rt△POE≌Rt△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
13.【答案】x+3≥2022
【解析】解：由题意得：x+3≥2022，
故答案为：x+3≥2022．
首先表示x与3的和为x+3，再表示“不小于2022”，即可得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于(小于)、不超过(不低于)、是正数(负数)”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
14.【答案】19
【解析】解：分两种情况讨论：
①当8为底边，3为腰时，∵3+3=6<8，不能构成三角形；
②当8为腰，3为底边时，∵8+3>8，能构成三角形，周长为8+8+3=19；
故答案为：19．
分两种情况讨论：①当8为底边，3为腰时，不合题意；②当8为腰，3为底边时；即可得出结论．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系；注意分类讨论方法的运用，把不符合题意的舍去．
15.【答案】65°
【解析】解：设AD与BC的交点为F，
∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴∠C=∠E=70°，∠BAC=∠DAE=85°，
∵AD⊥BC，
∴∠AFC=90°，
∴∠CAF=90°−∠C=90°−70°=20°，
∴∠CAE=∠DAE−∠EAC=85°−20°=65°，
即旋转角的度数为65°．
故答案为：65°．
由旋转的性质得∠C=∠E=70°，∠BAC=∠DAE，再由直角三角形的性质得∠CAF=90°−∠C=20°，即可得到结论．
本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
16.【答案】22
【解析】解：设小明答对了x道题，则答错或不答(25−x)道题，
依题意得：4x−(25−x)≥85，
解得：x≥22，
∴小明至少答对22道题．
故答案为：22．
小明答对了x道题，则答错或不答(25−x)道题，利用小明的得分=4×答对题目数−1×答错或不答题目数，结合小明的得分不少于85分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
17.【答案】15
【解析】解：将点P(a−1,5)向左平移3个单位，得到点Q，点Q的坐标为(2−2b,5)，
∴a−1−3=2−2b，
∴a+2b=6，
∴2a+4b+3=2(a+2b)+3=2×6+3=15，
故答案为：15．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
本题考查了坐标系中点的平移规律．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
18.【答案】4或16
【解析】解：如图1，设点M、N运动x秒后，AN=AM，
由运动知，AN=12−2x，AM=x，
∴12−2x=x，
解得：x=4，
∴点M、N运动4秒后，△AMN是等腰三角形；
如图，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN=AM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴∠AMC=∠ANB，
∵△ACB是等边三角形，
∴∠C=∠B，
在△ACM和△ABN中，
∠C=∠B，∠AMC=∠ANB，AC=AB，
∴△ACM≌△ABN(AAS)，
∴CM=BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM=y−12，NB=36−2y，
∵CM=NB，
∴y−12=36−2y，
解得：y=16.故假设成立．
∴点M、N运动时间为4秒或16秒时，△AMN为等腰三角形．
故答案为：4或16．
分两种情况求解：如图1，由可得AN=AM，可列方程求解；如图2，首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值．
此题主要考查了等边三角形的性质及等腰三角形的判定，关键是根据题意计算动点M和N的路程，理清线段之间的数量关系．
19.【答案】解：3(x−1)≥2x−5①2x解不等式①，得x≥−2，
解不等式②，得x<1，
∴不等式组的解集为−2≤x<1，
∴不等式组的整数解有−2、−1、0．
【解析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，进而判断其整数解．
20.【答案】解：(1)原式=b(a2−9)=b(a+3)(a−3)；
(2)原式=2x(x2−4xy+4y2)=2x(x−2y)2．
【解析】(1)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
(2)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
21.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．

(2)如图，

∵点A1的坐标为(4,−3)，点C2的坐标为(1,3)，
∴A1C2=(4−1)2+[3−(−3)]2=35．
【解析】(1)根据题意，找到点的位置，再连线即可．
(2)利用两点间的距离公式求解即可．
本题考查作图−平移变换与旋转变换、勾股定理，熟练掌握平移变换与旋转变换是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)证明：在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD，
∵DE/​/BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE．
(2)∵∠A=80°，∠C=40°
∴∠ABC=60°，
∵∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=30°，
∵DE/​/BC，
∴∠EDB=∠CBD=30°，
故∠BDE的度数为30°．
【解析】本题主要考查等腰三角形的判定．平行线的性质，熟练掌握判定和性质是关键．属较容易题．
(1)先根据角平分线性质，得∠ABD=∠CBD，由平行线性质得到：∠EDB=∠CBD，得到∠EBD=∠EDB，根等角对等边判断即可．
(2)先根据三角形内角和，求∠B的度数，再利用角平分线性求∠DBC的度数，利用平行线性质求得∠EDB=∠DBC．
