2022-2023学年广东省深圳市罗湖区八年级（下）期中数学试卷

2022-2023学年广东省深圳市罗湖区八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  三角形的三边长分别为、、，则下面四种情况中，不能判断此三角形为直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

2.  不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  在下列不等式组中，无解的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在下列正多边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下面是小明解不等式的过程：
解：去分母，得
移项，得
合并同类项，得
两边同时除以，得
小明的计算过程中，没掌握好基本知识或粗心出错的步骤是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在和中，在以下条件：；；；；中，再选一个条件，就能使≌，共有选择．(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

8.  如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交、点，则下列说法不正确的是(    )

A. 当时，
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，

9.  若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的底角的度数是(    )

A.  B.  C. 或 D. 无法确定

10.  如图，在矩形中，，，点为边上的动点，将沿折叠到，则在点的运动过程中，的最小值是(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11.  分解因式：          ．

12.  不等式的解集是______ ．

13.  如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、点，已知，，则 ______ ．

14.  某商品每件进价元，每件标价元，为了促销，商家决定打折销售，但其利润率不能低于，则这种商品最多可以打______ 折

15.  如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集是______ ．

16.  如图，在中，，，平分，且，的外角平分线交于点，则的长是______ ．

17.  如图，将沿射线的方向平移得到，连接、，已知，，在平移过程中，若为等腰三角形，则平移的距离可以是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
解不等式组，并把的解集在数轴上表示出来．
；
．

19.  本小题分
学校准备用元购买名著和词典作为艺术节奖品，其中名著每套元，词典每本元，现已购买名著套，问最多还能买词典多少本？

20.  本小题分
如图，为等边三角形，点为边上一点，先将三角板角的顶点与点重合，平放三角板，再绕点转动三角板，三角板角的两边分别与边、交于点、点，当时，如图所示求证：≌．
 

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为、、．
将先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到，请在原直角坐标系中画出，并写出、、的坐标；
若与关于原点成中心对称，请写出、、的坐标，并在原直角坐标系中画出．

22.  本小题分
学校开展篮球社团活动，需要购买若干个篮球，现从两家商场了解到同种篮球的标价均为元个，并且多买都有一定的优惠甲商场的优惠条件是：前个篮球按原价收费，其余优惠；乙商场的优惠条件是：全部打九折．
设学校需要购买个篮球，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别写出、与之间的关系式；
若学校需要购买篮球数超过个，选择到哪家商场购买，所需费用较少？

23.  本小题分
如图，点、点在直线上，点、点在直线上，且，连接、、、．
请在图中，找出三对面积相等的三角形：______ ；
利用中的结论解决下面两个问题：
将图中的、进行以下操作：
第一步，分别复制、，粘贴，如图所示的C、D.
第二步，先将图中的C、的顶点、重合，再将绕点旋转到如图所示位置．
若直线与相交于点，连接求证：平分．
如图，折线型小路，将四边形苗圃分成甲、乙两块，为了方便管理，要将折线型小路改为经过点的直线型小路，使得甲、乙的面积前后不发生改变请你在图中画出直线型小路不需要尺规作图，但要规范，并简单说明作图的关键步骤．
 

24.  本小题分
如图，已知，，且，将绕点旋转、、三点在同一直线上除外．
求证：≌；
在绕点旋转的过程中，若、所在的直线交于点，当点为边的中点时，如图所示求证：提示：利用类倍长中线方法添加辅助线；
在的条件下，求证：．
 

25.  本小题分
【问题背景】
在图中，的三个三角形，各自是由通过怎样的全等变换得到的？
【问题探究】
我们发现：
Ⅰ：图中，号三角形能由通过一次轴对称得到，请在图中画出对称轴．
Ⅱ：图中，号三角形能由通过一次平移得到，则平移的距离为______ 单位．
Ⅲ：图中，号三角形能由通过先平移再旋转或先旋转再平移得到，请问：号三角形能否由绕某个点，旋转一次得到？为解决这个问题，我们可以先解决两条相等的线段能否看成：一条线段是另一条线段绕某个点旋转一次得到分析过程如下：
已知线段与线段相等，分两种情况讨论：

