2021-2022学年山东省济南市市中区育英中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年山东省济南市市中区育英中学八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）

1. 若，则下列结论错误的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是

A.  B.
C.  D.

3. 解不等式，并把该不等式的解集在数轴上表示，下列表示正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 关于的分式方程有增根，则的值为

A.  B.  C.  D.

5. 将分式中的，同时扩大倍，则分式的值

A. 扩大倍 B. 扩大倍
C. 缩小到原来的一半 D. 保持不变

6. 郑州市新冠肺炎疫情防控指挥部发布开展全市全员新冠病毒核酸检测的通告，某小区有人需要进行核酸检测，由于组织有序，居民也积极配合，实际上每小时检测人数比原计划增加人，结果提前小时完成检测任务．假设原计划每小时检测人，则依题意，可列方程为

A.  B.
C.  D.

7. 如图，在平行四边形中，的平分线交的延长线于点，，，则的长为

A.
B.
C.
D.

8. 下面几种说法正确的
   对角线互相垂直平分的四边形是菱形
   一组对边平行一组邻边相等的四边形是菱形
   两条对角线相等的平行四边形是矩形
   对角线相等且垂直的四边形是正方形

A.  B.  C.  D.

9. 化简的结果为

A.  B.  C.  D.

10. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集是

A.
B.
C.
D. 无法确定

11. 如图，中，平分，是中点，，，，则的值为

A.
B.
C.
D.

12. 如图，平行四边形中，，，，是边上且，是边上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13. 分解因式：______．
14. 如果多边形的每个内角都等于，则它的边数为______．
15. 多项式因式分解得，则______．
16. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，于点，则______．

17. 已知：，则的值为______．
18. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，，，则下列结论：；；；；中，正确的是______填入正确结论的序号．

三、解答题（本大题共9小题，共78.0分）

19. 分解因式：．
    计算．
    
    
    
    
    
    
     
20. 解不等式组，并写出满足条件的所有整数的值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 解方程：．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，四边形为平行四边形，，是直线上两点，且，连接，求证：．
    
     

23. 先化简，然后选择一个你喜欢的数代入求值．
    
    
    
    
    
    
     
24. 某小区购进型和型两种分类垃圾桶，购买型垃圾桶花费了元，购买型垃圾桶花费了元，已知购买一个型垃圾桶比购买一个型垃圾桶少花元，且购买的型垃圾桶的数量是购买的型垃圾桶的数量的倍．
    求购买一个型垃圾桶和一个型垃圾桶各需多少元？
    根据上级部门的要求，小区还需要增加购买型和型垃圾桶共个，若增加总费用不超过元，求增加购买型垃圾桶的数量至少是多少个？
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，在矩形中，，相交于点，，．
    求证：四边形是菱形；
    若，求四边形的面积．

26. 已知正方形，为射线上的一点，以为边作正方形，使点在线段的延长线上，连接，．
    如图，若点在线段的延长线上，求证：；
    如图，若点在线段的中点，连接，判断的形状，并说明理由；
    如图，若点在边上，连接，当平分时，设，，求的度数．

27. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线经过点且交轴正半轴于点，已知面积为．
    点的坐标是______ ，______ ，直线的表达式是______ ；
    如图，点为线段中点，点为轴上一动点，连接，以为直角边作等腰直角三角形，且，在点的运动过程中，当点落在直线上时，求点的坐标；
    如图，若为线段上一点，且满足，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、，
，原变形正确，故本选项不符合题意；
B、，
，原变形正确，故本选项不符合题意；
C、，
，原变形正确，故本选项不符合题意；
D、，
，原变形错误，故本选项符合题意；
故选：．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：因式分解是指将一个多项式化为几个整式的乘积，
故选：．
根据因式分解的意义即可判断．
本题考查因式分解的意义，解题的关键是正确理解因式分解的意义，本题属于基础题型．
 

3.【答案】
 

【解析】解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并，得，
系数化为，得，
将不等式解集表示在数轴上如下：

故选：．
根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，
，
解得：，
分式方程有增根，
，
，
把代入中，
，
解得：，
故选：．
根据题意可得，然后把的值代入整式方程中进行计算即可解答．
本题考查了分式方程的增根，根据题意求出的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：分别用和去代换原分式中的和，得：
，
可见新分式是原分式的倍．
故选：．
依题意分别用和去代换原分式中的和，利用分式的基本性质化简即可．
本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．规律总结：解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
 