23.【答案】x<4 x<0 x≤2 2【解析】解：(1)∵直线y2=ax+b与x轴的交点是(4,0)，
∴当x<4时，y2>0，即不等式ax+b>0的解集是x<4；
故答案是：x<4；
(2)∵直线y1=mx+n与y轴的交点是(0,1)，
∴当x<0时，y1<1，即不等式mx+n<1的解集是x<0；
故答案是：x<0；
(3)由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是(2,1.8)，当函数y1的图象在y2的下面时，有x≤2，所以当x≤2时，y1≤y2；
故答案为：x≤2；
(4)如图所示，当2故答案为：2(1)利用直线y=ax+b与x轴的交点为(4,0)，然后利用函数图象可得到不等式kx+b>0的解集．
(2)利用直线y=mx+n与x轴的交点为(0,1)，然后利用函数图象可得到不等式mx+n<1的解集．
(3)结合两条直线的交点坐标为(2,1.8)来求得y1≤y2解集．
(4)结合函数图象直接写出答案．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，解答该类题目时，需要学生具备一定的读图能力，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解答本题的关键．
24.【答案】解：(1)∵AD⊥BC，AE=AB，EF垂直平分AC，
∴AB=AE=EC，
∴∠C=∠CAE，∠B=∠AEB，
∴∠B=∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C．
(2)在直角三角形ACD中，
∵∠ADC=90°，
∴CD=AC2−AD2=8，
∵AD⊥BC，AE=AB，EF垂直平分AC，
∴AB=AE=EC，DE=BE，
∴AB+BC=AB+BD+DE+CE=2DE+2CE=2CD=2×8=16，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=16+10=26．
【解析】(1)根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB=AE=CE，求出∠AEB=∠B和∠C=∠EAC，再根据外角性质即可得出答案；
(2)根据勾股定理求出CD=8，优已知能推出AB+BC=2DE+2EC=2×8=16，即可得出答案．
本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设购买一个甲种纪念品需x元，一个乙种纪念品需y元，
依题意得：2x+3y=35x+4y=30，
解得：x=10y=5．
答：购买一个甲种纪念品需10元，一个乙种纪念品需5元．
(2)设购买m个甲种纪念品，则购买(100−m)个乙种纪念品，
依题意得：10m+5(100−m)≤900，
解得：m≤80．
答：最多买80个甲种纪念品．
【解析】(1)设购买一个甲种纪念品需x元，一个乙种纪念品需y元，根据“购买2个甲种纪念品和3个乙种纪念品共需35元，购买1个甲种纪念品和4个乙种纪念品共需30元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买m个甲种纪念品，则购买(100−m)个乙种纪念品，利用总价=单价×数量，结合总价不多于900元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26.【答案】解：(1)x2+2x−8=x2+2x+1−1−8
=(x+1)2−9
=(x+1−3)(x+1+3)
=(x−2)(x+4)；
(2)x2+4x−3=x2+4x+(42)2−(42)2−3=(x+2)2−7，
∵(x+2)2≥0，
∴(x+2)2−7≥−7，
∴多项式x2+4x−3的最小值为−7；
(3)∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，
∴a2+b2+c2+50−6a−8b−10c=0，
a2−6a+9+b2−8b+16+c2−10c+25−9−16−25+50=0，
(a−3)2+(b−4)2+(c−5)2=0，
∴a−3=0，b−4=0，c−5=0，
∴a=3，b=4，c=5，
∴△ABC的周长=3+4+5=12．
【解析】本题主要考查因式分解的应用，偶次方的非负性，掌握好完全平方公式进行配方是本题的解题关键．
(1)根据配方法配方，再运用平方差公式分解因式即可；
(2)根据配方法配方，再根据平方的非负性，可得答案；
(3)先运用配方法把原式化为(a−3)2+(b−4)2+(c−5)2=0，再根据非负数的性质求出a、b、c，即可求解．
27.【答案】45 CE=BC+CD 10
【解析】解：探究：成立，证明如下：
∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵将△AED绕点A逆时针旋转α(0<α<90°)，连结BD和CE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE；
应用：①∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
在△ACE与△ABD中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ACE≌△ABD(SAS)，
∴∠ACE=∠B=45°，
故答案为：45；
②∵△ACE≌△ABD，
∴BD=CE，
∴BC+CD=CE，
故答案为：BC+CD=CE；
③∵△ACE≌△ABD，
∴∠ACE=∠ABD=45°，
又∵∠ACB=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
在Rt△BAC中，
∵AB=AC=2，
∴BC=AB2+AC2=2，
又∵CD=1，CE=BC+CD=3，
在Rt△CDE中，DE=CE2+CD2=10，
故答案为：10．
探究：利用SAS证明△ABD≌△CAE(SAS)，得BD=CE；
应用：①同理证明△ACE≌△ABD，得∠ACE=∠B=45°；
②由全等三角形的性质得BD=CE即可；
③首先证明∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，再利用勾股定理即可得出答案．
本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，证明△ACE≌△ABD是解题的关键．
题号
一
二
三
总分
得分