第一种情况：
第二种情况：当与对应时，如图，同理可证．
综上所述：两条相等的线段可以看成：一条线段是另一条线段绕某个点旋转一次得到．
【问题解决】
如图，已知≌且满足不能由通过平移得到现在来解决能由绕某个点通过一次旋转得到的问题：
通过尺规作图找到旋转中心；
证明：能由绕点通过一次旋转得到提示：只要证明关键的对应点到点的距离相等和关键的对应点与点形成的夹角相等

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据勾股定理的逆定理，由，即，那么这个三角形是直角三角形，故A不符合题意．
B.根据勾股定理的逆定理，由，即，那么这个三角形是直角三角形，故B不符合题意．
C.根据勾股定理的逆定理，由，即，那么这个三角形是直角三角形，故C不符合题意．
D.根据勾股定理的逆定理，由，即，那么这个三角形不是直角三角形，故D符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理解决此题．
本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：：左边不是多项式，故不符合题意；
：左边是多项式，右边是整式积的形式，故符合题意；
：右边不是积的形式，故不符合题意；
：右边不是积的形式，故不符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义求解．
本题考查了因式分解的意义，理解因式分解的意义是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、的解集为：，故A不符合题意；
B、的解集为：，故B不符合题意；
C、的解集为：，故C不符合题意；
D、的解集为：无解，故D符合题意．
故选：．
按照求一元一次不等式组解集的方法，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握求不等式组的解集的方法是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.此图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

6.【答案】 

【解析】解：小明计算步骤中，常数没有乘以，此步骤错误；
步骤两边同时除以，不等号的方向没有概念，此步骤错误；
故选：．
根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为逐一判断即可得出答案．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
在和中，
，
≌，所以正确；
，，
，
在和中，
，
≌，所以正确；
，
，
在和中，
，
≌，所以正确；
在和中，
，
≌，所以正确；
故选：．
先得到，若添加，则可根据“”判断≌；若添加，则可根据“”判断≌；于是，然后利用前面的结论可得到≌；若添加，则，于是可利用“”判断≌；若添加，则可直接利用“”判断≌．
本题考查了全等三角形的判定：判定三角形全等的方法有“”、“”、“”、“”、“”．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图象得：关于的方程的解为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故选：．
根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解．
本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，利用数形结合是求解的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：作于点，如图所示，

，
，
；
作，交的延长线于点，如图所示，

，
，
，
；
故选：．
根据题意，先画出相应的图形，然后根据等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质，即可得到等腰三角形底角的度数．
本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，由折叠知，，，

当时，最小，
即，
，
，
点，，在同一条直线上时，最小，
由折叠知，，
在中，，，
，
，
故选：．
先判断出时，最小，最后用勾股定理即可得出结论．
此题考查了折叠的性质，熟记折叠的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．直接提取公因式，进而分解因式得出答案．
【解答】
解：．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
则，
故答案为：．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，设，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，设，由线段垂直平分线的性质定理，得到，由勾股定理，列出关于的方程，求出，即可解决问题．
本题考查勾股定理，线段垂直平分线的性质定理，关键是连接构造直角三角形，应用勾股定理来解决问题．
 

14.【答案】 

【解析】解：设这种商品打折，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为，
这种商品最多可以打折．
故答案为：．
设这种商品打折，利用利润售价进价，结合利润率不低于，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图所示：当时，，
所以关于的不等式的解集为．
故答案为：．
写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

16.【答案】 

【解析】解：平分，
，
，
，
，
，
同理可得：，
，
故答案为：．
根据角平分线的定义和平行线的性质得出，，进而解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
 

17.【答案】或或 

【解析】解：设平移的距离为，则，
为等腰三角形，存在以下三种情况：
如图，，

，，
，，
由勾股定理得：，
，
，
平移的距离是；
如图，，

平移的距离是；
如图，，

，，
≌，
，
，
平移的距离是；
综上，平移的距离是或或．
分三种情况：和和，根据勾股定理和平移的性质可解答．
本题考查了平移的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
，
，
，
；
，
解第一个不等式得，
解第二个不等式得．
故不等式组的解集为，
在数轴上表示出来为：
 