6.【答案】
 

【解析】解：实际上每小时检测人数比原计划增加人，且原计划每小时检测人，
实际上每小时检测人．
依题意得：．
故选：．
由实际上每小时检测人数比原计划增加人及原计划每小时检测人，可得出实际上每小时检测人，利用检测实际需检测的总人数每小时检测的人数，结合结果提前小时完成检测任务，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
．
故选：．
根据平行四边形的性质可得，，由平分得，由平行线的性质得，运用等量代换得，从而得到为等腰三角形，计算出的长度，由可求得的长度，继而得到的长．
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．能证得是等腰三角形是解此题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故符合题意；
一组对边平行一组邻边相等的四边形不一定是菱形，故不符合题意；
两条对角线相等的平行四边形是矩形，故符合题意；
对角线相等且垂直的四边形不一定是正方形，故不符合题意；
故选：．
根据矩形、菱形、正方形的判定定理即可得到结论．
本题考查了正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，熟练掌握各个判定定理是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：



；
故选：．
首先把分母化为，再根据同分母分式加减法法则计算，分子用完全平方公式分解因式后约分即可．
本题考查了分式的加减法，熟练掌握同分母分式加减法法则，用完全平方公式分解因式后约分是解题关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：由图象可知，直线和直线的交点为，直线中随的增大而减小，
过原点，
关于的不等式的解集是，
故选：．
利用函数图象，写出在轴下方，直线在直线下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合，运用数形结合的思想解决此类问题．
 

11.【答案】
 

【解析】解：延长交于，
在和中，
，
≌．
，，
，
，，
，
故选：．
延长交于，证明≌，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：如图，取的中点连接，，，作交的延长线于，

，
，，
点是的中点，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
≌，
，
，
，
点的运动轨迹是射线，
，，，
≌，
，
，
在中，，，，
，，
在中，，
，
的最小值为，
故选：．
取的中点连接，，，作交的延长线于利用全等三角形的性质证明，点的运动轨迹是射线，由“”可证≌，可得，推出，求出即可解决问题．
本题考查旋转变换，轨迹，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

13.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
先整理成平方差公式的形式．再利用平方差公式进行分解因式．
本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：多边形的每个内角都等于，
多边形的每个外角为，
多边形的边数为．
故答案为．
先求出多边形外角，再用外角和除以外角求解．
本题考查多边形的内角与外角，解题关键是掌握多边形外角和为．
 

15.【答案】
 

【解析】解：由因式分解得得：
，
，
．
，．
解得，，
．
故答案为：．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得、的值，根据有理数的加法，可得答案．
本题考查了因式分解的意义，能够正确利用因式分解得出相等整式是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，，
，，
，
，
，
故答案为：．
根据菱形的性质和勾股定理得出，进而利用面积公式解答即可．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：原式，
，
，即，
原式，
故答案为：．
将原式进行变形，将已知条件进行通分变形，然后利用整体思想代入求值．
本题考查分式的化简求值，掌握通分的技巧，利用整体思想代入求值是解题关键．
 

18.【答案】
 

【解析】解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故正确；
，，
，，
，
中，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
中，，，故正确；
由知：，
，
故正确；
由知：是的中位线，
，
，
，
故正确；
，
，，
，
设，则，，
，
，
，
故正确．
故答案为：．
先根据角平分线和平行线的性质得：，则，由有一个角是度的等腰三角形是等边三角形得：是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：，最后由平行线的性质可作判断；
先根据三角形中位线定理得：，，根据勾股定理计算，的长，即可求的长；
因为，根据平行四边形的面积公式可作判断；
根据三角形中位线定理可作判断；
由三角形的面积公式可判断．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形度角的性质，三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．
 

19.【答案】解：原式
；
原式


．
 

【解析】利用提取公因式法和公式法进行因式分解；
利用同分母分式的加法法则运算，将结果化简．
本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用进行因式分解，分式的加减法，正确利用上述法则进行运算是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以原不等式组的解集是，
则满足条件的整数的值是，，，，．
 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数的值即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