【解析】不等式去分母，去括号，移项合并，将系数化为，求出解集即可；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

19.【答案】解：设还能买词典本，
根据题意得：，
，
，
，
答：最多还能买词典本． 

【解析】先设未知数，设还能买词典本，根据名著的总价词典的总价，列不等式，解出即可，并根据实际意义写出答案．
本题是一元一次不等式的应用，列不等式时要先根据“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等关键词来确定问题中的不等关系，本题要弄清数量、单价、总价和书名，明确数量单价总价；在确定最后答案时，要根据实际意义，不能利用四舍五入的原则取整数值．
 

20.【答案】证明：为等边三角形，
，
，
由旋转变换得，
，
，
在和中，
，
≌． 

【解析】由等边三角形性质可得，再由旋转的性质可得，根据三角形内角和定理和平角定义可推出，应用即可证得结论．
本题考查了等边三角形性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握全等三角形的基本模型：一线三等角是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，即为所求．
，，．
与关于原点成中心对称，
，，．
如图，即为所求． 

【解析】根据平移的性质作图，即可得出答案．
根据中心对称的性质作图，即可得出答案．
本题考查作图平移变换、中心对称，熟练掌握平移和中心对称的性质是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：根据题意得：
甲商场的收费为：
当时，；
当时，；
与之间的关系式为；
乙商场的收费为：
；
与之间的关系式为；
当时，即，
解得：
当时，甲商场购买更优惠；
当时，即，
解得：，
当时，乙商场购买更优惠；
当时，即，
解得：，
当时，两家商场收费相同． 

【解析】根据甲、乙商场的收费标准列出函数解析式即可；
学校选择哪家商场购买更优惠就是比较的大小，当甲商场购买更优惠，可得，解此不等式，即可求得答案；当乙商场购买更优惠，可得，解此不等式，即可求得答案；当两家商场收费相同，可得，解此方程，即可求得答案．
此题考查了一次函数的实际应用问题以及不等式与方程的解法．此题难度适中，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，然后利用函数的性质求解．
 

23.【答案】，， 

【解析】解：且，
、间的距离相等，
设、间的距离为，
，，
，，
，，
，
，
故答案为：，，；
证明：过点分别作于，于，

根据题意可知，的面积的面积，
的面积，的面积，
，
，
，，
平分；
解：步骤：连接，过点做的平行线交于点，则为所求的直路．
画图为：

证明：，
，
，
，
甲、乙的面积前后不发生改变．
根据两条平行线之间的距离相等，即可可得出答案；
过点分别作于，于，根据题意可知，的面积的面积，根据面积公式可得，即可得出结论；
连接，过点做的平行线交于点，则为所求的直路，根据两条平行线之间的距离相等，可得．
本题是四边形综合题，考查了平行线等性质，三角形的面积，角平分线的判定，作图应用与设计作图，四边形的面积，解题的关键是掌握两条平行线之间的距离相等，利用面积法求解．
 

24.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌；
过点作，交的延长线于，
，
点是的中点，
，
又，
≌，
，，
由可知≌，
，
，
，
；
，
，
，
，
由可知≌，
，
，
，
． 

【解析】由“”可证≌；
由“”可证≌，可得，，即可求解；
由角的和差关系可得，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：Ⅰ：如图所示，直线是对称轴，
Ⅱ：号三角形能由通过一次平移得到，则平移的距离为单位，
故答案为：；
如图所示：
证明如下：当与对应时，如图，分别作与的中垂线交于点，连接、、、．
在的中垂线上
，
同理，
又，
≌，

，即对应点与点形成的夹角相等
线段可以看成由线段绕点旋转一次得到．
根据轴对称和平移以及旋转的性质解答即可；
根据题意画出图形解答即可．
此题是几何变换综合题，考查平移的性质、旋转的性质，关键是根据轴对称和平移以及旋转的性质解答．