21.【答案】解：方程两边同乘得：

解得：，
检验：当时，，故是此方程的解．
 

【解析】此题主要考查了分式方程的解法，正确掌握解题方法是解题关键．
直接找出公分母进而去分母解方程即可．
 

22.【答案】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
，
≌，
．
 

【解析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
只要证明≌，即可解决问题；
 

23.【答案】解：原式

，
且，
且，
取，
则原式．
 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选择使分式有意义的的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

24.【答案】解：设购买一个型垃圾桶需要元，则购买一个型垃圾桶需要元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：购买一个型垃圾桶需要元，购买一个型垃圾桶需要元．
设增加购买型垃圾桶个，则增加购买型垃圾桶个，
依题意得：，
解得：．
答：增加购买型垃圾桶的数量至少是个．
 

【解析】设购买一个型垃圾桶需要元，则购买一个型垃圾桶需要元，利用数量总价单价，结合购买的型垃圾桶的数量是购买的型垃圾桶的数量的倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出购买一个型垃圾桶所需费用，再将其代入中即可求出购买一个型垃圾桶所需费用；
设增加购买型垃圾桶个，则增加购买型垃圾桶个，利用总价单价数量，结合增加总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

25.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是菱形；

解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
四边形是菱形，，
，
≌，
的面积的面积，
四边形的面积是．
 

【解析】根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，根据矩形的性质得出，，，求出，再根据菱形的判定得出即可；
根据矩形的性质得出，，，，求出，求出，根据勾股定理求出，再求出的面积，求出的面积即可．
本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，三角形的面积和勾股定理等知识点，能熟记矩形的对角线相等且平分是解此题的关键．
 

26.【答案】证明：四边形和四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
≌，
；

解：是直角三角形，理由是：
为的中点，
，
，
，
，
又，
，即是直角三角形；

解：如图，设交于，
平分，，
，，
作于，
，
，
又，
，，，
，
，
，
．
 

【解析】根据正方形的性质证明≌，可得结论；
分别证明和，则，即是直角三角形；
分别计算和的长，再计算和的长，根据角平分线的逆定理得：，由平行线的性质得到．
本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理、角平分线的逆定理、等腰直角三角形的性质和判定，前两问难度不大，第三问有难度，作辅助线，求得和的长是关键．
 

27.【答案】解：，  ；；
如图当点在上方时，过点作轴，
过、分别作、垂直与轴，与交于点、，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，

≌，
，，
设，，
是的中点，
，
，，
，，
，，
，
；
如图当点在点下方时，过点作轴，
过、分别作、垂直与轴，与交于点、，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
≌，
，，
设，
是的中点，
，
，，
，，
，，
，
；
综上所述：点坐标为或；

点坐标为或或．
 

【解析】解：面积为，
，
，
，
，
将点与代入，可得
，
，
，
故答案为，；
见答案；
连接，
，
，
设的解析式为，
将点，代入，得
，
解得，
，
的解析式为，
，
，
，
设的解析式为，
将点、代入可得
，
解得，
，
点为直线上动点，点在轴上，
则可设，，
当、分别为对角线时，
的中点为，的中点为，
，，
；
当、分别为对角线时，
的中点为，的中点为，
，，
；
当、分别为对角线时，
的中点为，的中点为，
，，
；
综上所述：以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，点坐标为或或．

由面积为，可得，即可求点坐标，再将点与代入，解二元一次方程组可求；
当点在上方时，过点作轴，过、分别作、垂直与轴，与交于点、，
由是等腰直角三角形，可证得≌，设，，，
由，，，，得到，，求出；
当点在点下方时，过点作轴，过、分别作、垂直与轴，与交于点、，
同理可证≌，设，，
得到，，，，所以，，求得；
连接，由，可得，求出的解析式为，所以的解析式为，
可求出，进而能求出的解析式为，设，，
当、分别为对角线时，的中点为，的中点为，求得；
当、分别为对角线时，的中点为，的中点为，求得；
当、分别为对角线时，的中点为，的中点为，求得．

本题考查一次函数的综合应用，中注意点的位置有两种情况，避免丢解，同时解题时要构造字型全等，将点、点坐标联系起来，中利用平行四边形对角线互相平分的性质，借助中点坐标公式解题，能简便运算，快速求解．